4. Das Wortproblem 4.1 Die Existenz von Ableitungen eines Wortes

4. Das Wortproblem

4.1 Die Existenz von Ableitungen eines Wortes

Beispiel 56 (Arithmetische Ausdr¨ ucke)

<expr> → <term>

<expr> → <expr>+<term>

<term> → (<expr>)

<term> → <term>× <term>

<term> → a|b| . . . |z

Aufgabe einesParsers ist nun, zu pr¨ufen, ob eine gegebene

Zeichenreihe einen g¨ultigen arithmetischen Ausdruck darstellt und, falls ja, ihn in seine Bestandteile zu zerlegen.

SeiG= (V,Σ, P, S) eine Grammatik.

Definition 57

1 Wortproblem: Gegeben ein Wort w∈Σ^∗, stelle fest, ob w∈L(G) ?

2 Ableitungsproblem: Gegeben ein Wortw ∈L(G), gib eine Ableitung S→^∗_Gw an, d.h. eine Folge

S=w⁽⁰⁾→_Gw⁽¹⁾→_G· · · →_Gw⁽ⁿ⁾=w

mit w⁽ⁱ⁾∈(Σ∪V)^∗ f¨uri= 1, . . . , n.

3 uniformes Wortproblem: Wortproblem, bei dem jede Probleminstanz sowohl die Grammatik G wie auch die zu testende Zeichenreihe w enth¨alt. IstG dagegenglobal

festgelegt, spricht man von einem nicht-uniformenWortproblem.

Bemerkung:

Das uniforme wie auch das nicht-uniforme Wortproblem ist f¨ur Typ-0-Sprachen (also die rekursiv-aufz¨ahlbare Sprachen) nicht entscheidbar. Wir werden sp¨ater sehen, dass es zumHalteproblem f¨ur Turingmaschinen¨aquivalent ist.

Es gilt jedoch

Satz 58

F¨ur kontextsensitive Grammatiken ist das Wortproblem entscheidbar.

Genauer: Es gibt einen Algorithmus, der bei Eingabe einer

kontextsensitiven GrammatikG= (V,Σ, P, S)und eines Wortes w in endlicher Zeit entscheidet, obw∈L(G).

Beweisidee:

Angenommenw∈L(G). Dann gibt es eine Ableitung S=w⁽⁰⁾→_Gw⁽¹⁾→_G· · · →_Gw⁽ⁿ⁾=w mitw⁽ⁱ⁾∈(Σ∪V)^∗ f¨ur i= 1, . . . , n.

Da aberGkontextsensitiv ist, gilt (fallsw6=)

|w⁽⁰⁾| ≤ |w⁽¹⁾| ≤ · · · ≤ |w⁽ⁿ⁾|,

d.h., es gen¨ugt, alle W¨orter in (Σ∪V)^∗ der L¨ange≤ |w|zu erzeugen.

Beweis:

Sei o.B.d.A.w6=und sei

T_mⁿ := {w⁰∈(Σ∪V)^∗; |w⁰| ≤nund

w⁰ l¨asst sich ausS in ≤mSchritten ableiten}

Diese Mengen kann man f¨ur alle n undm induktiv wie folgt berechnen:

T₀ⁿ := {S}

T_m+1ⁿ := T_mⁿ ∪ {w⁰ ∈(Σ∪V)^∗; |w⁰| ≤nund w⁰⁰→w⁰ f¨ur einw⁰⁰∈T_mⁿ} Beachte:F¨ur alle m gilt: |T_mⁿ| ≤Pn

i=1|Σ∪V|ⁱ. Es muss daher immer einm₀ geben mit

T_mⁿ₀ =T_mⁿ₀₊₁=. . .=:T_n.

Beweis (Forts.):

Algorithmus:

n:=|w|

T :={S}

T⁰ :=∅

while T 6=T⁰ do T⁰ :=T

T :=T⁰∪ {w⁰ ∈(V ∪Σ)⁺; |w⁰| ≤n,(∃w⁰⁰∈T⁰)[w⁰⁰ →w⁰]}

od

if w∈T return

”ja“ else return

”nein“ fi

Beispiel 59

Gegeben sei die Typ-2-Grammatik mit den Produktionen S →abund S→aSb

sowie das Wortw=abab.

T₀⁴ = {S}

T₁⁴ = {S, ab, aSb}

T₂⁴ = {S, ab, aSb, aabb} aaSbb ist zu lang!

T₃⁴ = {S, ab, aSb, aabb}

Also l¨asst sich das Wort w mit der gegebenen Grammatiknicht erzeugen!

Bemerkung:

Der angegebene Algorithmus ist nicht sehr effizient! F¨ur

kontextfreieGrammatiken gibt es wesentlich effizientere Verfahren, die wir sp¨ater kennenlernen werden!