(1)Integration trigonometrischer Polynome Aus Z eikxdx= 1 ikeikx+c, 06=k ∈Z, folgt f¨ur ein trigonometrisches Polynomp Z X |k|≤n ckeikx | {z } p(x) dx=c +c0x+ X 06=|k|≤n ck ikeikx sowie Z π −π p = 2πc0

Integration trigonometrischer Polynome

Aus Z

e^ikxdx= 1

ike^ikx+c, 06=k ∈Z, folgt f¨ur ein trigonometrisches Polynomp

Z X

|k|≤n

c_ke^ikx

| {z }

p(x)

dx=c +c₀x+ X

06=|k|≤n

c_k ike^ikx

sowie Z π

−π

p = 2πc0. Mit Hilfe der Formeln von Euler-Moivre,

cost = e^it+ e^−it

2 , sint = e^it−e^−it 2i ,

k¨onnen auf diese Weise auch beliebige Polynome in sin(kx) und cos(kx) integriert werden.

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Beispiel

Berechnung von Z π

−π

sin⁴x

| {z }

p(x)

= dx

(i) Komplexe Methode:

Formel von Euler-Moivre, binomische Formel Integrand 1

2i e^ix−e^−ix 4

= 1

(2i)⁴

4

X

k=0

4 k

e^(4−k)ixe^−kix

= 1

16 4

2

e^2ixe^−2ix

| {z }

Term f¨urk=2

+1 16

X

`6=0

c<sub>`</sub>e<sup>i`x</sup>

= 6

16 + 1 16

X

`6=0

c`e<sup>i`x</sup>

Rπ

−π

P

`c<sub>`</sub>e^i`xdx = 2πc0 Integral 2π·6/16 = 3π/4

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(ii) Partielle Integration:

Z

sin⁴xdx = Z

sinxsin³xdx

= (−cosx) sin³x−3 Z

(−cosx)(sin²x) cosxdx

=∗ −cosxsin³x+ 3 Z

sin²xdx−3 Z

sin⁴xdx,

(*) −cosxsin²xcosx =−cos²xsin²x =−(1−sin²x) sin²x Aufl¨osen nachR

sin⁴ Z _π

−π

sin⁴xdx= 1 4

−cosxsin³xπ

−π+3 4

Z _π

−π

sin²xdx = 0 + 3π/4

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