Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)- Berechnung von Nullstellen, Gleichungen höheren Grades -

(1)

GS - 23.10.05 - gara_04_BerechnenNS.mcd

Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

- Berechnung von Nullstellen, Gleichungen höheren Grades -

1. Gleichungen höheren Grades

Gegeben ist der Funktionsterm f x( ) an x

⋅ n +a_{n 1}₋ ⋅x^{n 1}⁻ +.

= . .+a3 x⋅ ³+a2 x⋅ ²+a1 x⋅ + a0

Nullstellenbedingung: an x

⋅ n +a_{n 1}₋ ⋅x^{n 1}⁻ + . . .+ a3 x⋅ ³+ a2 x⋅ ²+a1 x⋅ +a0= 0

Allgemeine Lösung:

Durch Abspaltung von möglichst vielen Linearfaktoren wird der Grad der Gleichung bis zum Exponenten k= erniedrigt, dann Anwendung der Mitternachtsformel. 2

x

(

−x1

)

^⋅

(

^x−x2

)

^⋅

(

^x−x3

)

. . . . b2 x



⋅ ²+b1 x⋅ + c

 



⁼⁰

2. Polynomdivision ohne Rest

(2)

Reduktionssatz:

Gegeben ist die Polynomfunktion n-ten Grades f x( )

0 n

k

ak x⋅ ^k

∑

=

= mit an 0≠ .

Ist x1 eine Lösung der Gleichung f x( ) = , so ist f x0 ( ) durch x

(

−xi

)

^teilbar.

Es gilt dann:

f x( ) ⁼

(

x−xi

)

^⋅^{q x}^{( )} , wobei q x( )

0 n 1−

k

bk x⋅ ^k

∑

=

= ein Polynom n( −1)-ten Grades ist.

Hinweis:

Die Lösung x1 wird durch Erraten gefunden, wobei zu zeigen ist, dass gilt: f x1

( )

⁼⁰

Um dieses Raten so effektiv und kurz wie möglich zu gestalten, folgender

Satz:

Hat die Funktion f x( ) an x

⋅ n+ a_{n 1}₋ ⋅x^{n 1}⁻ +.

= . .+a3 x⋅ ³+a2 x⋅ ²+a1 x⋅ + a0 die ganzzahlige Nullstelle x1, so ist x1 ein Teiler von a0 .

(3)

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

10 5 5 10 15 20

Graph von f(x) Nullstellen

x-Achse

y-Achse

Faktorisierter Funktionsterm: f x( ) 1

5⋅(x+ 5)⋅(x−2)⋅(x−4)

=

Drei einfache Nullstellen xNS 3 x⋅ ³−3 x⋅ ²−66 x⋅ + 120=0 auflösen x,

−5 2 4

 



 

→



:=

Mathcad - Lösung:

3 x⋅ ²+ 3 x⋅ −60=0auflösen x, −5 4

 



 

→



Lösung der quadratischen Gleichung:

3 x⋅ ²+ 3 x⋅ −60 in Partialbrüche zerlegt, ergibt

3 x⋅ ³−3 x⋅ ²−66 x⋅ +120 x−2

Polynomdivision:

x1:= 2 Lösung

⇒

⇒ f 2( ) =0

keine Lösung

⇒

⇒ 54≠0 f 1( ) =3.6

1. Lösung wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 120:

3 x⋅ ³−3 x⋅ ²−66 x⋅ +120=0 Nullstellenbedingung:

f x( ) 1

15⋅

(

3x³−3 x⋅ ²−66 x⋅ +120

)

:=

Polynomfunktion:

Beispiel 1: Gesucht sind die Nullstellen und der vollständig faktorisierte Term

(4)

x³+5 x⋅ ²−2 x⋅ −10=0 Definition der Polynomfunktion: p x( ):= x³+ 5 x⋅ ²−2 x⋅ −10 2. Lösung wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 10.

f 5( ) =15.333 230≠0 ⇒⇒⇒⇒ keine Lösung f(−5)=0 ⇒⇒⇒⇒ Lösung x2:= −5

Polynomdivision: x³+ 5 x⋅ ²−2 x⋅ −10

x+5 in Partialbrüche zerlegt, ergibt x²−2

Lösung der rein quadratischen Gleichung: x²−2=0 auflösen x, 2 1 2

2 1

− 2

 

 

 

 

 

 

→ Mathcad - Lösung:

Vier einfache Nullstellen xNS x⁴−22 x⋅ ²+ x³−2 x⋅ + 40=0 auflösen x,

−5 4

2 1 2

2 1

− 2

 

 



 

 



→ :=

15⋅(x+ 5)⋅

(

x+ 2

)

⋅

(

x− 2

)

⋅(x−4)

=

Beispiel 2: Gesucht sind die Nullstellen und der vollständig faktorisierte Term Polynomfunktion: f x( ) 1

15⋅

(

x⁴−22 x⋅ ²+ x³−2 x⋅ + 40

)

:=

Nullstellenbedingung: x⁴−22 x⋅ ²+x³−2 x⋅ +40=0 1. Lösung wird geraten, und zwar probiert man nur die Teiler von 40.

f 1( ) =1.2 18≠0 ⇒⇒⇒⇒ keine Lösung f 2( ) =−1.867 −28≠0 ⇒⇒⇒⇒ keine Lösung f 4( ) =0 ⇒⇒⇒⇒ Lösung x1:= 4

Polynomdivision: x⁴−22 x⋅ ²+ x³−2 x⋅ + 40

x−4 ergibt x³+5 x⋅ ²−2 x⋅ −10 Lösung der kubischen Gleichung:

(5)

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

8 6 4 2 2 4 6 8

x-Achse

y-Achse

3. Substitution

Bei achsensymmetrischen Funktionen 4. Grades treten nur gerade Potenzen von x auf:

f x( ) =a x⋅ ⁴+b x⋅ ²+ c .

Die Nullstellenbedingung a x⋅ ⁴+ b x⋅ ²+ c=0 liefert eine biquadratische Gleichung, die mit der Substitution x²=t über die Lösungsformel für quadratische Gleichungen und anschließender Resubstitution gelöst wird.

Es gilt: a t⋅²+ b t⋅ +c=0auflösen t,

1

2 a⋅ −b

(

b²−4 a⋅ ⋅c

)

1 2 +

 



 



⋅

1

2 a⋅ −b

(

b²−4 a⋅ ⋅c

)

1 2

−

 



 



⋅

 

 

 

 

 

 

→

(6)

4 3 2 1 0 1 2 3 4

6 4 2 2 4 6

x-Achse

y-Achse

10⋅(x+ 3)⋅(x+2)⋅(x−2)⋅(x−3)

=

xNS x⁴−13 x⋅ ²+ 36=0 auflösen x, 2 3

−3

−2

 

 

 

 

 

 

→ :=

Mathcad - Lösung: Vier einfache

Nullstellen x²=9 auflösen x, 3

−3

 



 

→



x²=4 auflösen x, 2

−2

 



 

→



Resubstitution:

t²−13 t⋅ + 36=0 auflösen t, 4 9

 



 

→



x⁴−13 x⋅ ²+36=0

ersetzen x, ²=t

ersetzen x, ⁴=t²→t²−13 t⋅ + 36=0 Substitution:

x⁴−13 x⋅ ²+36=0 Nullstellenbedingung:

f x( ) 1

10⋅

(

x⁴−13 x⋅ ²+ 36

)

:=

Polynomfunktion:

(7)

4 3 2 1 0 1 2 3 4

6 4 2 2 4 6

x-Achse

y-Achse

10⋅(x+ 3)⋅(x−3)⋅

(

x²+ 4

)

=

keine Lösung keine Lösung xNS x⁴−5 x⋅ ²−36=0 auflösen x,

3

−3 2 i⋅

−2⋅i

 

 

 

 

 

 

→

:= Zwei einfache

Nullstellen Lösung

Lösung Mathcad - Lösung:

x²=−4 auflösen x, 2 i⋅

−2⋅i

 



 

→



−3

 



 

→



Resubstitution: keine

Lösung t²−5 t⋅ −36=0 auflösen t, −4

9

 



 

→



x⁴−5 x⋅ ²−36=0

ersetzen x, ²=t

ersetzen x, ⁴=t²→t²−5 t⋅ −36=0 Substitution:

x⁴−5 x⋅ ²−36=0 Nullstellenbedingung:

f x( ) 1

10⋅

(

x⁴−5 x⋅ ²−36

)

:=

Polynomfunktion:

(8)

4 3 2 1 0 1 2 3 4

6 4 2 2 4 6

Graph von f(x) x-Achse

y-Achse

10⋅(x+ 2)²⋅(x−2)²

=

Lösung Lösung xNS x⁴−8 x⋅ ²+ 16=0auflösen x,

2 2

−2

 

 

 

 

 

 

→

:= Zwei zweifache

Nullstellen Lösung

Lösung Mathcad - Lösung:

−2

 



 

→



−2

 



 

→



Resubstitution: identische

Lösungen t²−8 t⋅ + 16=0=0 auflösen t, 4

4

 



 

→



x⁴−8 x⋅ ²+16=0

ersetzen x, ²=t

ersetzen x, ⁴=t²→ t²−8 t⋅ + 16=0 Substitution:

x⁴−8 x⋅ ²+16=0 Nullstellenbedingung:

f x( ) 1

10⋅

(

x⁴−8 x⋅ ²+16

)

:=

Polynomfunktion:

Beispiel 4: Gesucht sind die Nullstellen und der vollständig faktorisierte Term.

(9)

keineLösung x³=8 auflösen x,

2

−1 i 3 1

⋅ 2 +

1

 

 

 

 

→

Lösung keineLösung keineLösung x³=−1 auflösen x,

−1

1 2

1 2⋅i 3

1

⋅ 2

−

1 2

1 2⋅i 3

1

⋅ 2 +

 

 



 

 



→ Resubstitution:

Lösung t²−7 t⋅ −8=0 auflösen t, −1

8

 



 

→



x⁶−7 x⋅ ³−8=0

ersetzen x, ³=t

ersetzen x, ⁶=t²→ t²−7 t⋅ −8=0 Substitution:

x⁶−7 x⋅ ³−8=0 Nullstellenbedingung:

f x( ) 1

10⋅

(

x⁶−7 x⋅ ³−8

)

:=

Polynomfunktion:

Bei Funktionen höheren Grades der "Bauart biquadratisch" treten nur die Potenzen x^{2 n}^⋅ bzw. xⁿ auf: f x( ) =a x⋅ ^{2 n}^⋅ +b x⋅ ⁿ+ c .

Die Nullstellenbedingung a x⋅ ^{2 n}^⋅ +b x⋅ ⁿ+c=0 liefert auch hier eine biquadratische Gleichung, die mit der Substitution xⁿ=t über die Lösungsformel für quadratische Gleichungen und anschließender Resubstitution gelöst wird.

Es gilt: a t⋅²+ b t⋅ +c=0auflösen t,

1

2 a⋅ −b

(

b²−4 a⋅ ⋅c

)

1 2 +

 



 



⋅

1

2 a⋅ −b

(

b²−4 a⋅ ⋅c

)

1 2

−

 



 



⋅

 

 

 

 

 

 

→

4. Erweiterung der Substitution

(10)

1. Polynomdivision: x⁶−7 x⋅ ³−8

x−2 ergibt x⁵+2 x⋅ ⁴+ 4 x⋅ ³+ x²+ 2 x⋅ + 4 Raten: f(−1)=0 ⇒⇒⇒⇒ x2=−1 ist Lösung

2. Polynomdivision: x⁵+ 2 x⋅ ⁴+ 4 x⋅ ³+x²+ 2 x⋅ +4

x+1 ergibt x⁴+x³+3 x⋅ ²−2 x⋅ + 4 x⁴+x³+3 x⋅ ²−2 x⋅ + 4 keine weitere Zerlegung

10⋅(x−2)⋅(x+1)⋅

(

x⁴+ x³+3 x⋅ ²−2 x⋅ + 4

)

= Mathcad -Lösung:

Lösung

Zwei zweifache Nullstellen Lösung

keine Lösung

xNS x⁶−7 x⋅ ³−8=0auflösen x,

−1 2

1 2

1 2⋅i 3

1

⋅ 2

−

1 2

1 2⋅i 3

1

⋅ 2 +

−1 i 3 1

⋅ 2 +

−1 i 3 1

⋅ 2

−

 

 



 

 



→

:= keine Lösung

keine Lösung

Das Faktorisieren ist hier nicht so ganz einfach, weil es nur zwei Linearfaktoren gibt.

1. Möglichkeit: Zweimalige Polynomdivision

Funktionsterm: f x( ) 1

10⋅

(

x⁶−7 x⋅ ³−8

)

=

Raten: f 2( ) =0 ⇒⇒⇒⇒ x1 2= ist Lösung

(11)

2. Möglichkeit: Teilweises Faktorisieren und dann Anwendung einer Zerlegungsformel

Faktoren vor der Resubstitution: f x( ) 1

10⋅

(

x³+1

)

⋅

(

x³−8

)

= Zerlegungsformeln:

a³+b³=(a+ b)⋅

(

a²−a b⋅ + b²

)

⇒⇒⇒⇒ x³+1 faktor 1, → (x+1)⋅

(

x²−x+1

)

a³+b³=(a+ b)⋅

(

a²−a b⋅ + b²

)

⇒⇒⇒⇒ x³−8 faktor 1, →(x−2)⋅

(

x²+2 x⋅ + 4

)

Mathcad - Lösung: x⁶−7 x⋅ ³−8 faktor 1, →(x+1)⋅(x−2)⋅

(

x²−x+ 1

)

⋅

(

x²+2 x⋅ + 4

)

10⋅(x−2)⋅(x+1)⋅

(

x²−x+1

)

⋅

(

x²+ 2 x⋅ +4

)

=

4 3 2 1 0 1 2 3 4

6 4 2 2 4 6

x-Achse

y-Achse