Kern- und Teilchenphysik I — SS 2006 — Prof. G. Dissertori — Serie 8
1. (Semi)leptonische schwache Zerf¨alle vomτ Lepton und von charm und beauty Quarks
In erster N¨ahrung sind die Kopplungen desW∗ an die verschiedenen kinematisch erlaubten Zust¨ande identisch. Man erwartet gleiche Zerfallswahrscheinlichkeiten von W∗+ nach e+νe, µ+νµundτ+ντ. Entsprechend erwartet man in etwa gleiche Raten f¨urW∗+nachud¯undc¯s.
Diese sollten etwa dreimal h¨aufiger (colour Faktor) sein als die leptonischen Zerf¨alle. Zusam- menz¨ahlen der m¨ogliche Zerf¨alle beimτ ergibt also zwei leptonische Zerf¨alle (e+νeundµ+νµ) und dreimal den Zerfallud. Damit w¨¯ urde man also etwa ein Verzweigungsverh¨altnis von 20%
pro Kanal (und colour) erwarten. Die Messungen liegen f¨ur die Leptonen etwas tiefer (Korrek- turen durch h¨ohere Ordnungen der QCD). Entsprechend erwartet man beim Zerfall des top quarks (oder des W bosons) zus¨atzlich den leptonsichen Kanalτ+ντ und den Zerfallc¯s. Z¨ahlt man alles zusammen erwartet man entsprechend ein Verzweigungsverh¨altnis von 1/9 pro lep- tonischen Kanal. Die Zerf¨alle von charm und beauty Quarks sind komplizierter. Erstens kann man beim Zerfall des beauty Quarks die Massen vonτ und charm nicht vernachl¨assigen. Man erwartet jeweils einen kinematischen Unterdr¨uckungsfaktor von etwa 1/4. Zweitens sind die c,b und s Quarks in Hadronen gebunden. Damit werden hadronische Effekte bei kleinemQ2 viel wichtiger. Zum Beispiel sind die Unterschiede der leptonischen Zerf¨alle vonD0 undD+ sehr gross! Bei den Kaonen sind die Unterschiede noch gravierender. Wenn man Zeit hat lohnt es sich die entsprechenden Erkl¨arungen (in Textb¨uchern) genauer anzuschauen!
2. Nachweis desW-Bosons
a) mt-Verteilung
m2t ≡ (pt,e+pt,ν)2−(~pt,e+~pt,ν)2=p2t,e+ 2pt,ept,ν+p2t,ν−p2t,e−2~pt,e·~pt,ν−p2t,ν
= 2pt,ept,ν(1−cosφeν) b) Jacobisches Maximum
-
p p¯
HH HH H Y e
HH HH
H νj θ
pe≈MWc
2 ⇒pt,e=MWc
2 sinθ ⇒ sinθ= 2pt,e
MWc ⇒
cosθ=±√
1−sinθ2=± r
1−2pt,e
MWc 2
=± 2 MWc
r MWc
2 2
−p2t
⇒dcosθ dpt
=± 2 MWc
1 2
1 q
MWc/2)2
−p2t
(−2pt)
Physikalisch macht nur ein positiver Wirkungsquerschnitt Sinn:
⇒ dσ dpt = dσ
dcosθ 2pt
MWc
1 q
MWc/22
−p2t
Der Wirkungsquerschnitt nimmt f¨ur kleineptlinear zu und hat beipt=MWc/2 ein Maximum.
Da dasW-Boson nicht in Ruhe produziert wurde und eine endliche Zerfallsbreite hat ist die Verteilung um das Maximum “ausgeschmiert” und nicht unendlich.
3. Entdeckung des Z-Bosons
a) F¨ur die Strahlenergie muss die Schwerpunktsenergie der Quarks mindestens gleich der Ru- hemasse desZ’s sein:
s= Proton-Schwerpunktsenergie Ep= Proton-Strahlenergie ˆ
s= Quark-Schwerpunktsenergie Eq= Quark-Strahlenergie u+ ¯u→Z MZ·c2 =! 2Eq < xv> = 0.15 d+ ¯d→Z s = 4E! p2 < xs> = 0.04
p¯p pp
Mz·c2=√ ˆ
s=√< xv>·< xv>·s Mz·c2=√ ˆ
s=√< xv>·< xs>·s
= 2·< xv>·Ep = 2·√< xv>·< xs>·Ep
⇒Ep=2<xMZ·c2
v>=<xEq
v> ⇒Ep=2√<xMZ·c2
v>·<xs>=√<xEq
v>·<xs>
Ep∼304 GeV(MZ= 91.2 GeV) Ep∼589 GeV(MZ= 91.2 GeV) 317 GeV(MZ= 95.2 GeV) 615 GeV(MZ= 95.2 GeV) b) F¨ur die Luminosit¨at gilt:
N˙ =σ· L ⇒ L=N˙ σ N˙ =4 Ereignisse
7·24·3600 s σ= 0.1 nb = 10−38m2
⇒ L= 6.6·1032m−2s−1= 6.6·1028cm−2s−1 c) Die W-Masse berechnet sich wie in Aufgabe 3 gezeigt aus der Gleichung
m2t= 2pt,ept,ν(1−cosφeν)
Die transversale Masse ist n¨otig, weil beim W-Zerfall ein Neutrino vorkommt, dessen Ener- gie und Impuls nicht gemessen werden.
BeimZZerfall hingegen, kommen misst man die Elektronen und Positronen direkt. Deshalb kann hier die wirkliche Masse berechnet werden:
m2Z= 2pe+pe−(1−cosθe+e−)
θe+e− ist der Winkel zwischen dem Elektron-Positron Paar. Leider wurde in der Tabel- le 1 im Paper nur der Winkelφ in der X-Y Ebene angegeben. Zur L¨osung geht es also
darum zuerst die Energie, Θ undφin den Vierervektor der Elektronen und Positronen umzurechnen. Der Winkel Θ kann aus der Rapidit¨at y berechnet werden (f¨urm < pgilt Y =η=−ln tan Θ/2). Des weiteren muss man sich ¨uberlegen ob man die Energiemessung aus dem Kalorimeter oder die Impulsmessung aus der Spurkammer benutzen sollte. Bei hohen Energien sind Kalorimeter Messungen f¨ur Elektronen fast immer besser als die Mes- sungen aus der Spurkammer. Im Kalorimeter wird die gesammte Energie der Elektronen gemessen (inklusive der Bremsstrahlungsphotonen im Spurdetektor und die Energiemes- sung ist “gaussisch” w¨ahrend eine Impulsmessung “gaussisch” in 1/P ist.
Entsprechend findet man f¨ur die 4 Ereignisse folgendene+e−invariante Massen (und falls man sich nicht verrechnet): 91.75 GeV, 97.1 GeV, 98.7 GeV und 95.2 GeV.
In einem “¨alteren” L¨osungsvorschlag wurde, in Analogie zur Rekonstruktion der W Masse, der Gesammtimpuls und der Winkel zwischen dem Elektron-Positron Paar in der Ebe- ne transversal zum Strahl benutzt. Daraus ergibt sich f¨ur die Ereignisse aus dem Paper folgende Tabelle:
event pe+[ GeV] pe−[ GeV] φe+e−[◦] mZ[ GeV]
A 33 63 175 91.1
B 27 93 191 99.8
C 32 9 188 33.6
D - 50 178 -
Bei einem Vergleich der Resultate mit der Massenverteilung im Histogramm (Figure 1c im Paper) h¨atte man sofort den grossen Unterschied bemerken k¨onnen. Trotzdem findet man im Gegensatz zur Rechnung, im Histogram immer noch ein Ereignis mit leicht mehr als 100 GeV, woran kann das liegen? Entweder handelt es sich um einen “Rundungs”/Rechenfehler oder im Paper wurde noch eine Zusatzinformation bei einem Event benutzt(?) oder das Binning ging in Wirklichkeit von 90-94 94-98 und 98-102 GeV.
d) Kosmische Spuren
e) Paper : mZ= 95.2 GeV und ΓZ= 3.0 GeV
Particle Data Book (2002) : mZ= 91.2 GeV und ΓZ= 2.5 GeV
4. Extraction of the number of neutrino species from the primordial Helium abundance
a) From the Boltzmann equation, nn
np=e−(mn−mp)/kT withmn−mp= 1.29 MeV and kT = 0.720 MeV, we get nnn
p = 0.1667 (∼1/6).
b) Theβ-decay of neutrons leads to an exponential decrease:
nn(t) =nn(0)e−t/τn
Usingt= 100 sec andτn= 887 sec, this leads to a factorf = 0.893.
Since the neutrons are converted into protons, their ratio will be multiplied by a factor f /(1 + (1−f)) =f /(2−f) = 0.807.
Using the previously found nnnp, we obtain a new value of 0.135 (∼1/7).
c) The ratio of Helium to Hydrogen can be determined as nHe
nH
= nn/2 np−nn
=1 2
1
np nn−1 SincemHe= 4mH, we get that
mHe
mH
= 2 1
np
nn−1= 0.312 if we use the previously found nnnp ratio. Then,
YP= mHe
mHe+mH =
mHe mH mHe
mH + 1= 0.238≈0.24
d) Usingτn = 887 sec,YPmax= 0.248 andη= 3, we find the upper limit forNν to be 3.55.
The combined LEP result forNνis 2.994±0.012, much more precise than the cosmological result.
