Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Lehn
A. Neuenkirch B. Niese A. R¨oßler
TECHNISCHE UNIVERSIT¨ AT DARMSTADT
A
SS 2006 03.05.2006Einf¨ uhrung in die Mathematische Statistik
2. Tutorium - L¨ osungsvorschlag
Aufgabe 1 (Wahrscheinlichkeiten unter der Laplace–Annahme)
1. Da ein Ereignis als Element der σ–Algebra A definiert ist, gilt A ∈ A, aber nicht A ⊆ A. Im betrachteten Fall enth¨alt A als die Potenzmenge von Ω alle Teilmengen von Ω, d.h. es gilt außerdem A ⊆ Ω. A ∈ Ω ist falsch, da A ein Ereignis und kein Ergebnis ist. Daher ist auch nicht (vi), sondern nur (v) ein Ereignis.
2. Unter der Laplace–Annahme ist die erste angegebene Wahrscheinlichkeit P(A), denn es gilt (vgl. Lehn/Wegmann, Beispiel 2.5):
P(A) = Anzahl der f¨ur A g¨unstigen Ergebnisse Anzahl der m¨oglichen Ergebnisse = |A|
|Ω| . Außerdem ergibt sich:
|A∩B|
|Ω| = P(A∩B)
|Ω| − |B|
|Ω| = 1− |B|
|Ω| = 1−P(B) =P(BC) 1
|Ω| = P({ω}) f¨urω ∈Ω .
Dagegen ist |A||B| im allgemeinen keine Wahrscheinlichkeit, da A m¨achtiger als B sein kann und damit |B||A| >1 w¨are.
Aufgabe 2 (Modellierung eines Zufallsexperiments durch einen Wahrscheinlich- keitsraum)
1. ”As im 2. Zug“ ˆ={(0,1),(1,1)}=: ˜A
”As im 1. Zug“ ˆ={(1,0),(1,1)}=: ˜B
In die σ–Algebra A geh¨oren die Mengen ∅und ˜Ω, sowie ˜A und ˜B. Da auch die Kom- plemente ˜AC = {(1,0),(0,0)} und ˜BC = {(0,1),(0,0)} in A enthalten sein m¨ussen, folgt
A˜C∩B˜C = {(0,0)} ∈A A˜∩B˜ = {(1,1)} ∈A A˜∩B˜C = {(0,1)} ∈A A˜C ∩B˜ = {(1,0)} ∈A ,
d.h. alle einelementigen Teilmengen von ˜Ω sind in A enthalten. Durch Vereinigung dieser Mengen erh¨alt man jede beliebige Teilmenge von ˜Ω, so daß als σ–Algebra die Potenzmenge P( ˜Ω) entsteht.
Unter der Laplace Annahme gilt:
P˜( ˜A) = |A|˜
|Ω|˜ = 2 4 = 1
2 . Dieses Resultat ist offensichtlich unrealistisch.
2. Modelliert man das Experiment mit dem in a) angegebenen Wahrscheinlichkeitsraum, ist die Laplace–Annahme nicht realistisch. Ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, P) ist gegeben durch die Ergebnismenge Ω = {(i, j) : 1 ≤ i, j ≤ 32, i 6= j}, wobei die Karten gedanklich von 1 bis 32 durchnumeriert werden und z.B. 1, 2, 3, 4 f¨ur die vier Asse stehen, dieσ–AlgebraA=P(Ω) und das WahrscheinlichkeitsmaßP, das auf A durch
P(C) = |C|
|Ω| C ∈A
definiert sei. F¨ur das Ereignis A:= {(i, j) : 1≤i ≤ 32,1≤ j ≤4, i 6=j}=ˆ
”As im 2.
Zug“ ergibt sich
P(A) = |A|
|Ω| = 31·4 32·31 = 1
8 .
Aufgabe 3 (Kombinatorische Grundbegriffe)
1. Situation A: Da es bei dem Zahlenschloß auf die Reihenfolge der Ziffern ankommt, liegen geordnete Proben vor. Dabei sind Wiederholungen erlaubt, wie der Zusatz in Klammern erkl¨art. Eine mathematische Formulierung aller M¨oglichkeiten sollte die geordneten Proben durch Tupel darstellen:
{(x1, x2, x3) :xi ∈M f¨uri= 1,2,3} .
Situation B: Erneut ist die Reihenfolge entscheidend. Allerdings gibt es hier keine Wiederholungen, da ein Pferd nicht gleichzeitig zwei Pl¨atze belegen kann. Es liegen also geordnete Proben ohne Wiederholung vor. Eine mathematische Beschreibung aller M¨oglichkeiten ist gegeben durch:
{(x1, x2, x3) :xi ∈M f¨uri= 1,2,3 und xi 6=xj f¨ur i6=j} .
Situation C: Beim Lottoschein geht es nur darum, welche Zahlen angekreuzt werden, aber nicht in welcher Reihenfolge. Da genau drei Zahlen ein Kreuzchen erhalten, ist eine Wiederholung ausgeschlossen. Somit ist dies ein Beispiel f¨ur ungeordnete Proben ohne Wiederholung. Die Menge aller M¨oglichkeiten besteht somit aus 3-elementigen Mengen mit lauter verschiedenen Ziffern:
{{x1, x2, x3}:xi ∈M f¨uri= 1,2,3 und xi 6=xj f¨ur i6=j} .
2. A: F¨ur alle k= 3 Stellen des Schlosses sind n = 9 Ziffern m¨oglich. Deshalb lautet die Anzahl aller M¨oglichkeiten nk = 93 = 729.
B: F¨ur den ersten Platz kommenn= 9 Pferde in Frage, f¨ur den zweiten 8 Pferde und f¨ur den dritten nur nochn−k+ 1 = 7 Pferde. Somit ist die Anzahl aller M¨oglichkeiten
n·(n−1)·. . .·(n−k+ 1) = 9·8·7 = 504.
C: Gesucht wird die Anzahl aller M¨oglichkeiten, aus der 9-elementigen MengeM eine 3-elementige Menge auszuw¨ahlen. Die Berechnungsformel hierf¨ur ist
n
k
=
9
3
= 9!
3!·6! = 84 .
3. Bei einem Tupel ist die Reihenfolge der Koordinaten relevant. Beispielsweise ist in Si- tuation A Schloßnr. 774 verschieden von 747. Bei einer Menge ist die Reihenfolge der Elemente unwichtig (Situation C). Zudem k¨onnen hier Elemente mehrfach angegeben werden, ohne daß sich die Menge ¨andert.
Dagegen unterscheidet sich ein 4-Tupel von einem 3-Tupel, genauso wie sich ein vier- stelliges von einem dreistelligen Schloß unterscheidet. Also:
{0,2,5,6}={6,5,2,0} X richtig falsch (0,2,5,6) = (6,5,2,0) richtig X falsch {8,7,7,0}={8,7,0} X richtig falsch (8,7,7,0) = (8,7,0) richtig X falsch
