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Wie üblich sind alle Behauptungen zu beweisen. Wenn Sie Resultate aus der Vorlesung verwenden, geben Sie bitte die zugehörigen Referenznummern mit an.

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Academic year: 2021

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Dieses Übungs-Blatt bitte generell nicht mit abgeben und nicht einscannen!

Lineare Algebra II – Blatt 7 hhu Düsseldorf SoSe 2020 Abgabe: bis Donnerstag 18.6.2020, 10:00 Uhr

Vorlesungswebseite: http://reh.math.uni-duesseldorf.de/~internet/LAII_SS20/

Wie üblich sind alle Behauptungen zu beweisen. Wenn Sie Resultate aus der Vorlesung verwenden, geben Sie bitte die zugehörigen Referenznummern mit an.

Aufgabe 1 (4 Punkte):

Sei f : R

4

→ R

4

gegeben durch Multiplikation mit der Matrix

1/2 0 √

3/2 0

0 0 0 −1

− √

3/2 0 1/2 0

0 1 0 0

 .

(a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom χ

f

von f.

(b) Bestimmen Sie die komplexen Nullstellen von χ

f

und geben Sie seine Primfaktorzerlegung über R [T ] an.

(c) Berechnen Sie das Minimalpolynom ψ

f

von f .

(Hinweis: Benutzen Sie Teil (b) und Aufgabe 2 von Blatt 6.)

(d) Bestimmen Sie die zu den (über R [T ]) irreduziblen Faktoren von ψ

f

gehörenden f -invarianten Untervektorräume von R

4

, wählen Sie Basen für sie und geben Sie die zugehörige Matrixdar- stellung von f an.

Aufgabe 2 (8 Punkte):

Sei f : R

4

→ R

4

gegeben durch Multiplikation mit der Matrix F =

1 0 1 3

5 −2 6 5

−3 0 −3 −3

5 0 6 3

 .

(a) Bestimmen Sie das Minimalpolynom von f . (Hinweis: Berechnen Sie F

3

+6I

4

und F

2

+3F .) Als Rechenhilfe verraten wir

F2=

13 0 16 9

2 4 5 2

−9 0 −12 −9

2 0 5 6

und

F3=

10 0 19 18

17 −8 23 17

−18 0 −27 −18

17 0 23 9

.

(b) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von f . Zerlegen Sie das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom in irreduzible Faktoren.

(Hinweis: Ein Eigenwert von f ist offensichtlich.)

(c) Bestimmen Sie zu den irreduziblen Faktoren des Minimalpolynoms die zugehörigen f - invarianten Unterräume U

1

, U

2

⊆ R

4

mit R

4

= U

1

⊕ U

2

(gemäß Satz `10.11) und geben Sie Basen für U

1

und U

2

an.

(d) Zeigen Sie, dass (mindestens) einer der Räume U

1

und U

2

ein f-zyklischer Raum ist.

Aufgabe 3 (4 Punkte):

Sei K ein Körper, λ ∈ K und n ∈ N . Bestimmen Sie das Minimalpolynom des Jordan-Kastens

λ 1 0

λ 1 . .. ...

λ 1

0 λ

∈ K

n×n

.

(Hinweis: Beweisen Sie mit Induktion die Matrixdarstellung für (F − λI )

k

für k = 1, ..., n.)

Bitte wenden

(2)

Wissensfragen zu l11: (nur mündlich, ohne Abgabe)

Sei U ein nichttrivialer K-Vektorraum, f ∈ End(U ) mit Mipo ψ(T ) = p(T )

r

, p ∈ K[T ] ein irreduzibles Polynom.

1.) Welche Unterräume von U werden Haupträume genannt?

2.) Bilden die Haupträume eine per Inklusion geordnete Kette von Unterräumen von U ? 3.) Welche Unterräume von U nennt man f-zyklisch?

4.) Welche möglichen Erzeuger kann man für einen f-zyklischen Raum V (u) angeben?

5.) Welche Dimension hat V (u), wenn u im m-ten, aber nicht im (m − 1)-ten Hauptraum liegt?

6.) Warum gibt es einen f-zyklischer Unterraum, der die Dimension deg(ψ) hat?

7.) Sind f -zyklische Unterräume weiter zerlegbar in direkte Summen?

8.) Warum kann der Grad von ψ höchstens dim(U ) sein?

9.) Wie kann man eine direkte-Summen-Zerlegung von U mit f-zyklischen Unterräumen algo- rithmisch ermitteln?

10.) Worauf muss man bei der Wahl der u

ij

im Algorithmus achten, damit die Summe der V (u

ij

)

direkt wird?

Referenzen

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