Technische Universität Berlin Fakultät II – Institut für Mathematik

Technische Universität Berlin

Fakultät II – Institut für Mathematik 6 Oktober 2009

Oktober-Klausur (Rechenteil) Analysis III für Ingenieure

Name: . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . Studiengang: . . . .

Neben einem handbeschriebenen A4 Blatt mit Notizen sind keine Hilfsmittel zugelassen.

Keine Taschenrechner und Aufzeichnungen zugelassen.

Die Lösungen sind inReinschriftauf A4 Blättern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klau- suren könnennichtgewertet werden.

Dieser Teil der Klausur umfasst die Rechenaufgaben. Geben Sie immer denvollständigen Re- chenwegan.

Die Bearbeitungszeit beträgt60 Minuten.

Korrektur

1 2 3 4 Σ

1. Aufgabe

(i) Zeigen Sie, dassv der Imaginärteil einer analytischen Funktionf ist.

(ii) Bestimmen Sie diese Funktionf mitf(0) = 1.

2. Aufgabe

(i) Bestimmen Sie die Singularitäten der Funktion f(z) := _z^cos2(z−π)^z−1. Von welchem Typ sind diese Singularitäten? Begründen Sie ihre Entscheidung.

(ii) Bestimmen Sie die Residuen in den Singularitäten aus (i).

3. Aufgabe

Berechnen Sie die Werte der folgenden Integrale mit Hilfe komplexer Integration:

Z 2π

0

3 + 2 cost 5−4 sint dt.

4. Aufgabe

(i) Entwickeln Sie die Funktionf(z) = _z3(z¹²−1) in eine Laurentreihe in den Gebieten G₁ :={z ∈C: 0<|z|<1} und G₂ :={z ∈C:|z|>1}.

(ii) Bestimmen Sie die inverseZ-Transformierte der Funktionf(z).