Ganzrationale Funktionen – Aufgaben

(1)

Analysis 11 Technik

Ganzrationale Funktionen – Aufgaben

06_ganzrat-Fkt_aufg.doc 1

1 Aufgaben zu Symmetrie und Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Aufgabe

Untersuchen Sie folgende Funktionen f _i auf Symmetrie und Nullstellen.

Geben Sie, wenn möglich, den vollständig faktorisierten Funktionsterm an.

a) ^{f (x)} ¹ ^{ } ¹ ₆  ^{4 x} ³ ^ ^{4 x} ² ^ ^41x ^ ²¹  ^b) ^{f (x)} ² ^ ¹ ₂ ^x ⁴ ^ ^{4 x} ²

c) ₃ 1 ³ 1

f (x) x x

12 3

  d) ₄ 1 ⁴ 1 ²

f (x) x x 6

2 2

  

e) ^{f (x)} ⁵ ^ ₁₀ ¹ ^  ^{4 x} ³ ^ ^{20 x} ² ^ ^{7 x} ^ ⁹⁸  ^f) ^{f (x)} ⁶ ^ ₂₀ ¹ ^  ^{2 x} ⁴ ^ ^{3 x} ³ ^ ^21x ² ^ ^{25 x} ^ ⁹ 

g) ^{f (x)} ⁷ ^ ₁₆ ¹ ^  ^x ⁴ ^ ^{6 x} ² ^ ¹⁶  ^h) ^{f (x)} ⁸ ^ ₂₀ ¹ ^  ^x ⁶ ^ ^{26 x} ³ ^ ²⁷ 

2 Steckbriefaufgaben zu ganzrationalen Funktionen

Aufgabe 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch die Punkte A( 3 / 54) ,  

10 8

3 3

B(1/ ) und C(4 /  ) . Er schneidet an der Stelle x ₀  6 die x–Achse.

Bestimmen Sie den Funktionsterm und untersuchen Sie die Funktion auf weitere Nullstellen.

[ Ergebnis: 1 ³ ² f(x) x 3 x 6 x

 3   ] Aufgabe 2

Für eine ganzrationale Funktion 4. Grades gilt: f(x)   f( x)  f(4)  0  f(0)  4 f(2) 4,5

  .

Bestimmen Sie den Funktionsterm und ermitteln Sie alle weiteren Nullstellen.

[ Ergebnis: 1 ⁴ 1 ²

f(x) x x 4

32 4

    ]

Aufgabe 3

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist zum Koordinatenursprung symme- trisch. Die Punkte A(3 / 3), B(2 3 / 0) liegen auf dem Graphen.

Bestimmen Sie den Funktionsterm.

[ Ergebnis: 1 ³

f(x) x 4 x

  3  ] Aufgabe 4

Der Graph G _f einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die x-Achse an der Stelle

x 1   2 und berührt sie an der Stelle x ₂  4 . Der Schnittpunkt mit der y-Achse sei an der

Stelle y ₀  8 . Bestimmen Sie den Funktionsterm.

(2)

Analysis 11 Technik

Ganzrationale Funktionen – Aufgaben

06_ganzrat-Fkt_aufg.doc 2

Aufgabe 5

Gegeben ist die reelle Funktion f mit 1 ⁴ 3 ³ 21 ²

f(x) x x x 29 x 30

15 2 2

 

        

  , x  IR .

a) Zeigen Sie, dass x ₁   1,5 und x ₂  5 die einzigen Nullstellen des Graphen von f sind.

b) Eine Parabel hat den Scheitel (0/5) und verläuft durch den Punkt P(5/y _P ) von G _f . Ermitteln Sie den Funktionsterm der Parabel.

Aufgabe 6

Gegeben sind die reellen Funktionen f k mit _k 1 ³ 2 ²

f (x) x k x

3 3

  und x , k  IR

a) Zeigen Sie, dass x ₁   1,5 und x ₂  5 die einzigen Nullstellen des Graphen von f sind.

b) Eine Parabel hat den Scheitel (0/5) und verläuft durch den Punkt P(5/y P ) von G f . Ermitteln Sie den Funktionsterm der Parabel.

3 Parameteraufgaben zu ganzrationalen Funktionen

Aufgabe 1

Gegeben sind die reellen Funktionen f mit _k ^{f (x)} ^k ^{ } ¹ ₃  ^x ² ^ ^k ²  ^ ^ ^{2 x} ^ ^2k ^ ^ ^{x, k} ^ ^IR

a) Zeigen Sie mit Hilfe einer geeigneten Umformung, dass der Funktionsterm in der Form

k    ² 

f (x) 2 x k x k

  3    geschrieben werden kann.

b) Ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion f _k in Abhängig- keit von k und skizzieren Sie für jeden typischen Fall eine Scharkurve.

Aufgabe 2

Gegeben sind die reellen Funktionen f : _k ^{f (x)} ^k ^{ } ₉ ¹  ^x ⁴ ^ ^{k x} ² ^ ^{9 x} ² ^ ^{9 k}  ^ ^{x , k} ^ ^IR ^{ } ^k ⁰ ^.

a) Untersuchen Sie den Graphen von f k in Bezug auf Symmetrie.

b) Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm f _k (x) auch in der Form ^{f (x)} ^k ^{ } ₉ ¹  ^x ² ^ ^k   ^ ^x ² ^ ⁹ 

schreiben lässt, und ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion f _k in Abhängigkeit von k.

c) Skizzieren Sie für jeden typischen Fall eine Scharkurve.

Aufgabe 3

Gegeben sind die Funktionen f _a mit _a 1 ³ 1 ²

f (x) x x a x 3 a

9 3

    , a  IR \ {0} und D _f = IR.

a) Weisen Sie nach, dass sich der Funktionsterm f (x) auch in der Form _a

a    ² 

f (x) 1 x 3 x 9 a

 9    schreiben lässt.

b) Bestimmen Sie Anzahl, Lage und Art der Nullstellen der Funktion f a in Abhängigkeit von a.

Aufgabe 4

Gegeben sind die reellen Funktionen f mit _k _k 1 ³ 2 ²

f (x) x k x x , k IR

3 3

      .

a) Ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion f _k in Abhängig- keit von k. Führen Sie eine geeignete Fallunterscheidung durch und beschreiben Sie je weils den Verlauf des Graphen in der Umgebung dieser Nullstellen.

b) Bestimmen Sie den Parameter k so, dass

f

k

G durch den Punkt (3/3) verläuft.

Ganzrationale Funktionen – Aufgaben

Analysis 11 Technik

Ganzrationale Funktionen – Aufgaben

06_ganzrat-Fkt_aufg.doc 1

1 Aufgaben zu Symmetrie und Nullstellen ganzrationaler Funktionen

Aufgabe

Untersuchen Sie folgende Funktionen f i auf Symmetrie und Nullstellen.

Geben Sie, wenn möglich, den vollständig faktorisierten Funktionsterm an.

a) f (x) 1   1 6  4 x 3  4 x 2  41x  21  b) f (x) 2  1 2 x 4  4 x 2

c) 3 1 3 1

f (x) x x

12 3

  d) 4 1 4 1 2

f (x) x x 6

2 2

  

e) f (x) 5  10 1   4 x 3  20 x 2  7 x  98  f) f (x) 6  20 1   2 x 4  3 x 3  21x 2  25 x  9 

g) f (x) 7  16 1   x 4  6 x 2  16  h) f (x) 8  20 1   x 6  26 x 3  27 

2 Steckbriefaufgaben zu ganzrationalen Funktionen

Aufgabe 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch die Punkte A( 3 / 54) ,  

10 8

3 3

B(1/ ) und C(4 /  ) . Er schneidet an der Stelle x 0  6 die x–Achse.

Bestimmen Sie den Funktionsterm und untersuchen Sie die Funktion auf weitere Nullstellen.

[ Ergebnis: 1 3 2 f(x) x 3 x 6 x

 3   ] Aufgabe 2

Für eine ganzrationale Funktion 4. Grades gilt: f(x)   f( x)  f(4)  0  f(0)  4 f(2) 4,5

  .

Bestimmen Sie den Funktionsterm und ermitteln Sie alle weiteren Nullstellen.

[ Ergebnis: 1 4 1 2

f(x) x x 4

32 4

    ]

Aufgabe 3

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist zum Koordinatenursprung symme- trisch. Die Punkte A(3 / 3), B(2 3 / 0) liegen auf dem Graphen.

Bestimmen Sie den Funktionsterm.

[ Ergebnis: 1 3

f(x) x 4 x

  3  ] Aufgabe 4

Der Graph G f einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die x-Achse an der Stelle

x 1   2 und berührt sie an der Stelle x 2  4 . Der Schnittpunkt mit der y-Achse sei an der

Stelle y 0  8 . Bestimmen Sie den Funktionsterm.

Analysis 11 Technik

Ganzrationale Funktionen – Aufgaben

06_ganzrat-Fkt_aufg.doc 2

Aufgabe 5

Gegeben ist die reelle Funktion f mit 1 4 3 3 21 2

f(x) x x x 29 x 30

15 2 2

 

        

  , x  IR .

a) Zeigen Sie, dass x 1   1,5 und x 2  5 die einzigen Nullstellen des Graphen von f sind.

b) Eine Parabel hat den Scheitel (0/5) und verläuft durch den Punkt P(5/y P ) von G f . Ermitteln Sie den Funktionsterm der Parabel.

Aufgabe 6

Gegeben sind die reellen Funktionen f k mit k 1 3 2 2

f (x) x k x

3 3

  und x , k  IR

a) Zeigen Sie, dass x 1   1,5 und x 2  5 die einzigen Nullstellen des Graphen von f sind.

b) Eine Parabel hat den Scheitel (0/5) und verläuft durch den Punkt P(5/y P ) von G f . Ermitteln Sie den Funktionsterm der Parabel.

3 Parameteraufgaben zu ganzrationalen Funktionen

Aufgabe 1

Gegeben sind die reellen Funktionen f mit k f (x) k   1 3  x 2  k 2    2 x  2k   x, k  IR

a) Zeigen Sie mit Hilfe einer geeigneten Umformung, dass der Funktionsterm in der Form

k    2 

f (x) 2 x k x k

  3    geschrieben werden kann.

b) Ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion f k in Abhängig- keit von k und skizzieren Sie für jeden typischen Fall eine Scharkurve.

Aufgabe 2

Gegeben sind die reellen Funktionen f : k f (x) k   9 1  x 4  k x 2  9 x 2  9 k   x , k  IR   k 0 .

a) Untersuchen Sie den Graphen von f k in Bezug auf Symmetrie.

b) Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm f k (x) auch in der Form f (x) k   9 1  x 2  k    x 2  9 

schreiben lässt, und ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion f k in Abhängigkeit von k.

c) Skizzieren Sie für jeden typischen Fall eine Scharkurve.

Aufgabe 3

Gegeben sind die Funktionen f a mit a 1 3 1 2

f (x) x x a x 3 a

9 3

Untersuchen Sie folgende Funktionen f _i auf Symmetrie und Nullstellen.

a) ^{f (x)} ¹ ^{ } ¹ ₆  ^{4 x} ³ ^ ^{4 x} ² ^ ^41x ^ ²¹  ^b) ^{f (x)} ² ^ ¹ ₂ ^x ⁴ ^ ^{4 x} ²

c) ₃ 1 ³ 1

  d) ₄ 1 ⁴ 1 ²

e) ^{f (x)} ⁵ ^ ₁₀ ¹ ^  ^{4 x} ³ ^ ^{20 x} ² ^ ^{7 x} ^ ⁹⁸  ^f) ^{f (x)} ⁶ ^ ₂₀ ¹ ^  ^{2 x} ⁴ ^ ^{3 x} ³ ^ ^21x ² ^ ^{25 x} ^ ⁹ 

g) ^{f (x)} ⁷ ^ ₁₆ ¹ ^  ^x ⁴ ^ ^{6 x} ² ^ ¹⁶  ^h) ^{f (x)} ⁸ ^ ₂₀ ¹ ^  ^x ⁶ ^ ^{26 x} ³ ^ ²⁷ 

B(1/ ) und C(4 /  ) . Er schneidet an der Stelle x ₀  6 die x–Achse.

[ Ergebnis: 1 ³ ² f(x) x 3 x 6 x

[ Ergebnis: 1 ⁴ 1 ²

[ Ergebnis: 1 ³

Der Graph G _f einer ganzrationalen Funktion 3. Grades schneidet die x-Achse an der Stelle

x 1   2 und berührt sie an der Stelle x ₂  4 . Der Schnittpunkt mit der y-Achse sei an der

Stelle y ₀  8 . Bestimmen Sie den Funktionsterm.

Gegeben ist die reelle Funktion f mit 1 ⁴ 3 ³ 21 ²

a) Zeigen Sie, dass x ₁   1,5 und x ₂  5 die einzigen Nullstellen des Graphen von f sind.

b) Eine Parabel hat den Scheitel (0/5) und verläuft durch den Punkt P(5/y _P ) von G _f . Ermitteln Sie den Funktionsterm der Parabel.

Gegeben sind die reellen Funktionen f k mit _k 1 ³ 2 ²

a) Zeigen Sie, dass x ₁   1,5 und x ₂  5 die einzigen Nullstellen des Graphen von f sind.

Gegeben sind die reellen Funktionen f mit _k ^{f (x)} ^k ^{ } ¹ ₃  ^x ² ^ ^k ²  ^ ^ ^{2 x} ^ ^2k ^ ^ ^{x, k} ^ ^IR

k    ² 

b) Ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion f _k in Abhängig- keit von k und skizzieren Sie für jeden typischen Fall eine Scharkurve.

Gegeben sind die reellen Funktionen f : _k ^{f (x)} ^k ^{ } ₉ ¹  ^x ⁴ ^ ^{k x} ² ^ ^{9 x} ² ^ ^{9 k}  ^ ^{x , k} ^ ^IR ^{ } ^k ⁰ ^.

b) Zeigen Sie, dass sich der Funktionsterm f _k (x) auch in der Form ^{f (x)} ^k ^{ } ₉ ¹  ^x ² ^ ^k   ^ ^x ² ^ ⁹ 

schreiben lässt, und ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion f _k in Abhängigkeit von k.

Gegeben sind die Funktionen f _a mit _a 1 ³ 1 ²

    , a  IR \ {0} und D _f = IR.

a) Weisen Sie nach, dass sich der Funktionsterm f (x) auch in der Form _a

a    ² 

Gegeben sind die reellen Funktionen f mit _k _k 1 ³ 2 ²

a) Ermitteln Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit aller Nullstellen der Funktion f _k in Abhängig- keit von k. Führen Sie eine geeignete Fallunterscheidung durch und beschreiben Sie je weils den Verlauf des Graphen in der Umgebung dieser Nullstellen.