Musterl¨ osungen zu Blatt 7

Rene Gazzari Mathematische Logik I, WS 09/10

Musterl¨ osungen zu Blatt 7

Zu Aufgabe 30:

In dieser Aufgabe werden die Strukturregeln f¨ur ! (Proposition 6.6) und die Ergebnisse der Aufgaben 25 und 29 verwendet.

Hilfssatz: F¨ur jede Formelmenge Γ⊆PROP gilt: Ded(Γ) = Ded(Ded(Γ)) Beweis. Ein Beweis mit konkreten Ableitungen w¨are m¨oglich, hier wird aber die Verwendung der Strukturregeln bevorzugt.

”⊆“: Sei φ ∈Ded(Γ) beliebig. Aufgrund der Identit¨at gilt sicherlichφ!φ. Da φ∈Ded(Γ) folgt mit Verd¨unnung Ded(Γ)!φ. Damit istφ∈Ded(Ded(Γ)).

”⊇“: Sei φ∈Ded(Ded(Γ)) beliebig.

Damit gibt es Ableitung Dmit Hyp(D)⊆Ded(Γ) und Endformel φ. Ins- besondere gilt auch: Hyp(D)!φ. Zu zeigen ist, dass Γ!φ.

Jedenfalls ist Hyp(D) endlich. Falls Hyp(D) =∅, dann ist nichts mehr zu zeigen. Sei also∅%= Hyp(D) ={ψ1, . . . ψn} ⊆Ded(Γ) f¨ur einn∈N. Es ist etwaψn∈Ded(Γ). Damit gilt (mit Verd¨unnung):

Γ!ψn und Γ,{ψ1, . . . ψ_n−1}, ψn!φ Mit dem Schnitt folgt: Γ,{ψ1, . . . ψ_n−1} !φ.

Durchn-fache Iteration der Argumentation erh¨alt man: Γ!φ.

Damit istφ∈Ded(Γ). q.e.d.

1. Behauptung: Sei Γ konsistent. Dann ist Ded(Γ) genau dann maximal- konsistent, wenn Γ vollst¨andig ist.

Beweis. Es sind zwei Richtungen zu zeigen.

”⇒“ Sei also Ded(Γ) maximal-konsistent. Angenommen Γ nicht vollst¨andig.

Dann gibt esφ∈PROP mit Γ% !φund Γ% !ψ. Also istφ,¬φ /∈Ded(Γ).

Da Ded(Γ) maximal-konsistent, ist Ded(Γ)∪ {φ}inkonsistent. Das bedeu- tet: Ded(Γ), φ! ⊥. Sei Dentsprechende Ableitung.

Dann ist D^":! [φ]¹

D

⊥ ( I→:1 )

¬φ

ebenfalls eine Ableitung. Es gilt Hyp(D^") = Hyp(D)\{φ} ⊆Ded(Γ). Da

¬φEndformel vonD^" ist, gilt Ded(Γ)! ¬φ.

Also istφ∈Ded(Ded(Γ)) = Ded(Γ). Widerspruch.

Also ist die Annahme zu verwerfen und Γ vollst¨andig.

Rene Gazzari Mathematische Logik I, WS 09/10

”⇐“ Sei nun Γ vollst¨andig. Jedenfalls ist Ded(Γ) konsistent.

(Sonst w¨are: Ded(Γ)! ⊥. Das bedeutet aber⊥ ∈Ded(Ded(Γ)) = Ded(Γ), also Γ! ⊥. WiderspruchΓ ist konsistent.)

Angenommen, Ded(Γ) nicht maximal-konsistent.

Dann gibt esφ∈PROP\Ded(Γ) mit Ded(Γ)∪ {φ} konsistent.

Es gilt Γ% !φ, daφ /∈Ded(Γ).

Da Γ vollst¨andig, folgt Γ! ¬φ. Also ist ¬φ ∈ Ded(Γ) = Ded(Ded(Γ)).

Damit gilt Ded(Γ)! ¬φ. SeiDentsprechende Ableitung.

Dann ist D^":! φ D

¬φ

( MP )

⊥

eine Ableitung.

D^" hat Endformel⊥und Hyp(D^") = Hyp(D)∪ {φ} ⊆Ded(Γ)∪ {φ}.

Es gilt also Ded(Γ), φ! ⊥und Ded(Γ)∪{φ}ist inkonsistent.Widerspruch Damit ist Annahme zu verwerfen und Ded(Γ) selbst ist maximal-konsistent.

q.e.d.

2. Behauptung: Zu jeder konsistenten, vollst¨andigen Menge Γ gibt es genau eine Menge Λ wie in Aufgabe 29 mit Ded(Γ) = Ded(Λ).

Beweis. Es ist Mehreres zu zeigen:

(1) Existenz: Betrachte Λ := Ded(Γ)∩ {φ∈PROP; φist Literal}

Da Γ vollst¨andig, gilt f¨ur alleφ∈PROP: Γ!φoder Γ! ¬φ. Da Γ zudem konsistent ist, gibt es keinφ∈PROP mit Γ!φund Γ! ¬φ.

Dies gilt insbesondere auch f¨ur alle Aussagevariablen. Also gilt f¨ur jedes p∈AV: Entweder Γ!poder Γ! ¬p.

Damit ist entweder p ∈ Ded(Γ) oder ¬p ∈ Ded(Γ). Folglich ist Λ eine Menge wie in Aufgabe 29.

Zu zeigen ist hier noch: Ded(Λ) = Ded(Γ).

”⊆“: Jedenfalls ist nach Konstruktion Λ⊆Ded(Γ).

Sei φ ∈ Ded(Λ), also Λ!φ. Mit Verd¨unnung folgt Ded(Γ)!φ, also φ∈Ded(Ded(Γ)) = Ded(Γ).

Also gilt Ded(Λ)⊆Ded(Γ). (#)

”⊇“: Sei nun umgekehrtφ∈Ded(Γ). Also Γ!φ.

Angenommen φ /∈ Ded(Λ), also Λ% !φ. Da Λ vollst¨andig ist, folgt Λ! ¬φ. Das bedeutet aber mit (#), dass¬φ∈Ded(Λ)⊆Ded(Γ).

Damit Γ! ¬φ.Widerspruchzur Konsistenz von Γ.

(2) Eindeutigkeit: Sei Λ^" andere Menge wie in Aufgabe 29.

Dann gibt es ohne Einschr¨ankung eine Aussagevariablep∈Λ^"\Λ.

Es gilt¬p∈Λ, also¬p∈Ded(Λ) = Ded(Γ). Das bedeutet aber Γ! ¬p.

W¨are nunp∈Ded(Γ), dann w¨urde Γ!pgelten und Γ w¨are inkonsistent.

Also istp /∈Ded(Γ). Dap∈Λ^", gilt Λ^"!p, alsop∈Ded(Λ^").

Damit ist Ded(Λ^")%= Ded(Γ) und die Eindeutigkeit ist gezeigt. q.e.d.