1. Bonus-Test zur Vorlesung
Datenstrukturen und Algorithmen SS 2007
Name : . . . . Matrikelnummer : . . . . Studiengang/Abschluss : . . . .
Ubungsgruppe (Nr./Tag/Zeit)¨ : . . . . Tutor : . . . .
Bitte schreiben Sie oben aufJEDE Seite Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer (bitte lesbar!).
Es sind keine Hilfsmittel zugelassen! R¨aumen Sie alles außer Ihrem Schreibma- terial vom Tisch. Wer abschreibt ODER wer von sich abschreiben l¨aßt, fliegt raus. Bringen Sie ihre Nachbarn also nicht in Schwierigkeiten!
Schreiben Sie L¨osungen bitte unter die Aufgabenstellung. Reicht der Platz nicht aus, so benutzen Sie die R¨uckseite und die beigef¨ugten Zusatzbl¨atter. Weitere Bl¨atter sind ggf. erh¨altlich.
Werden zu einer Aufgabe zwei L¨osungen angegeben, so gilt die Aufgabe als nicht gel¨ost. Entscheiden Sie sich also immer f¨ur eine L¨osung.
Ergebnisse und Algorithmen aus der Vorlesung d¨urfen zitiert werden. Ergebnisse aus den ¨Ubungen d¨urfenNICHTzitiert werden und m¨ussen hergeleitet werden.
D.h. es reicht NICHT zu sagen:
”Das geht gem¨aß Aufg. 99 der ¨Ubungen.“
Viel Erfolg !
1 2 Σ
Punkte:
Name: Matrikelnummer:
AUFGABE 1: (12 Punkte)
Gesucht ist ein effizienter Algorithmus zur Exponentiation nat¨urlicher Zahlen; d.h., gegeben nat¨urliche Zahlenx und n, so soll der Algorithmus in Zeit O(logn) die Zahl
xn =x·x·x·. . .·x·x
| {z }
n−mal
berechnen.
a) Beschreiben Sie informell einen Algorithmus, der nach dem PrinzipTeile-und-Herrsche (divide&conquer) bei Eingabe (x, n) in ZeitO(logn) die Zahlxn berechnet und zur¨uck- liefert. Dabei sind lediglich die Addition, Subtraktion und Multiplikation ganzer Zahlen als arithmetische Operationen in konstanter Zeit erlaubt. Auch die Abfrage, ob eine ganze Zahl gerade oder ungerade ist, ist in konstanter Zeit erlaubt.
Hinweis: Finden Sie zun¨achst eine rekursive Formulierung f¨urxn. Achten Sie aber auch darauf, dass Ihre Idee die Laufzeitschranke erf¨ullt. (Erinnern Sie sich an die bin¨are Suche.)
b) Geben Sie ihren Algorithmus in Pseudocode an.
c) Geben Sie die Laufzeit des Algorithmus als Rekursionsgleichung an. Analysieren Sie die Laufzeit im O-Kalk¨ul mittels Iterations- oder Substitutionsmethode.
d) Beweisen Sie die Korrektheit Ihres Algorithmus.
Name: Matrikelnummer:
AUFGABE 2: (12 Punkte)
Einer Ihrer Bekannten ist seit kurzem Anh¨anger einer brandneuen Trendsportart. Um den Sport richtig aus¨uben zu k¨onnen, ben¨otigt man n verschiedene Ausr¨ustungsteile. Momentan ist der Trend hierzulande noch unbekannt und jedes Teil ist f¨ur nur 100 Euro zu haben. In den kommenden Monaten jedoch wird der Preis sp¨urbar anziehen. Genauer gesagt existieren (laut Bericht eines Trend-Magazins) Konstanten α1, α2, . . . , αn > 0, so dass der Preis des i-ten Ausr¨ustungsteils ink Monaten bereits 100 +kαi Euro betr¨agt.
Aus Geldmangel kann sich Ihr Bekannter allerdings nur ein Ausr¨ustungsteil pro Monat leisten.
D.h., wenn sich Ihr Bekannter Ausr¨ustungsteilialsk-tes kauft, so zahlt er 100+(k−1)αiEuro.
Helfen Sie ihrem Bekannten und entwerfen Sie einen Algorithmus, welcher die Gesamtkosten f¨ur allen Teile minimiert.
a) Beschreiben Sie informell einegierige (greedy) Strategie, die bei Eingabeα1, α2, . . . , αn in Zeit O(nlogn) die optimale Reihenfolge bestimmt, in der Ihr Bekannter die Teile erwerben sollte, um dabei so wenig Geld wie m¨oglich zu zahlen.
b) Geben Sie den Algorithmus aus a) in Pseudocode an, so dass er bei Eingabe eines Arrays A mit A[i] = αi die minimalen Gesamtkosten als Ergebnis zur¨uckliefert. Die Reihenfolge der K¨aufe muss dabei nicht explizit bestimmt werden.
c) Analysieren Sie die Laufzeit des Algorithmus im O-Kalk¨ul.
d) Beweisen Sie die Optimalit¨at Ihres Algorithmus.