Musterl¨ osungen zu Blatt 10

Rene Gazzari Mathematische Logik I, WS 09/10

Musterl¨ osungen zu Blatt 10

Zu Aufgabe 41: Beweise das ¨Uberf¨uhrungslemma

SeiLbeliebige Sprache undA=!A, . . ."beliebigeL-Struktur.

In dieser Aufgabe wird vorausgesetzt, dass die analoge Aussage f¨ur Terme gilt.

Dabei ist zu beachten, dass alle Terme immer frei einsetzbar sind. (†) Beh.: F¨ur alle Formelnφ(x) gilt:

F¨ur alle Belegungen v, f¨ur alle Terme t, die f¨ur die Variable x in der Formel φ(x) frei einsetzbar sind, und f¨ur die Belegungw:=v[x#→[[t]]^A_v] gilt:

[[φ(t)]]^A_v = [[φ(x)]]^A_w (")

Beweis. Durch Induktion ¨uber Formelaufbau.

Ausgewertet wird prinzipiell in der Struktur A; entsprechend wird bei der Be- wertungsfunktion auf die Notation der Struktur verzichtet.

⊥: Sei v beliebige Belegung. F¨ur alle Terme t ist ⊥(t) ! ⊥(x); auch ist x /∈FV(⊥). Damit folgt Gleichheit mit Koinzidenz.

s1=s2: Seivbeliebige Belegung. Mit (†) gilt f¨ur die Belegungens∈ {s1, s2}: [[s(t)]]v= [[s(x)]]w

Damit ist:

[[s1=s2(t)]]v= [[s1(t) =s2(t)]]v = 1 ⇔ [[s1(t)]]v = [[s2(t)]]v

⇔ [[s1(x)]]w= [[s2(x)]]w ⇔ 1 = [[s1(x) =s2(x)]]w= [[s1=s2(x)]]w

P(#s): Wird analog zu s1=s2 mit (†) gezeigt. Es m¨ussen lediglich nTerme anstelle von 2 Termen betrachtet werden.

IV: Die Aussage (") gelte f¨ur Formelnφ, ψ.

φ→ψ: Seiv beliebige Belegung.

Ein Termtist genau dann f¨ur die Variablexfrei einsetzbar in der Formel φ → ψ, wenn t f¨ur x frei einsetzbar ist in φ und in ψ. Es ist also (IV) anwendbar und es gilt:

[[(φ→ψ)(t)]]v = [[φ(t)→ψ(t)]]v =f_→([[φ(t)]]v,[[ψ(t)]]v)

(IV)

= f_→([[φ(x)]]w,[[ψ(x)]]w) = [[(φ→ψ)(x)]]w

Rene Gazzari Mathematische Logik I, WS 09/10

∀xφ: Seiv beliebige Belegung.

Es gilt x /∈ FV(∀xφ). Damit ist ∀xφ(x)! ∀xφ(x). Desweiteren sind die Belegungen v und w auf allen freien Variablen der Formel gleich. Mit Koinzidenz folgt die geforderte Gleichheit.

∀yφ(y)!x): Seiv beliebige Belegung.

Falls ein Term t frei einsetzbar ist f¨ur die Variablexin der Formel∀yφ, dann auch inφf¨urx. Damit ist die (IV) verwendbar und es gilt f¨ur geeig- nete Termet:

[[∀yφ(t)]]v= 1 ⇔ f¨ur allea∈Aist [[φ(t)]]v[y"→a]= 1

(IV,‡)

⇔ f¨ur allea∈Aist [[φ(x)]]_w(a)= 1 ⇔ [[∀yφ(x)]]w= 1 Bei (‡) ist anzumerken: die (IV) gilt f¨ur alle Belegungen, insbesondere also auch f¨ur die Belegungv[y#→a].

Dann ist: w(a) :=v[y#→a][x#→[[t]]v[y"→a]].

Datfrei einsetzbar ist in∀yφ(x) isty /∈FV(t). Dax)!y kann manw(a) mit Koinzidenz ersetzen durch: v[x#→[[t]]v][y#→a].

Damit folgt letzte ¨Aquivalenz.

Insgesamt ist das ¨Uberf¨uhrungslemma danit bewiesen. q.e.d.