Technische Universität Berlin Fakultät II – Institut für Mathematik

Technische Universität Berlin

Fakultät II – Institut für Mathematik 6 Oktober 2009

Oktober-Klausur (Rechenteil) Analysis III für Ingenieure

Name: . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . Studiengang: . . . .

Neben einem handbeschriebenen A4 Blatt mit Notizen sind keine Hilfsmittel zugelassen.

Keine Taschenrechner und Aufzeichnungen zugelassen.

Die Lösungen sind inReinschriftauf A4 Blättern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klausuren könnennichtgewertet werden.

Dieser Teil der Klausur umfasst die Rechenaufgaben. Geben Sie immer denvollständigen Rechen- wegan.

Die Bearbeitungszeit beträgt60 Minuten.

Korrektur

1 2 3 4 Σ

1. Aufgabe 8 Punkte

(i) Es ist

∂²v

∂x² +∂²v

∂y² = sinxsinhy−sinxsinhy = 0.

Daher ist die Funktionvharmonisch⇒vist der Imeginärteil einer analytischer Funktionf. (ii) Der Reelteiluder Funktionf erfüllt die Cauchy-Riemannsche DGL:

∂u

∂x = ∂v

∂y =−sinxcoshy und

−∂u

∂y = ∂v

∂x =−cosxsinhy

d.hu(x, y) = cosxcoshy+F(y)und−cosxsinhy−F⁰(y) =−cosxsinhy⇒F(y) =c∈ R.

Aus der Bedingungf(0) = 1folgt:u(0,0) +iv(0,0) = cos 0 cosh 0 +c= 1d.hc= 0.

Damit istu(x, y) = cosxcoshyund

f(x+iy) = cosxcoshy+i(−sinxsinhy).

2. Aufgabe 8 Punkte

(i) z₁ = 0undz₂ =πsind die Singularitäten der Funktionf.

Daz7→(z−π)f(z)analytisch inz₂ist, istz₂ein Pol1. Ordnung.

Es ist lim

z→0f(z) = ¹₂ ·_0−π¹ = ⁻¹_2π <∞ |Rightarrow z₁eine hebbare Singularität.

(ii) Es gilt:

Res(f(z),0) = 0und Res(f(z), π) = cosπ−1 π² = −2

π².

3. Aufgabe 10 Punkte

Es ist

Z 2π

0

3 + 2 cost 5−4 sintdt=

Z 2π

0

3 +e^it+e^−it 5 + 2i(e^it−e^−it)dt.

Mit der Substitutionz=e^it⇒dz =iz dterhalten wir:

R2π 0

3+2 cost

5−4 sintdt =R

K(0,1)

3+(z+z⁻¹) iz(5+2i(z−z⁻¹))dz

=R

K(0,1)

z²+3z+1

−2z(z−2i)(z−¹₂i)dz

= 2πi£

Res¡ _z²_+3z+1

−2z(z−2i)(z−¹₂i),0¢

+ Res¡ _z²_+3z+1

−2z(z−2i)(z−¹₂i),¹₂i¢¤

= 2πi¡₁

2 +⁻¹₂ −i¢

= 2π.

4. Aufgabe 14 Punkte

(i) InG₁ist|z²|<1undf(z) = ⁻¹_z3 ·_(1−z¹ ₂₎ =−_z¹₃

∞

P

k=0

z^2k=

∞

P

k=0

z^2k−3.

InG₂gilt:

f(z) = 1 z⁵ · 1

1−_z¹₂ = 1 z⁵

∞

X

k=0

1 z^2k =

∞

X

k=0

z^−2k−5.

(ii) Die inverse Z-transformierte der Funktion f ist die Folge(y_k)_k definiert durch y_k = 1 für k= 2l+ 5undyk= 0fürk6= 2l+k, l∈N.