Numerische Lösung von Gleichungen

FH-Lausitz

Vorlesung Finanzmathematik Prof. Redetzky

Quellenangabe:

Vorlesung Finanzmathematik

Aufgabenblatt

Numerische Lösung von Gleichungen

präsentiert von:

Ebermann, Dirk / Jurk, Daniel WP03dual

Formelblatt

Numerische Lösungen von Gleichungen

1. Regula Falsi Prüfung mit:

( )

x1

f f

( )

x3 < 0, dann Nullstelle

( ) ( ) ( )

₂^{2 1} ₁ ¹

1

3 f x

x f x f

x x x

x −

− −

= ^f

( )

^x₁ f

( )

x₃ < 0, dann x₂ = x₃

( )

^x₂

f f

( )

x₃ < 0, dann x₁ =x₃

2. Halbierungsverfahren Prüfung mit:

( )

^x₁

f f

( )

x3 < 0, dann Nullstelle 2

1 2 3

x

x x +

= f

( )

x1 f

( )

x₃ < 0, dann x₂ = x₃

( )

^x₂

f f

( )

x3 < 0, dann x₁ =x₃

3. Tangentenverfahren nach Newton Prüfung mit:

( ) ( ) ( )

_o ^o

o

x f

x f x f

'

⋅ ''

< 0, dann Nullstelle

( ) ( )

¹₁

1 ' ₋

− − −

=

n n n

n f x

x x f

x f

( )

xn > C, dann weiter

( )

x_n

f < C, dann fertig

1. Bestimme die Nullstellen der folgenden Funktionen durch Auflösung der entsprechenden Gleichungen.

a) y=x⁵ −32 e) y =4^x −256

5 32

=

x ln4

256

= ln x

=2

x x =4

b) y=4x³ +108 f) y=0,25^x−256

- x=³ 27 x =−4

3

− x=

c) y=x⁷ −12 g) y =12,1^x −173

7 12

=

x x=2,0669

426 ,

=1 x

d) y=3^x −9 h) y=0,4^x −0,7

3 ln

9

= ln

x x=0,3893

=2 x

2. a) Die Funktion hat eine Nullstelle zwischen den Punkten und . Bestimme einen Näherungswert für diese Nullstelle mit der Regula Falsi. Die Schranke liegt bei

.

8 36 21

2 ³ − ² + +

= x x x

y x₁ =2

2 =3 x

001 ,

=0 c

( )

^x₁ ⁼¹²

f ^f

( )

^x₂ ⁼⁻¹⁹

(1) ^{3 1} f

( ) ( ) ( )

x₂² f¹ x₁ ^{f x1} x

x x

x ⋅

−

− −

= =

(

19

)

12 ¹²

2

2 3 ⋅

−

−

− −

Æ

3871 ,

3 =2

x f

( )

x3 =^1,4771

( ) ( )

x2 ⋅ f x3 =−¹⁹⋅^1,4771=−²⁸<⁰

f Æ x₁ =x₃

(2) 1,4771 2,4313

4771 , 1 19

3871 , 2 3871 3

,

3 2 ⋅ =

−

−

− −

=

x Æ f

( )

x₃ =0,1348

( ) ( )

x₂ ⋅f x₃ =−19⋅0,1348<0

f Æ x₁ =x₃

(3) 0,1348 2,4353

1348 , 0 19

4313 , 2 4313 3

,

3 2 ⋅ =

−

−

− −

=

x Æ f

( )

x3 =^0,0119

( ) ( )

x2 ⋅ f x3 =−¹⁹⋅^0,0119<⁰

f Æ x₁ =x₃

(4) 0,0119 2,435669

0119 , 0 19

4353 4353 3

,

3 2 ⋅ =

−

−

− −

=

x Æ f

( )

x₃ =0,0011

( ) ( )

x₂ ⋅f x₃ =−19⋅0,0011<0

f Æ x₁ =x₃

(5) 0,0011 2,435701

0011 , 0 19

4357 , 2 4357 3

,

3 2 ⋅ =

−

−

− −

=

x Æ f

( )

x3 =^0,00009

Æ Abbruch

( )

^{x c}

f ₃ <

2. b) Die Funktion hat eine Nullstelle zwischen den Punkten und . Bestimme einen Näherungswert für diese Nullstelle mit dem Halbierungsverfahren. Die Schranke

liegt bei .

8 36 21

2 ³− ² + +

= x x x

y x₁ =2

2 =3 x

001 ,

=0 c

( )

^x₁ ⁼¹²

f ^f

( )

^x₂ ⁼⁻¹⁹

(1) 2

1 2 3

x

x = x + =

2 2 3+ Æ

5 ,

3 =2

x f

( )

x3 =−²

( ) ( )

x₁ ⋅ f x₃ =12⋅

( )

−2 =−24<0

f Æ x₂ =x₃

(2) 2,25

2 2 5 , 2

3 = + =

x Æ f

( )

x₃ =5,46875

( ) ( ) (

x₂ ⋅f x₃ = −19

)

⋅5,46875<0

f Æ x₁ =x₃

(3) 2,375

2 25 , 2 5 , 2

3 = + =

x Æ f

( )

x₃ =1,8398

( ) ( ) (

x₂ ⋅ f x₃ = −19

)

⋅1,84<0

f Æ x₁ =x₃

(4) 2,4375

2 375 , 2 5 , 2

3 = + =

x Æ f

( )

x₃ =−0,0552

( ) ( ) (

x₂ ⋅ f x₃ = −19

) (

⋅ −0,0552

)

<0

f Æ x₂ =x₃

(5) 2,40625

2 375 , 2 4375 , 2

3 + =

=

x Æ f

( )

x3 =^0,8987

( ) ( ) (

x2 ⋅f x3 = −¹⁹

)

⋅^0,8987<⁰

f Æ x₁ =x₃

(6) 2,421875

2

40625 , 2 4375 , 2

3 + =

=

x Æ f

( )

x3 =^0,42336

( ) ( ) (

x₂ ⋅ f x₃ = −19

)

⋅0,42336<0

f Æ x₁ =x₃

(7) 2,4296875 2

421875 ,

2 4375 , 2

3 = + =

x Æ f

( )

x₃ =0,1845

( ) ( ) (

x2 ⋅ f x3 = −¹⁹

)

⋅^0,1845<⁰

f Æ x₁ =x₃

(8) 2,43359375

2

4296875 ,

2 4375 , 2

3 + =

=

x Æ f

( )

x3 =^0,0648

( ) ( ) (

x2 ⋅f x3 = −¹⁹

)

⋅^0,0648<⁰

f Æ x₁ =x₃

(9) 2,435546875

2

43359375 ,

2 4375 , 2

3 = + =

x Æ f

( )

x3 =^0,0048

( ) ( ) (

x₂ ⋅f x₃ = −19

)

⋅0,0048<0

f Æ x₁ =x₃

(10) x₃ =2,4365234 Æ f

( )

x3 =−^0,0251743023

(11) x₃ =2,4360351 Æ f

( )

x₃ =−0,101781264

(12) x₃ =2,4357909 Æ f

( )

x3 =−^0,0026796448

(13) x₃ =2,4356688 Æ f

( )

x₃ =−0,0010693105

(14) x₃ =2,4357298 Æ f

( )

x3 =−^0,0008036081

Æ Abbruch

( )

x c f ₃ <

3. Bestimme näherungsweise mit der Regula Falsi eine Nullstelle von y in [1;2], c=0,001.

1 2

3 ^{3 2}

5 − − + +

= x x x x

y

( )

^x₁ ⁼⁻²

f ^f

( )

^x₂ ⁼³

(1) ^{3 1} f

( ) ( ) ( )

x₂² f¹ x₁ ^{f x1} x

x x

x ⋅

−

− −

= = 3

( ) ( )

2 ²

1

1 2 ⋅ −

−

−

− −

Æ

4 ,

3 =1

x f

( )

x3 =−^4,37376

( ) ( )

x₂ ⋅ f x₃ =3⋅

(

−4,37376

)

<0

f Æ x₁ =x₃

(2)

( ) (

^4,37376

)

^1,75589

37376 , 4 3

4 , 1 4 2

,

3 1 ⋅ − =

−

−

− −

=

x Æ f

( )

x3 =−^2,96025

( ) ( )

x₂ ⋅ f x₃ =3⋅

(

−2,96025

)

<0

f Æ x₁ =x₃

(3)

( ) (

^2,96025

)

^1,87713

96025 , 2 3

75589 , 1 75589 2

,

3 1 ⋅ − =

−

−

− −

=

x Æ f

( )

x3 =−^0,70671

( ) ( )

x₂ ⋅f x₃ =3⋅

(

−0,70671

)

<0

f Æ x₁ =x₃

(4)

( ) (

^0,70671

)

^1,90056

70671 , 0 3

87713 , 1 87713 2

,

3 1 ⋅ − =

−

−

− −

=

x Æ f

( )

x3 =−^0,12146

( ) ( )

x₂ ⋅f x₃ =3⋅

(

−0,12146

)

<0

f Æ x₁ =x₃

(5)

( ) (

^0,12146

)

^1,90443

12146 , 0 3

90056 , 1 90056 2

,

3 1 ⋅ − =

−

−

− −

=

x Æ f

( )

x3 =−^0,01963

( ) ( )

x₂ ⋅ f x₃ =3⋅

(

−0,01963

)

<0

f Æ x₁ =x₃

(6)

( ) (

^0,01963

)

^1,90505

01963 , 0 3

90443 , 1 90443 2

,

3 1 ⋅ − =

−

−

− −

=

x Æ f

( )

x3 =−^0,00314

( ) ( )

x₂ ⋅ f x₃ =3⋅

(

−0,00314

)

<0

f Æ x₁ =x₃

(7)

( ) (

^0,00314

)

^1,90515

00314 , 0 3

90505 , 1 90505 2

,

3 1 ⋅ − =

−

−

− −

=

x Æ f

( )

x3 =−^0,00050...

Æ Abbruch

( )

x c f ₃ <

4. Die Funktion hat eine Nullstelle zwischen den Punkten . Bestimme diese mit dem Newton-Verfahren. Die Schranke liegt bei

8 36 21

2 ³ − ² +

= x x x

y x₁ =2

001 ,

=0

c .

( )

₁ ¹²

1 = f x =

y 36

42 6

'= x² − x+

y y^'1= f^'

( )

x1 =−²⁴ 42

12 ''= x−

y y ^''1= f ^''

( )

x1 =−¹⁸

( ) ( ) ( ) (

1

)

²

1 1

' '' x f

x f x

f ⋅

=

( )

(

24

)

^{0,375 0,375 1}

18 12

2 = − = <

−

−

⋅ Æ Nullstelle

1. Interation:

1 1 1

2 y'

x y

x = −

(

24

)

2 12

− −

= 5

,

2 =2

x y2 =

( )

−² >c Æ weiter

(

^31,5

)

'₂= − y

(

¹²

)

2 = −

y

( ) ( ) ( ) (

2

)

²

2 2

' '' x f

x f x

f ⋅

=

( ) ( )

(

31,5

)

^{0,024 0,024 1}

12 2

2 = − = <

−

−

⋅

− Æ Nullstelle

2. Interation:

2 2 2

3 y'

x y

x = −

( )

(

^312,5

)

5 ,

2 −

− −

=

(

^2,4365

)

3 = −

x y3 =

(

−^0,0247

)

>c Æ weiter

(

^30,7139

)

'₃= − y

(

12,7619

)

3 = −

y

( ) ( ) ( ) (

3

)

²

3 3

' '' x f

x f x

f ⋅

=

( ) ( )

(

30,7139

)

^{0,000334 1}

7619 , 12 247

, 0

2 = <

−

−

⋅

− Æ Nullstelle

3. Interation:

3 3 3

4 y'

x y

x = −

( )

(

30,7139

)

0247 , 4365 0

,

2 −

− −

=

(

^2,4357

)

4 = −

x y₄ =0,00011136>c Æ Abbruch

5. Die Funktion y= x⁵ −3x³ −2x² +x+1 hat Nullstellen in der Nähe von x=2. Bestimme diese mit dem Newton-Verfahren. Die Schranke liegt bei c=0,001.

1 2

3 ^{3 2}

5 − − + +

=x x x x

y y₁ =4

1 4 9 5

'= x⁴ − x² − x+

y y'₁=37

4 18 20

''= x³ − x−

y y ''₁=120

( ) ( ) ( ) (

1

)

²

1 1

' '' x f

x f x

f ⋅

= ⁴

( )

^{37⋅1202 =0,3506<1} Æ Nullstelle

1. Interation:

1 1 1

2 y'

x y

x = −

37 2− 4

= 8919

,

2 =1

x ^y₂ ⁼

(

^−0,3442

)

>c Æ weiter

2745 , 25 '₂= y

3772 ,

2 =97 y

2. Interation:

2 2 2

3 y'

x y

x = −

( )

2745 , 25

3442 , 8919 0

,

1 − −

= 9055

,

3 =1

x y₃ =0,0089 >c Æ weiter

6179 , 26 '₃= y

0758 ,

3 =100 y

3. Interation:

3 3 3

4 y'

x y

x = −

6179 , 26

0089 , 9055 0 ,

1 −

= 9052

,

4 =1

x y₄ =0,000899>c Æ Abbruch