Technische Universität Berlin Fakultät II – Institut für Mathematik

Technische Universität Berlin

Fakultät II – Institut für Mathematik 21 juli 2009

Juli-Klausur (Rechenteil) Analysis III für Ingenieure

Name: . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . Studiengang: . . . .

Neben einem handbeschriebenen A4 Blatt mit Notizen sind keine Hilfsmittel zugelassen.

Keine Taschenrechner und Aufzeichnungen zugelassen.

Die Lösungen sind inReinschriftauf A4 Blättern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klau- suren könnennichtgewertet werden.

Dieser Teil der Klausur umfasst die Rechenaufgaben. Geben Sie immer denvollständigen Re- chenwegan.

Die Bearbeitungszeit beträgt60 Minuten.

Korrektur

1 2 3 4 Σ

1. Aufgabe

∂u

∂y =−ae^3xsin(ay)und ^∂_∂y^2u2 =−a²e^3xcos(ay).

Damit ist ∆u(x, y) = (9−a²)e^3xcos(ay).

Die Funktionuist dann füra= 3harmonisch.

Die gesuchte Funktionverfüllt die Cauchy-Riemannsche DGL:

∂v

∂y = ^∂u_∂x = 3e^3xcos(3y)und ^∂v_∂x =−^∂u_∂y = 3e^3xsin(3y)

d.hv(x, y) = e^3xsin(3y) +F(x)und−3e^3xsin(3y)−F⁰(x) =−3e^3xsin(3y)⇒F(x) = c∈R. Aus der Bedingungf(0) = 1 +ifolgt:u(0,0) +iv(0,0) = e⁰cos(0) +i(e⁰sin(0) +c) = 1 +i d.h1 +ci= 1 +i⇒c= 1.

Damit istv(x, y) =e^3xsin(3y) + 1und

f(x+iy) = e^3xcos(3y) +i(e^3xsin(3y) + 1).

2. Aufgabe

(i) Es gilt:

f(z) := _z−1¹ = _z−i+i−1¹ = _i−1¹ ₁₋¹z−i 1−i

= _i−1¹

∞

P

k=0

¡_z−i

1−i

¢k

=−

∞

P

k=0

¡ (z−i)^k (1−i)^k+1

¢.

(ii) Es ist

g(z) = _z−i¹ _z−1¹ =−_z−i¹

∞

P

k=0

¡ (z−i)^k (1−i)^k+1

¢ =−

∞

P

k=0

¡(z−i)^k−1 (1−i)^k+1

¢=−

∞

P

k=−1

¡ (z−i)^k (1−i)^k+2

¢.

der Hauptteil der Laurentreihe ist−_{(1−i)(z−i)}¹ und der Nebenteil ist−

∞

P

k=0

¡ (z−i)^k (1−i)^k+2

¢. (iii) g hat zwei Singularitäten z₀ = 1 und z₁ = i. Beide sind Pole 1. Ordnung und es gilt

Res(g(z),1) = _1−i¹ = ¹₂(1 +i)und Res(g(z), i) = _i−1¹ =−¹₂(1 +i).

3. Aufgabe

Mit der Substitutionz =e^it⇒dz =iz dt, erhalten wir:

Z 2π

0

dt

(10−6 cost) = Z

K(0,1)

dz

iz(10−3z−3¹_z) =−i Z

K(0,1)

dz

(10z−3z²−3). Die Polstellen sindz₁ = ¹₃ undz₂ = 3mitz₁ ∈D(0,1)undz₂ ∈/ D(0,1). Damit ist

R2π 0

dt

(10−6 cost) =R

K(0,1)

i dz 3(z−3)(z−¹

3) = 2πiRes((3z−1)(z−3)ⁱ ,¹₃) = ^π₄.

4. Aufgabe

(i) Es istu2 = 2u1+ 8u0 = 12,u3 = 2u2+ 8u1 = 40andu4 = 2u3+ 8u2 = 176.

(ii) Es gilt:

z²(F(z)−u₀−u₁z⁻¹) = 2z(F(z)−u₀) + 8F(z).

Daraus folgt:

F(z) = z² z²−2z−8. (iii) Es ist

F(z)

z = z

z²−2z−8 = z

(z+ 2)(z−4) = 2(z+ 2) +z−4

3(z+ 2)(z−4) = 2

3(z−4) + 1 3(z+ 2).

(iv) Es gilt:

F(z) = 2z

3(z−4)+ z

3(z+ 2) = 2 3

∞

X

k=0

4^kz^−k+1 3

∞

X

k=0

(−2)^kz^−k. Daraus folgt:

u_k = 2

34^k+ 1 3(−2)^k fürk ∈N,k ≥2.

⇒u₂ = ²₃(16) + ¹₃(4) = 12, u₃ = ²₃(64) + ¹₃(−8) = 40undu₄ = ²₃(256) +¹₃(16) = 176.