Integration komplexer trigonometrischer Polynome
Aus Z
eikxdx= 1
ikeikx+c, 06=k ∈Z, folgt f¨ur ein komplexwertiges trigonometrisches Polynom p
Z X
|k|≤n
ckeikx
| {z }
p(x)
dx=c +c0x+ X
06=|k|≤n
ck ikeikx
sowie Z π
−π
p = 2πc0. Mit Hilfe der Formeln von Euler-Moivre,
cost = eit+ e−it
2 , sint = eit−e−it 2i ,
k¨onnen auf diese Weise auch beliebige Polynome in sin(kx) und cos(kx) integriert werden.
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Beispiel
Berechnung von Z π
−π
sin4x
| {z }
p(x)
= dx
(i) Komplexe Methode:
Formel von Euler-Moivre, binomische Formel Integrand 1
2i eix−e−ix 4
= 1
(2i)4
4
X
k=0
4 k
e(4−k)ixe−kix
= 1
16 4
2
e2ixe−2ix
| {z }
Term f¨urk=2
+1 16
X
`6=0
c`ei`x
= 6
16 + 1 16
X
`6=0
c`ei`x
Rπ
−π
P
`c`ei`xdx = 2πc0 Integral 2π·6/16 = 3π/4
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(ii) Partielle Integration:
Z
sin4xdx = Z
sinxsin3xdx
= (−cosx) sin3x−3 Z
(−cosx)(sin2x) cosxdx
=∗ −cosxsin3x+ 3 Z
sin2xdx−3 Z
sin4xdx,
(*) −cosxsin2xcosx =−cos2xsin2x =−(1−sin2x) sin2x Aufl¨osen nachR
sin4 Z π
−π
sin4xdx= 1 4
−cosxsin3xπ
−π+3 4
Z π
−π
sin2xdx = 0 + 3π/4
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