F¨ ur kontextsensitive Grammatiken ist das Wortproblem entscheidbar.

(1)

Bemerkung:

Das uniforme wie auch das nicht-uniforme Wortproblem ist f¨ ur Typ-0-Sprachen (also die rekursiv-aufz¨ ahlbare Sprachen) nicht entscheidbar. Wir werden sp¨ ater sehen, dass es zum Halteproblem f¨ ur Turingmaschinen ¨ aquivalent ist.

Es gilt jedoch Satz 16

F¨ ur kontextsensitive Grammatiken ist das Wortproblem entscheidbar.

Genauer: Es gibt einen Algorithmus, der bei Eingabe einer

kontextsensitiven Grammatik G = (V, Σ, P, S) und eines Wortes w in endlicher Zeit entscheidet, ob w ∈ L(G).

Info IV 2.3 Das Wortproblem 38/217

c

Ernst W. Mayr

(2)

Beweisidee:

Angenommen w ∈ L(G). Dann gibt es eine Ableitung S = w ⁽⁰⁾ → _G w ⁽¹⁾ → _G · · · → _G w ⁽ⁿ⁾ = w mit w ⁽ⁱ⁾ ∈ (Σ ∪ V ) ^∗ f¨ ur i = 1, . . . , n.

Da aber G kontextsensitiv ist, gilt (falls w 6= )

|w ⁽⁰⁾ | ≤ |w ⁽¹⁾ | ≤ · · · ≤ |w ⁽ⁿ⁾ | ,

d.h., es gen¨ ugt, alle W¨ orter in (Σ ∪ V ) ^∗ der L¨ ange ≤ |w| zu erzeugen.

c

Ernst W. Mayr

(3)

Beweis:

Sei o.B.d.A. w 6= und sei

T _m ⁿ := {w ⁰ ∈ (Σ ∪ V ) ^∗ ; |w ⁰ | ≤ n und

w ⁰ l¨ asst sich aus S in ≤ m Schritten ableiten}

Diese Mengen kann man f¨ ur alle n und m induktiv wie folgt berechnen:

T ₀ ⁿ := {S}

T _m+1 ⁿ := T _m ⁿ ∪ {w ⁰ ∈ (Σ ∪ V ) ^∗ ; |w ⁰ | ≤ n und w ⁰⁰ → w ⁰ f¨ ur ein w ⁰⁰ ∈ T _m ⁿ } Beachte: F¨ ur alle m gilt: |T _m ⁿ | ≤ P n

i=1 |Σ ∪ V | ⁱ . Es muss daher immer ein m ₀ geben mit

T _m ⁿ

₀

= T _m ⁿ

₀

₊₁ = . . . =: T _n .

c

Ernst W. Mayr

(4)

Beweis (Forts.):

Algorithmus:

n := |w|

T := {S}

T ⁰ := ∅

while T 6= T ⁰ do T ⁰ := T

T := T ⁰ ∪ {w ⁰ ∈ (V ∪ Σ) ⁺ ; |w ⁰ | ≤ n, (∃w ⁰⁰ ∈ T ⁰ )[w ⁰⁰ → w ⁰ ]}

od

if w ∈ T return “ja” else return “nein” fi

c

Ernst W. Mayr

(5)

Beispiel 17

Gegeben sei die Typ-2-Grammatik mit den Produktionen S → ab und S → aSb

sowie das Wort w = abab.

T ₀ ⁴ = {S}

T ₁ ⁴ = {S, ab, aSb}

T ₂ ⁴ = {S, ab, aSb, aabb} aaSbb ist zu lang!

T ₃ ⁴ = {S, ab, aSb, aabb}

Also l¨ asst sich das Wort w mit der gegebenen Grammatik nicht erzeugen!

c

Ernst W. Mayr

(6)

Bemerkung:

Der angegebene Algorithmus ist nicht sehr effizient! F¨ ur

kontextfreie Grammatiken gibt es wesentlich effizientere Verfahren, die wir sp¨ ater kennenlernen werden!

c

Ernst W. Mayr

(7)

2.4 Ableitungsgraph und Ableitungsbaum Grammatik:

S → AB A → aA A → a B → bB B → b aaa → c cb → a

Beispiel:

S

A B

a A b B

a b

c a

Die Terminale ohne Kante nach unten entsprechen, von links nach rechts gelesen, dem durch den Ableitungsgraphen dargestellten Wort.

Info IV 44/217

c

Ernst W. Mayr

(8)

Grammatik:

S → AB A → aA A → a B → bB B → b aaa → c cb → a

Beispiel:

S

A B

a A b B

a b

c a Dem Ableitungsgraph entspricht z.B. die Ableitung

S → AB → aAB → aAbB → aaAbB → aaAbbB →

→ aaabbB → aaabbb → cbbb → abb

Info IV 2.4 Ableitungsgraph und Ableitungsbaum 44/217

c

Ernst W. Mayr

(9)

Beobachtung:

Bei kontextfreien Sprachen sind die Ableitungsgraphen immer B¨ aume.

Beispiel 18 Grammatik:

S → aB S → Ac A → ab B → bc

AbleitungsbaumAbleitungsb¨ aume:

S A

a b c

S B

b c

a

F¨ ur das Wort abc gibt es zwei verschiedene Ableitungsb¨ aume.

c

Ernst W. Mayr

(10)

Definition 19 Eine Ableitung

S = w ⁽⁰⁾ → w ⁽¹⁾ → · · · → w ⁽ⁿ⁾ = w eines Wortes w heißt Linksableitung, wenn f¨ ur jede

Anwendung einer Produktion α → β auf w ⁽ⁱ⁾ = xαz gilt, dass sich keine Regel der Grammatik auf ein echtes Pr¨ afix von xα anwenden l¨ asst.

Eine Grammatik heißt eindeutig, wenn es f¨ ur jedes Wort w ∈ L(G) genau eine Linksableitung gibt. Nicht eindeutige Grammatiken nennt man auch mehrdeutig.

Eine Sprache L heißt eindeutig, wenn es f¨ ur L eine eindeutige Grammatik gibt. Ansonsten heißt L mehrdeutig.

Bemerkung: F¨ ur eindeutige kontextfreie Grammatiken ist das Wortproblem sehr einfach l¨ osbar.

c

Ernst W. Mayr

(11)

Beispiel 20 Grammatik:

S → aB S → Ac A → ab B → bc

Ableitungsb¨ aume:

S A

a b c

S B

b c

a

Beide Ableitungsb¨ aume f¨ ur das Wort abc entsprechen Linksableitungen.

c

Ernst W. Mayr

(12)

Beispiel 21 Grammatik:

S → AB A → aA A → a B → bB B → b aaa → c cb → a

Ableitung:

S

A B

a A b B

a b

c Eine Linksableitung ist a

S → AB → aAB → aaAB → aaaB → cB →

→ cbB → aB → abB → abb

Info IV 48/217

c

Ernst W. Mayr

(13)

Beispiel 21 Grammatik:

S → AB A → aA A → a B → bB B → b aaa → c cb → a

Ableitung:

S

A B

a A b B

a b

c Eine andere Linksableitung ist a

S → AB → aB → abB → abb .

Info IV 48/217

c

Ernst W. Mayr

(14)

Beispiel 21 Grammatik:

S → AB A → aA A → a B → bB B → b aaa → c cb → a

Ableitung:

S

A B

a A b B

a b

c Die Grammatik ist also mehrdeutig. a

c

Ernst W. Mayr

(15)

3. Regul¨ are Sprachen

3.1 Deterministische endliche Automaten Definition 22

Ein deterministischer endlicher Automat (englisch: deterministic finite automaton, kurz DFA) wird durch ein 5-Tupel

M = (Q, Σ, δ, q ₀ , F ) beschrieben, das folgende Bedingungen erf¨ ullt:

1

Q ist eine endliche Menge von Zust¨ anden.

2

Σ ist eine endliche Menge, das Eingabealphabet, wobei Q ∩ Σ = ∅.

3

q ₀ ∈ Q ist der Startzustand.

4

F ⊆ Q ist die Menge der Endzust¨ ande.

5

δ : Q × Σ → Q heißt Ubergangsfunktion. ¨

Info IV 3.1 Deterministische endliche Automaten 49/217

c

Ernst W. Mayr

(16)

Die von M akzeptierte Sprache ist

L(M ) := {w ∈ Σ ^∗ ; ˆ δ(q 0 , w) ∈ F } , wobei δ ˆ : Q × Σ ^∗ → Q induktiv definiert ist durch

ˆ δ(q, ) = q f¨ ur alle q ∈ Q δ(q, ax) ˆ = ˆ δ(δ(q, a), x) f¨ ur alle q ∈ Q, a ∈ Σ

und x ∈ Σ ^∗ Bemerkung: Endliche Automaten k¨ onnen durch (gerichtete und markierte) Zustandsgraphen veranschaulicht werden:

Knoten = b Zust¨ anden Kanten = b Uberg¨ ¨ angen

genauer: die mit a ∈ Σ markierte Kante (u, v) entspricht δ(u, a) = v

Der Anfangszustand wird durch einen Pfeil, Endzust¨ ande werden durch doppelte Kreise gekennzeichnet.

c

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(17)

Beispiel 23

Sei M = (Q, Σ, δ, q ₀ , F ), wobei

Q = {q ₀ , q 1 , q 2 , q 3 } Σ = {a, b}

F = {q ₃ } δ(q ₀ , a) = q ₁

δ(q 0 , b) = q 3

δ(q 1 , a) = q 2

δ(q ₁ , b) = q ₀ δ(q ₂ , a) = q ₃ δ(q ₂ , b) = q ₁ δ(q 3 , a) = q 0

δ(q 3 , b) = q 2

q ₃

q 1

q ₂ q 0

b a a

b b a

a b

c

Ernst W. Mayr

(18)

Satz 24

Ist M = (Q, Σ, δ, q ₀ , F ) ein deterministischer endlicher Automat, so ist die durch

P := {q → aq ⁰ ; δ(q, a) = q ⁰ } ∪ {q → a; δ(q, a) ∈ F } gegebene Grammatik G = (Q, Σ, P, q 0 ) regul¨ ar.

Beweis:

Offensichtlich!

c

Ernst W. Mayr

(19)

Beispiel 25

q 3

q 1

q 2

q 0

b a a

b b a

a b

Produktionen:

q

0

→ aq

1

q

0

→ bq

3

q

1

→ aq

2

q

1

→ bq

0

q

2

→ aq

3

q

2

→ bq

1

q

3

→ aq

0

q

3

→ bq

2

q

2

→ a q

0

→ b

q

0

→ aq

1

→ abq

0

→ abaq

₁

→ abaaq

₂

→ abaaa ∈ L(G)

c

Ernst W. Mayr

(20)

Satz 26

Sei M = (Q, Σ, δ, q ₀ , F ) ein endlicher deterministischer Automat.

Dann gilt f¨ ur die soeben konstruierte regul¨ are Grammatik G L(G) = L(M) .

Beweis:

Sei w = a ₁ a ₂ · · · a _n ∈ Σ ^∗ . Dann gilt gem¨ aß Konstruktion:

w ∈ L(M )

⇔ ∃q ₀ , q ₁ , . . . , q _n ∈ Q: q ₀ Startzustand von M ,

∀i = 0, . . . , n − 1: δ(q _i , a _i+1 ) = q _i+1 , q _n ∈ F

⇔ ∃q ₀ , q 1 , . . . , q n−1 ∈ V : q 0 Startsymbol von G q ₀ → a ₁ q ₁ → a ₁ a ₂ q ₂ → · · · → a ₁ · · · a n−1 q n−1 →

→ a ₁ · · · a n−1 a _n

⇔ w ∈ L(G)

c

Ernst W. Mayr

(21)

3.2 Nichtdeterministische endliche Automaten Definition 27

Ein nichtdeterministischer endlicher Automat (englisch:

nondeterministic finite automaton, kurz NFA) wird durch ein 5-Tupel N = (Q, Σ, δ, S, F ) beschrieben, das folgende Bedingungen erf¨ ullt:

1

Q ist eine endliche Menge von Zust¨ anden.

2

Σ ist eine endliche Menge, das Eingabealphabet, wobei Q ∩ Σ = ∅.

3

S ⊆ Q ist die Menge der Startzust¨ ande.

4

F ⊆ Q ist die Menge der Endzust¨ ande.

5

δ : Q × Σ → P (Q) \ {∅} heißt Ubergangsrelation. ¨

Info IV 3.2 Nichtdeterministische endliche Automaten 55/217

c

Ernst W. Mayr

(22)

Die von N akzeptierte Sprache ist

L(N ) := {w ∈ Σ ^∗ ; ˆ δ(S, w) ∩ F 6= ∅} ,

wobei δ ˆ : P(Q) × Σ ^∗ → P (Q) wieder induktiv definiert ist durch δ(Q ˆ ⁰ , ) = Q ⁰ ∀Q ⁰ ⊆ Q, Q ⁰ 6= ∅

δ(Q ˆ ⁰ , ax) = δ( ˆ [

q∈Q

⁰

δ(q, a), x) ∀∅ 6= Q ⁰ ⊆ Q, ∀a ∈ Σ, ∀x ∈ Σ ^∗

c

Ernst W. Mayr

(23)

F¨ ur kontextsensitive Grammatiken ist das Wortproblem entscheidbar.

Bemerkung:

Das uniforme wie auch das nicht-uniforme Wortproblem ist f¨ ur Typ-0-Sprachen (also die rekursiv-aufz¨ ahlbare Sprachen) nicht entscheidbar. Wir werden sp¨ ater sehen, dass es zum Halteproblem f¨ ur Turingmaschinen ¨ aquivalent ist.

Es gilt jedoch Satz 16

F¨ ur kontextsensitive Grammatiken ist das Wortproblem entscheidbar.

Genauer: Es gibt einen Algorithmus, der bei Eingabe einer

kontextsensitiven Grammatik G = (V, Σ, P, S) und eines Wortes w in endlicher Zeit entscheidet, ob w ∈ L(G).

Beweisidee:

Angenommen w ∈ L(G). Dann gibt es eine Ableitung S = w (0) → G w (1) → G · · · → G w (n) = w mit w (i) ∈ (Σ ∪ V ) ∗ f¨ ur i = 1, . . . , n.

Da aber G kontextsensitiv ist, gilt (falls w 6= )

|w (0) | ≤ |w (1) | ≤ · · · ≤ |w (n) | ,

d.h., es gen¨ ugt, alle W¨ orter in (Σ ∪ V ) ∗ der L¨ ange ≤ |w| zu erzeugen.

Beweis:

Sei o.B.d.A. w 6= und sei

T m n := {w 0 ∈ (Σ ∪ V ) ∗ ; |w 0 | ≤ n und

w 0 l¨ asst sich aus S in ≤ m Schritten ableiten}

Diese Mengen kann man f¨ ur alle n und m induktiv wie folgt berechnen:

T 0 n := {S}

T m+1 n := T m n ∪ {w 0 ∈ (Σ ∪ V ) ∗ ; |w 0 | ≤ n und w 00 → w 0 f¨ ur ein w 00 ∈ T m n } Beachte: F¨ ur alle m gilt: |T m n | ≤ P n

i=1 |Σ ∪ V | i . Es muss daher immer ein m 0 geben mit

T m n

= T m n

+1 = . . . =: T n .

Beweis (Forts.):

Algorithmus:

n := |w|

T := {S}

T 0 := ∅

while T 6= T 0 do T 0 := T

T := T 0 ∪ {w 0 ∈ (V ∪ Σ) + ; |w 0 | ≤ n, (∃w 00 ∈ T 0 )[w 00 → w 0 ]}

od

if w ∈ T return “ja” else return “nein” fi

Beispiel 17

Gegeben sei die Typ-2-Grammatik mit den Produktionen S → ab und S → aSb

sowie das Wort w = abab.

T 0 4 = {S}

T 1 4 = {S, ab, aSb}

T 2 4 = {S, ab, aSb, aabb} aaSbb ist zu lang!

T 3 4 = {S, ab, aSb, aabb}

Also l¨ asst sich das Wort w mit der gegebenen Grammatik nicht erzeugen!

Bemerkung:

Der angegebene Algorithmus ist nicht sehr effizient! F¨ ur

kontextfreie Grammatiken gibt es wesentlich effizientere Verfahren, die wir sp¨ ater kennenlernen werden!

2.4 Ableitungsgraph und Ableitungsbaum Grammatik:

S → AB A → aA A → a B → bB B → b aaa → c cb → a

Beispiel:

S

A B

a A b B

a A b B

a b

c a

Die Terminale ohne Kante nach unten entsprechen, von links nach rechts gelesen, dem durch den Ableitungsgraphen dargestellten Wort.

Grammatik:

S → AB A → aA A → a B → bB B → b aaa → c cb → a

Beispiel:

S

A B

a A b B

a A b B

a b

c a Dem Ableitungsgraph entspricht z.B. die Ableitung

S → AB → aAB → aAbB → aaAbB → aaAbbB →

→ aaabbB → aaabbb → cbbb → abb

Beobachtung:

Bei kontextfreien Sprachen sind die Ableitungsgraphen immer B¨ aume.

Beispiel 18 Grammatik:

S → aB S → Ac A → ab B → bc

AbleitungsbaumAbleitungsb¨ aume:

S A

a b c

S B

b c

a

F¨ ur das Wort abc gibt es zwei verschiedene Ableitungsb¨ aume.

Definition 19 Eine Ableitung

S = w (0) → w (1) → · · · → w (n) = w eines Wortes w heißt Linksableitung, wenn f¨ ur jede

Anwendung einer Produktion α → β auf w (i) = xαz gilt, dass sich keine Regel der Grammatik auf ein echtes Pr¨ afix von xα anwenden l¨ asst.

Eine Grammatik heißt eindeutig, wenn es f¨ ur jedes Wort w ∈ L(G) genau eine Linksableitung gibt. Nicht eindeutige Grammatiken nennt man auch mehrdeutig.

Eine Sprache L heißt eindeutig, wenn es f¨ ur L eine eindeutige Grammatik gibt. Ansonsten heißt L mehrdeutig.

Angenommen w ∈ L(G). Dann gibt es eine Ableitung S = w ⁽⁰⁾ → _G w ⁽¹⁾ → _G · · · → _G w ⁽ⁿ⁾ = w mit w ⁽ⁱ⁾ ∈ (Σ ∪ V ) ^∗ f¨ ur i = 1, . . . , n.

|w ⁽⁰⁾ | ≤ |w ⁽¹⁾ | ≤ · · · ≤ |w ⁽ⁿ⁾ | ,

d.h., es gen¨ ugt, alle W¨ orter in (Σ ∪ V ) ^∗ der L¨ ange ≤ |w| zu erzeugen.

T _m ⁿ := {w ⁰ ∈ (Σ ∪ V ) ^∗ ; |w ⁰ | ≤ n und

w ⁰ l¨ asst sich aus S in ≤ m Schritten ableiten}

T ₀ ⁿ := {S}

T _m+1 ⁿ := T _m ⁿ ∪ {w ⁰ ∈ (Σ ∪ V ) ^∗ ; |w ⁰ | ≤ n und w ⁰⁰ → w ⁰ f¨ ur ein w ⁰⁰ ∈ T _m ⁿ } Beachte: F¨ ur alle m gilt: |T _m ⁿ | ≤ P n

i=1 |Σ ∪ V | ⁱ . Es muss daher immer ein m ₀ geben mit

T _m ⁿ

= T _m ⁿ

₊₁ = . . . =: T _n .

T ⁰ := ∅

while T 6= T ⁰ do T ⁰ := T

T := T ⁰ ∪ {w ⁰ ∈ (V ∪ Σ) ⁺ ; |w ⁰ | ≤ n, (∃w ⁰⁰ ∈ T ⁰ )[w ⁰⁰ → w ⁰ ]}

T ₀ ⁴ = {S}

T ₁ ⁴ = {S, ab, aSb}

T ₂ ⁴ = {S, ab, aSb, aabb} aaSbb ist zu lang!

T ₃ ⁴ = {S, ab, aSb, aabb}

S = w ⁽⁰⁾ → w ⁽¹⁾ → · · · → w ⁽ⁿ⁾ = w eines Wortes w heißt Linksableitung, wenn f¨ ur jede

Anwendung einer Produktion α → β auf w ⁽ⁱ⁾ = xαz gilt, dass sich keine Regel der Grammatik auf ein echtes Pr¨ afix von xα anwenden l¨ asst.

M = (Q, Σ, δ, q ₀ , F ) beschrieben, das folgende Bedingungen erf¨ ullt:

q ₀ ∈ Q ist der Startzustand.

L(M ) := {w ∈ Σ ^∗ ; ˆ δ(q 0 , w) ∈ F } , wobei δ ˆ : Q × Σ ^∗ → Q induktiv definiert ist durch

und x ∈ Σ ^∗ Bemerkung: Endliche Automaten k¨ onnen durch (gerichtete und markierte) Zustandsgraphen veranschaulicht werden:

Sei M = (Q, Σ, δ, q ₀ , F ), wobei

Q = {q ₀ , q 1 , q 2 , q 3 } Σ = {a, b}

F = {q ₃ } δ(q ₀ , a) = q ₁

δ(q ₁ , b) = q ₀ δ(q ₂ , a) = q ₃ δ(q ₂ , b) = q ₁ δ(q 3 , a) = q 0

q ₃

q ₂ q 0