Motion Planning

(1)

Motion Planning

Elmar Langetepe University of Bonn

Algorithmische Geometrie Motion Planning 17.06.15 cElmar Langetepe SS ’15 1

(2)

Voronoi Diagramm von Liniensegmenten

(3)

Voronoi Diagramm von Liniensegmenten

• Jetzt alle Objekte Punkte oder Liniensegmente

(4)

Voronoi Diagramm von Liniensegmenten

• Bisektor zwischen Punkt und Segment

(5)

Voronoi Diagramm von Liniensegmenten

• Abstand eines Punktes x zu Segment l, Streifen

l y_x

(i) x

l y_x

(ii)

x

(6)

Voronoi Diagramm von Liniensegmenten

• Bisektor zwischen zwei Segmenten l₁ und l₂

l y_x

(i) x

l y_x

(ii)

x

(7)

Voronoi Diagramm von Liniensegmenten

• Bisektor zwischen zwei Segmenten l₁ und l₂

• B(l₁, l₂) = {x ∈ IR²; |xl₁| = xl₂|}

l y_x

(i) x

l y_x

(ii)

x

(8)

Bisektor von Segmenten

(9)

Bisektor von Segmenten

Lemma 5.24 Der Bisektor von zwei disjunkten Liniensegmenten l₁ und l₂ ist eine Kurve aus Parabelst¨ucken, Liniensegmenten und zwei Halbgeraden.

(10)

Bisektor von Segmenten

Verantwortungsbereiche der Streifen, Lage zueinander

d

b

a d b

c b

c a c

l₂b

l₂

c l₁

l₁

(11)

Bisektor von Segmenten

1. l₁ Punkt, l₂ Punkt:

Bisektorst¨uck Gerade ^d

b

a d b

c b

c a c

l₂b

l₂

c l₁

l₁

(12)

Bisektor von Segmenten

Bisektorst¨uck Gerade 2. l₁ Segment, l₂ Punkt:

Bisektorst¨uck Parabel

d

b

a d b

c b

c a c

l₂b

l₂

c l₁

l₁

(13)

Bisektor von Segmenten

Bisektorst¨uck Gerade 2. l₁ Segment, l₂ Punkt:

Bisektorst¨uck Parabel 3. l₁ Segment, l₂ Segment:

Bisektorst¨uck Gerade

d

b

a d b

c b

c a c

l₂b

l₂

c l₁

l₁

(14)

Regionen sind sternf¨ ormig

(15)

Regionen sind sternf¨ ormig

Menge von Liniensegmenten S, Voronoi-Region von einem Liniensegment VR(l, S)!

(16)

Regionen sind sternf¨ ormig

Lemma 5.25 Sei S eine Menge von Liniensegmenten und l ∈ S. F¨ur jeden Punkt x in der Voronoi-Region VR(l, S) gilt: Das

Liniensegment xy_x zwischen x und dem Punkt y_x ∈ l der am n¨achsten zu x liegt, liegt in VR(l, S).

(17)

Regionen sind sternf¨ ormig

Beweis:

(18)

Regionen sind sternf¨ ormig

Beweis: Widerspruch!

(19)

Regionen zusammenh¨ angend

(20)

Regionen zusammenh¨ angend

Korollar 5.26 Die Voronoi-Regionen von Liniensegmenten sind zusammenh¨angend.

(21)

Regionen zusammenh¨ angend

Beweis:

(22)

Regionen zusammenh¨ angend

Beweis: Alle Punkte der Region haben Blickkontakt zu l!

(23)

Bisektor: Maximal 7 St¨ ucke!

(24)

Bisektor: Maximal 7 St¨ ucke!

Lemma 5.27 Der Bisektor von zwei disjunkten Liniensegmenten l₁ und l₂ ist eine Kurve aus Parabelst¨ucken, Liniensegmenten und zwei Halbgeraden und besteht aus maximal 7 St¨ucken.

(25)

Bisektor: Maximal 7 St¨ ucke!

• Halbstreifen, insgesamt 8 _d^b

d a

d

b

a d

d c

l₂ l₂l₁

l₂ l₁

l₁

c l₁ l₁ l₁

(26)

Bisektor: Maximal 7 St¨ ucke!

• Halbstreifen, insgesamt 8

• Einmal betreten,

einmal verlassen, monoton

b d

d a

d

b

a d

d c

l₂ l₂l₁

l₂ l₁

l₁

c l₁ l₁ l₁

(27)

Bisektor: Maximal 7 St¨ ucke!

• Mind. Segment l₁ liegt auf konvex. H¨ulle

b d

d a

d

b

a d

d c

l₂ l₂l₁

l₂ l₁

l₁

c l₁ l₁ l₁

(28)

Bisektor: Maximal 7 St¨ ucke!

• Bisektor betritt sukzessive 3 Streifen von l₁

b d

d a

d

b

a d

d c

l₂ l₂l₁

l₂ l₁

l₁

c l₁ l₁ l₁

(29)

Bisektor: Maximal 7 St¨ ucke!

• Bisektor betritt sukzessive 3 Streifen von l₁

• max. 6 Kanten ¨uberqueren

b d

d a

d

b

a d

d c

l₂ l₂l₁

l₂ l₁

l₁

c l₁ l₁ l₁

(30)

Anwendung Bahnplanung: Kreisf¨ ormiger Agent

(31)

Anwendung Bahnplanung: Kreisf¨ ormiger Agent

• Verwende kleinsten Kreis um Roboter

R

(32)

Anwendung Bahnplanung: Kreisf¨ ormiger Agent

• Voronoi Diagramm der Segmente der Hindernisse

R

(33)

Anwendung Bahnplanung: Kreisf¨ ormiger Agent

• Weg auf Bisektoren:

R

(34)

Anwendung Bahnplanung: Kreisf¨ ormiger Agent

R

(35)

Anwendung Bahnplanung: Kreisf¨ ormiger Agent

R s t

(36)

Anwendung Bahnplanung: Kreisf¨ ormiger Agent

R s t

e_s e_t

(37)

Anwendung Bahnplanung: Kreisf¨ ormiger Agent

R s t

e_s e_t

s⁰ t⁰

(38)

Anwendung Bahnplanung: Kreisf¨ ormiger Agent

R s t

e_s e_t

s⁰ t⁰

(39)

Anwendung Bahnplanung: Kreisf¨ ormiger Agent

• Weg auf Bisektoren: M¨oglichst großer Abstand

R s t

e_s e_t

s⁰ t⁰

(40)

Start s

⁰

kann stets angelaufen werden

S⁰ s

V D(L) e_s

(41)

Start s

⁰

kann stets angelaufen werden

• s in Region von e_s,

S⁰ s

V D(L) e_s

(42)

Start s

⁰

kann stets angelaufen werden

• s in Region von e_s, Kreis frei

S⁰ s

V D(L) e_s

(43)

Start s

⁰

kann stets angelaufen werden

• K¨urzester Weg zu e_s, Strahl Richtung Bisektor

S⁰ s

V D(L) e_s

(44)

Start s

⁰

kann stets angelaufen werden

• Trifft Bisektor bei S⁰,

S⁰ s

V D(L) e_s

(45)

Start s

⁰

kann stets angelaufen werden

• Trifft Bisektor bei S⁰, Kreis/Weg ist frei!!

S⁰ s

V D(L) e_s

(46)

Bewegungsplanung von Agenten

(47)

Bewegungsplanung von Agenten

• Historie: Entkommen aus dem Labyrinth

(48)

Bewegungsplanung von Agenten

• Effizientmaße: L¨ange des Weges/Rechenzeit

(49)

Bewegungsplanung von Agenten

• Offline: Alle Informationen sind vorhanden

(50)

Bewegungsplanung von Agenten

• Online: Nur lokale Informationen: Sicht/Tastsensor

(51)

Bewegungsplanung von Agenten

• Modell: Karte aufbauen, Umgebung merken, kein Speicher

(52)

Bewegungsplanung von Agenten

• Modell: Karte aufbauen, Umgebung merken, kein Speicher

• Unvollst¨andige Information

(53)

Polygonale Umgebungen

s

(54)

Polygonale Umgebungen

• Umgebung: Menge von disjunkten einfachen Polygonen

s

(55)

Polygonale Umgebungen

• Ein Randpolygon

s

(56)

Polygonale Umgebungen

• Ein Randpolygon

• Verschiedene Aufgaben: Suchen eines Zielpunktes/Entkommen aus Labyrinth

s

(57)

Polygonale Umgebungen

• Ein Randpolygon

• Verschiedene Sensormodelle

s

(58)

Polygonale Umgebungen

• Ein Randpolygon

• Verschiedene Sensormodelle

• Zun¨achst: Entkommen aus dem Labyrinth

s

(59)

Entkommen aus dem Labyrinth: Modell

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(60)

Entkommen aus dem Labyrinth: Modell

• Punktf¨ormiger Agent/kreisf¨ormiger Agent

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(61)

Entkommen aus dem Labyrinth: Modell

• Touch Sensor

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(62)

Entkommen aus dem Labyrinth: Modell

• Touch Sensor

• Folge einer Wand

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(63)

Entkommen aus dem Labyrinth: Modell

• Touch Sensor

• Folge einer Richtung (exakt)

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(64)

Entkommen aus dem Labyrinth: Modell

• Touch Sensor

• Drehwinkel-Z¨ahler

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(65)

Entkommen aus dem Labyrinth: Modell

• Touch Sensor

• Drehwinkel-Z¨ahler

• Keinen weiteren Speicher

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(66)

Pledge Algorithmus

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(67)

Pledge Algorithmus

1. W¨ahle Winkel ϕ und drehe den Roboter in diese Richtung.

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(68)

Pledge Algorithmus

2. Gehe in Richtung ϕ, bis der Roboter ein Hindernis erreicht.

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(69)

Pledge Algorithmus

3. Drehe nach rechts und halte den Kontakt mit der Wand an der linken Seite des Roboters.

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(70)

Pledge Algorithmus

4. Folge der Wand und addiere dabei die Drehwinkel, bis der totale Drehwinkel Null ist, dann GOTO (2).

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(71)

Pledge Algorithmus

4. Folge der Wand und addiere dabei die Drehwinkel, bis der totale Drehwinkel Null ist, dann GOTO (2).

Winkelcounter = 0

+ +

+

−

(72)

Pledge Algorithmus

s

(73)

Pledge Algorithmus

• Winkelz¨ahler mod 2π = 0 reicht nicht

s

(74)

Pledge Algorithmus

• Nur Linke Hand reicht nicht

s

(75)

Pledge Algorithmus

• Nur Linke Hand reicht nicht

s