Vorkurs Mathematik im WiSe 2020/2021 (Variante B)
Dr. Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 9
Aufgabe 1. Gegeben ist das Wort LALLEN. Es geht nun darum, (möglicherweise unsinnige) Wörter aus diesen Buchstaben zu bilden.
(a) Wie viele solche Wörter gibt es insgesamt (mit sechs Buchstaben)?
(b) Wie viele Wörter beginnen und enden mit einem L?
(c) Wie viele Wörter gibt es, bei denen die drei L’s nebeneinander stehen?
(d) Wie viele Wörter mit drei Buchstaben gibt es?
Lösung.
(a) Es gibt 6·5·4 = 120 Möglichkeiten, die Positionen der Buchstaben A, E und N festzulegen.
Damit ist das komplette Wort festgelegt, da alle übrigen Buchstaben L’s sind.
Alternativ:Es gibt 6! Möglichkeiten, 6 Buchstaben anzuordnen. Da aber 3 Buchstaben gleich sind, werden die Wörter 3! mal zuviel gezählt. Also gibt es 6!3! = 120 Möglichkeiten.
(b) Da der erste und letzte Buchstabe festgelegt sind, müssen 4 verschiedene Buchstaben auf 4 Positionen verteilt werden. Dafür gibt es 4! = 24 Möglichkeiten.
(c) Es gibt 4 Möglichkeiten für die Positionen der L’s (ab dem ersten Buchstaben, ab dem zwei- ten, ab dem dritten oder ab dem vierten). Dann müssen die übrigen 3 Buchstaben auf drei Plätze verteilt werden, wofür es 3! Möglichkeiten gibt. Also sind es gemäß der Produktregel 4·3! = 24 Möglichkeiten.
(d) Wir machen eine Fallunterscheidung:
1. Fall: drei verschiedene Buchstaben. Dann gibt es 4·3·2 = 24 Möglichkeiten.
2. Fall: zwei L’s, und ein weiterer Buchstaben. Dann gibt es 3 Möglichkeiten den weiteren Buchstaben auszuwählen und 3 Möglichkeiten dessen Position festzulegen, also gemäß der Produktregel 9 Möglichkeiten.
3. Fall: drei L’s, dann gibt es 1 Möglichkeit.
Gemäß der Summenregel sind es 24 + 9 + 1 = 34 Möglichkeiten.
Aufgabe 2. Wir betrachten zehn PunkteA, B, C, ..., J der Ebene, von denen keine drei auf einer Gerade liegen.
(a) Wie viele Geraden sind durch die Punkte bestimmt?
(b) Wie viele Dreiecke sind durch die Punkte bestimmt?
(c) Wir nehmen an, dass der PunktAmit dem PunktB, der PunktB mit dem Punkt C,. . . , und der Punkt J mit dem PunktA verbunden sind und ein Zehneck ergeben. Wie viele Diagonale besitzt dieses Zehneck? Wie viele Diagonalen besitzt allgemein einn-Eck?
Lösung.
(a) Eine Gerade ist durch zwei Punkte bestimmt. Also sind es 102
= 45 Geraden.
(b) Ein Dreieck ist durch drei Punkte bestimmt. Also sind es 103
= 120 Dreiecke.
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(c) Eine Diagonale besteht aus zwei Punkten, dafür gibt es 102
Möglichkeiten. Die Seiten des Zehnecks zählen aber nicht als Diagonalen und müssen daher abgezogen werden. Also sind es 102−10 = 35 Diagonalen. Allgemein besitzt einn-Eck
n 2
!
−n=n(n−1) 2 −2n
2 =n2−n−2n
2 =n2−3n 2 Diagonalen.
Aufgabe 3. Die folgenden zwei Aufgaben entstammen dem Känguru-Wettbewerb (4. bzw. 7.
Klasse): Lösen Sie die Aufgaben.
Lösung.
(a) Mit den zwei Karten 6 und 9 lassen sich die vier Zahlen 66, 69, 96 und 99 bilden. Die 8 kann man davor, dazwischen oder hinten einordnen, d.h. dafür gibt es 3 Möglichkeiten.
Also sind es gemäß der Produktregel 4·3 = 12 Möglichkeiten. Man kann auch alle Zahlen aufzählen: 866,869,896, 869,689,698, 896,986,968, 899,989,998
(b) • Für Wagen I und II müssen 2 von 5 Positionen ausgewählt werden (die Reihenfolge ist gemäß Aufgabenstellung schon festgelegt). Dafür gibt es 52
= 10 Möglichkeiten.
• Dann müssen die übrigen drei Wagen auf drei Positionen verteilt werden, dafür gibt es 3! = 6 Möglichkeiten.
Insgesamt sind es gemäß der Produktregel 10·6 = 60 Möglichkeiten.
Die „schülergerechte“ Lösung:
Aufgabe 4. Gegeben ist ein Teppich (vgl. Bild) mit den SegmentenA, . . . , F, den es einzufärben gilt. Jedes Segment ist vollständig mit einer Farbe zu füllen, wobei eine Farbe auch mehrfach verwendet werden kann. Unmittelbar (über eine gemeinsame Kante) benachbarte Segmente dürfen nicht die gleiche Farbe haben.
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(a) Wie viele Färbungen gibt es mit zwei Farben?
(b) Wie viele Färbungen gibt es mit drei Farben?
(c) Wie viele Färbungen gibt es mit vier Farben, falls die Segmente Aund F sowieB und E gleichfarbig sein sollen?
(d) Wie viele Färbungen gibt es mit fünf Farben, falls die Segmente A, C und F gleichfarbig sein sollen?
Lösung. (a) Es gibt keine Färbung mit zwei Farben, da die Segmente B, C und D alle eine verschiedene Farbe benötigen.
(b) • Für SegmenteB, C und D müssen verschiedene Farben gewählt werden. Da es genau drei Farben sind, gibt es 3! = 6 Möglichkeiten, die Farben den Segmenten zuzuordnen.
• Segment E muss dieselbe Farbe wie Segment B erhalten, da es eine andere Farbe als C und D benötigt.
• Für Segmente A gibt es nun 2 Möglichkeiten, entweder dieselbe Farbe wie Segment C oder wie Segment D. Dasselbe gilt für Segment F.
Also sind es gemäß der Produktregel 3!·1·2·2 = 24 Möglichkeiten.
(c) • Es gibt 4 Möglichkeiten, die Farbe für Segmente A und F zu wählen.
• Nun gibt es 3 Möglichkeiten, die Farbe für Segmente B und E zu wählen (da eine andere Farbe als für A und F gewählt werden muss).
• Segmente C und D müssen verschiedene Farben haben, die wiederum verschieden von der Farbe von B und E ist. Für Segment C gibt es daher nur 3 Möglichkeiten und für Segment D dann nur noch 2 Möglichkeiten, also 2·3 Möglichkeiten.
Gemäß der Produktregel sind es 4·3·2·3 = 72 Möglichkeiten.
(d) • Es gibt 5 Möglichkeiten für die Farbe von Segmenten A, C und F.
• Für Segment B muss eine andere Farbe gewählt werden, dafür gibt es 4 Möglichkeiten.
• Für Segment D muss noch eine andere Farbe gewählt werden, also gibt es 3 Möglich- keiten.
• Für Segment E muss eine andere Farbe als für Segmente C/F und Segment D gewählt werden, also gibt es 3 Möglichkeiten.
Insgesamt sind es 5·4·3·3 = 180 Möglichkeiten.
Aufgabe 5. Beweisen Sie: Für allen, k∈Nmitn≥kgilt nk
= nn−k
.Woran erkennt man dies im Pascalschen Dreieck?
Lösung. Es gilt
n n−k
!
= n!
(n−k)!(n−(n−k))! = n!
k!(n−k)!= n k
! .
Dies bedeutet, dass das Pascalsche Dreieck symmetrisch ist: Beispielsweise ist 102
in Zeile 10 der dritte Eintrag von links und 1010−2
= 108
der dritte Eintrag von rechts.
