Clemens Simmer
Einführung
in die Meteorologie (met210)
- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre
2
IV Dynamik der Atmosphäre
1. Kinematik
– Divergenz und Rotation – Massenerhaltung
– Stromlinien und Trajektorien
2. Die Bewegungsgleichung
– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte – Navier-Stokes-Gleichung
– Skalenanalyse
3. Zweidimensionale Windsysteme
– natürliches Koordinatensystem – Gradientwind und andere
– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes
Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne
3
IV.3 Zweidimensionale Windsysteme
• Vereinfachte zweidimensionale Bewegungsgleichung
• Geostrophischer Wind
• Gradientwind
• Zyklostrophischer Wind
• Trägkeitskreis
• Einfluss der Reibung
• Ekman-Spirale
4
IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (1)
einfachere Beschreibung, welche Zentrifugalbeschleunigung durch gekrümmte Isobaren explizit enthält
Ausgangspunkt: horizontale Bewegungsgleichung ohne 2 wcos -Term
h R h
h hp fk v f
dt dv
+ ,
×
−
∇
−
=
ρ
h 1
v
n s ( )
( )
dt s v d s s
v v t v dt
s v d s v k n s v
v v t
v
dt s v d s v t v
v dt
s v d dt s
s dv dt v
d dt
v d
h h h s
v v v v h
h k
n s h
h h h
h h h h
k n
s h
∂ + + ∂
∂
= ∂ +
∂∂∂
∂∂∂
⋅
∂ +
= ∂
+
∇
⋅
∂ +
= ∂ +
=
=
=
== 0
Effekt - Krümmungs Advektion
Änderunglokalzeitl.
dt s v d
s s v t s
v dt
v d
h h
h
h +
∂ + ∂
∂
= ∂ 2
2
= ? dt
s d
Übergang in natürliches Koordinaten- system
… mit
Produktregel
5
IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (2)
dt : s d
R s(t0)
)
(t t
s 0 + ∆
lR
n s s
s
s s
s s s
t s t
t s s
≅ ∆
∆
∆
→
⊥
∆
=
∆
=
∆
=
∆
→
∆
∆ ≅
−
∆ +
=
∆
ϕ
ϕ ϕ
ϕ c)
||
b)
da , a)
) ( )
(
1
0 0
s s
n n
R>0 R<0
R n n v
t l R
t n t
s dt
s d
h v
b a
h
∆ =
= ∆
∆
= ∆
∆
≅ ∆
1
c
) ),
ϕ
dt s v d
s s v t s
v dt
v d
h h
h
h +
∂ + ∂
∂
= ∂ 2
2
Bahn zur
links gung Beschleuni Bahn
der entlang gung Beschleuni
R n s v
s v t s
v dt
v
d h h h h2
2
2 +
∂ + ∂
∂
= ∂
∆s
l
Achtung: Der Krümmungsradius R ist wieder so definiert, dass er bei zyklonaler Krümmung
positiv ist!
6
IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (3)
R n s v
s v t s
v dt
v
d h h h h2
2
2 +
∂ + ∂
∂
= ∂
Annahmen:
a) Stationarität vh/ t=0
b) keine Änderung des Betrags der Windgeschwindigkeit entlang der Bahn
(vh2/2)/ s=0
R n v dt
v
d
h=
h2 hn
hp f k v
hf
R hR v
+
,×
−
∇
−
= ρ
2
1
n R h h
R,s
f n fv
p R
n v
s f s p
,
:
:
+
∂ −
− ∂
=
∂ +
− ∂
=
ρ ρ
1 0 1
2
Keine Reibung senkrecht zur Strömung Reibung und Druckgradient
kompensieren sich entlang der Strömung.
Zentrifugal-, Druckgradient und Coriolisbeschleunigung kompensieren sich
senkrecht zur Strömung
7
IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (4)
Fallunterscheidung - Bezeichnungen
Äquator antitriptischer W.
Grenzschichtstrahlstrom Trägheitskreis
Staubteufel zyklostro-
phischer W.
Gradientwind synoptische Systeme
geostrophischer W.
Zentrifu- galbe- schleu-ni- gung Reibung
Coriolis- Beschl.
Druck- gradient
h h
R,s
n fv p R
n v
s f s p
∂ −
− ∂
=
∂ +
− ∂
=
:
:
ρ ρ
1 0 1
2
8
IV.3.2 Geostrophischer Wind
- keine Reibung
- keine Zentrifugalbeschleunigung, vh2/R=0 R=± , also gradlinige Isobaren!
n p v f
v n fv
n p
s s p
g h
h
∂
− ∂
=
≡
∂ −
− ∂
=
∂
− ∂
=
ρ ρ
ρ
1 0 1
0 1
:
Isobaren
||
n Stromlinie
:
p p 3 p
p 2 p
p 1 p
g
T
H
n
V f Vg
9
IV.3.3 Gradientwind (1)
- keine Reibung
∂ −
− ∂
=
≡
∂ −
− ∂
=
∂
− ∂
=
≡
R v n p v f
v n fv
p R
n v
s s p
h
fv G
h h h
g
2
2 1 1 1
0 1
ρ ρ
ρ
:
Isobaren
||
n Stromlinie
:
T n s H n
s
g G h
v
R v n
p v f
n p R
<
∂ −
= ∂
∂ <
∂
>
1 2
1 0 0
ρ
g G h
v
R v n
p v f
n p R
>
∂ +
= ∂
∂ <
∂
<
1 2
1 0 0
ρ
Im T kompensieren Coriolis und
Zentrifugalbeschleunigung gemeinsam den Druckgradient.
Im H wirkt Coriolis entgegen der
Zentrifugalbeschleunigung, daher höhere Geschwindigkeit bei gleichem Druckgradient!
10
IV.3.3 Gradientwind (2)
∂ −
− ∂
=
≡
∂ −
− ∂
=
∂
− ∂
=
≡
R v n p v f
v n fv
p R
n v
s s p
G
fv G
h h h
g
2
2 1 1 1
0 1
ρ ρ
ρ
:
Isobaren
||
n Stromlinie
:
. m/s
. 1
000 000
1
10 10 10
1 1
4
2 ≈ − ⋅ =
R v f
Größenabschätzung des h
„Korrekturterms“ 1/f vh2/R:
Formale Bestimmung von vG
(quadratische Gleichung) n
p R fR
vG fR
∂
− ∂
±
−
= ρ
2
2 2
Es gibt also 2 Lösungen.
Differenziert man weiter zwischen i) R>=<0 und ii) p/ n>=<0, so gewinnt man insgesamt 18 „Lösungen“ für den Gradientwind.
11
+ = - fC fP fZ
IV.3.3 Gradientwind (4)
• Vor einer mathematischen Untersuchung der verschiedenen Lösungen wollen wir erst qualitative Überlegungen anstellen.
• Im Gradientwind halten sich drei parallel zueinander ausgerichtete aber quer zur Bahn wirkende Kräfte die Waage: fP, fC, und fZ.
• Mit Geschwindigkeit (und damit fC) fest gibt es vier Möglichkeiten, wie sich fP und fZ dazu orientieren können:
fC
vh
+ = - fC
fP fZ + = - fC
fP fZ fP + = - ffZ C
T
anormales Tief
H
anormales Hoch
H
normales Hoch
T
normales
hohe DruckgradientenTief
schwache Krümmung niedrige Druckgradienten starke Krümmung
• Bei beiden Tiefs kann der Druckgradient bei konstanter
Windgeschwindigkeit unbegrenzt zunehmen (Ausgleich über stärkere Krümmung, während Hochs hier limitiert sind.
12
IV.3.3 Gradientwind (5)
+ = - fC fP fZ fC
vh
+ = - fC
fP fZ + = - fC
fP fZ fP + = - ffZ C T
anormales Tief
H
anormales Hoch
H
normales Hoch
T
normales
hohe DruckgradientenTief
schwache Krümmung niedrige Druckgradienten starke Krümmung
20 40 m/s
0 5x10-3
m/s²
0
|fvh|
|vh2/R|
Wirbel mit R=250 km
A,B
D C
A B C D
• Die rechte Darstellung zeigt die
Coriolisbeschleunigung (mit f=10-4 s1) und die Zentrifugalbeschleunigung bei einem Wirbel mit 250 km Radius.
• Hochs sind nur bis zum Kreuzungspunkt von fC und fZ möglich da fC>fZ sein muss.
Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt dabei der Druckgradient erst zu
(normales Hoch) und dann wieder ab (anormales Hoch).
• Bei hohen Geschwindigkeiten ist nur ein (normales oder anormales) Tief möglich.
• Anomale Systeme können nur durch Störungen erzeugt werden.
13
IV.3.3 Gradientwind (5)
Analyse der 2x3x3 Lösungen von vG = − fR2 ± fR2 2 − Rρ ∂∂np
• R=0 vG=0 triviale Lösung (nur noch 12 Lösungen übrig)
• p/ n=0 vG=-fR/2±|fR/2|
R>0 vG 0 triviale oder unphysikalische Lösung R<0 vG=0 triviale Lösung
vG = - fR Trägheitskreis, antizyklonal
Es verbleiben noch 2 x 2 x 2 = 8 Lösungen, von denen noch 4 unphysikalisch sein müssen
p/ n<0 p/ n>0
normales Hoch vG<0
-
anormales Hoch normales Tief
+
vG<0 vG<0
-
anormales Tief vG<0
+
R<0 R>0
14
IV.3.3 Gradientwind (6)
Diskussion
n p R fR
vG fR
∂
− ∂
±
−
= ρ
2
2 2
• Geostrophischer Wind ist in allen Lösungen mit R=± enthalten
• Anormale Fälle werden auf der synoptischen Skala nicht beobachtet da Druckgradient die primäre Bewegungsursache ist.
• Anormale Fälle können nur auf sehr kleiner Skala durch Trägheitseffekte auftreten (Staubteufel, Badewanne)
• Besonderheit des Hochs:
Druckgradient muss zum Zentrum abnehmen.
Hochs sind flach. Tiefs haben diese Beschränkung nicht.
f R n
p
n R p R
f n
p R fR
n p R fR
vG fR
4
2 2
2 2
2 2 2
2
ρ
ρ ρ
ρ
∂ ≤
→ ∂
∂
≥ ∂
∂ →
≥ ∂
→
∂
− ∂
−
=
15
IV.3.4 Zyklostrophischer Wind
- keine Reibung
- keine Coriolisbeschleunigung (z. B. Äquatornähe, kleiner Krümmungsradius)
chen Vorzei
setzte entgegenge
und
:
Isobaren
||
n Stromlinie
:
n R p
n p R
n v
s s p
h ∂
∂
∂
− ∂
=
∂
− ∂
=
ρ ρ
1 0 1
2
T T
FP Z FP Z
vH
vH
Isobare und Stromlinie
n n
p/ n > 0 , d.h. Tief
antizyklonal R < 0 zyklonal R > 0 p/ n < 0 , d.h. Tief
16
IV.3.5 Trägheitskreis (1)
- keine Reibung
- kein Druckgradient
nsgeschw."
Erdrotatio
"
doppelte
it, chwindigke Winkelges
konstante ,
al antizyklon
0 R also ,
f
:
:
h h
R f v
fR v
R v n v
s
h h
−
=
<
−
=
−
=
=
2
0 0
F Z
vH
n C
Stromlinie
100 17,5
1 43,3
69 79
|R| bei vh=10 m/s 200
12 13,8
Rotationszeit, T=2 |R|/vh=2 /f, in Stunden 35
1,46 1,26
0,5 f in 10-4s-1 0
90°
60°
20°
0°
Als solche in der Atmosphäre kaum direkt beobachtet. Im Ozean dagegen sind diese Trägheitsschwingungen durchaus häufig.
17
IV.3.5 Trägheitskreis (2)
• Der Trägheitskreis taucht aber in der Form des sogenannten Grenzschichtstrahlstroms auf:
- Ausgangspunkt ist der subgeostrophische Wind in der Grenzschicht bedingt durch Reibung über den Kontakt zur Erdoberfläche.
- Stabilisiert sich die Luftschicht durch Ausbleiben der Heizung vom Boden in der Nacht, so reduziert sich die Reibung.
- Nehmen wir an, dass die Reibung vollständig aufhört, so haben wir es mit einem stark ageostrophischen Wind zu tun bei gegebenem Druckgradient und Coriolisbeschleunigung.
- Der Wind beschleunigt dann zunächst so lange die Windrichtung eine Komponente zum Druckgradient hat.
- Ist der Wind parallel zu den Isobaren ist er supergeostrophisch und wird bei weiterer Rechtsablenkung abgebremst bis die
Coriolisbeschleunigung kleiner als der Druckgradient ist und wieder eine Linksbeschleunigung wirkt….
• Um dies quantitativ zu beschreiben müssen wir wieder zur Bewegungsgleichung im x,y,z-System zurück.
18
IV.3.5 Trägheitskreis (3)
( ) ( )
ag ag
g h
g h
h h h
v k dt f
v d
v v
k dt f
v v
d
v k f dt p
v d
×
−
=
−
×
−
− =
×
−
∇
−
= ρ
1 • Ausgangspunkt: stationäres Druckfeld, ageostrophische Windkomponente, ohne Reibung.
• Die Zentrifugalbeschleunigung ist jetzt wieder im ersten Term enthalten!
( ) ( )
ag ag
ag
v v
|
) ( :
aber zunächst
v : g Bezeichnun
dt if d
iv u
if iv
dt u d
i dt fu
dv dt fv du v
k dt f
v d
iv u
ag ag
ag ag
ag ag
ag ag
ag ag
ag ag
−
=
+
−
= +
⋅
−
= +
× =
−
=
+
≡
vag
ℜ x , y ,ℑ
19
IV.3.5 Trägheitskreis (4)
( )( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )const v
ft v
v ft
u u v
v
ft v
v ft
u u u
u
ft i
ft t
ift t
v dt if
v d
ag
g g
g
g g
g
ag ag
=
− +
−
−
=
− +
− +
=
−
=
−
=
−
=
: Beachte
cos sin
sin cos
: il Imaginärte und
Real in
Zerlegung
sin cos
) ( v
exp ) ( v v
:
von Lösung
ag ag ag
0 0
0 0
0 0
ag, ft = /2
v
v vg
ag,t>0 t>0
vt=0
vag,t=0
P F
F
P
C
P F
F
P
für v = vC g
vg v vft = /2
b für v = vg a
v
v v
v
ft = 3 /2
t = 0
ft = /2 ft =
P
c
• Weicht der ursprüngliche Wind vom geostrophischen ab, so führt der Windvektor eine Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit f um
letzteren aus (a, b).
• Ohne Druckgradient ergibt sich der Trägheitskreis (c).
• Wie sehen die Trajektorien für die 3 Fälle aus?
allgemein v(t0)=0 vg=0
20
IV.3.6 Einfluss der Reibung
Fallunterscheidung
1. Ist Coriolisbeschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung vernachlässigbar, so sind im stationären Fall
Druchgradientbeschleunigung und Reibung entgegengesetzt und gleich. Der dann resultierende antitripische Wind weht direkt vom hohen zum niedrigen Druck.
2. Erweitern wir um den Beitrag der Coriolisbeschleunigung bei Beschränkung auf gradlinige Isobaren (also keine
Zentrifugalbeschleunigung), so muss der Windvektor eine Komponente zum tiefen Druck haben. Die Reibung selbst kann dabei nicht genau parallel zum Windvektor wirken.
3. Eine vereinfachte mathematische Analyse ergibt, dass der Wind vom Boden, wo er mit ca. 45° in das Tief weht, mit der Höhe zunehmend in den geostrophische Wind in der freien Atmosphäre in Form der Ekman-Spirale hineindreht.
21
IV.3.6.1 Antitriptischer Wind
Annahmen:
Coriolisbeschleunigung = 0 (z. B. Äquatornähe) Zentrifugalbeschleunigung =0 (gradlinie Isobaren)
h R h
h R
hp = f , ∇ p || f ,
∇
− ρ 1
H T
fp
fR
Der antitriptische Wind ist ein Ausgleichswind zwischen
Druckgradientbeschleunigung und Reibungsbremsung: Die Luft wird gerade so stark beschleunigt, dass die mit dem Wind zunehmenden Reibung die Druckgradientbeschleunigung gerade ausgleicht.
22
IV.3.6.2 Richtung der Reibung
Annahmen:
1. stationäre Strömung 2. gradlinige Isobaren
3. keine horizontale Windscherung
4. Reibung durch Turbulenz: nach 3. reduziert sich dann die Divergenz des Schubspannungstensors auf eine reduzierte vertikale Komponente
(
h g)
h g agh
h h
v k f
h
v v
v v
v k
z f K v z
z K v v z
k f p
g
=
−
⊥
−
×
∂ =
∂
∂
∂
∂ =
∂
∂ + ∂
×
−
∇
−
⋅
× ∇
=
R aus
f also
1 0
τ
ρ
Die Reibungsbeschleunigung steht senkrecht auf dem ageostrophischen Wind nicht parallel zum Windvektor.
Dies ist auch ersichtlich aus der Form des
Reibungsterms unter Berücksichtigung einer zunächst mit der Höhe stark, dann schwächer zunehmenden Windgeschindigkeit.
T
H
fp
fR
fC
vh
23
Konstruktion des Reibungsvektors
T
H
v
hv
gfP P
R
C
f f
f + = −
R
C
f
f +
g h
ag
R
v v v
f ⊥ = −
Richtung
R
− f
h
C
v
f − Richtung ⊥
Richtung
C
− f llelogramm
Kräftepara ,
RC
f f
f
Cf
R24
Ekman-Spirale (1)
(
h g)
h fk v v
z K v
z = × −
∂
∂
∂
∂
Wir beginnen mit:
Annahmen:
a) turbulenter Diffusionskoeffizient K höhenunabhängig
b) geostrophischer Wind
höhenunabhängig ag
ag fk v z
K v = ×
∂
∂
2 2
Komponentenweise aufschreiben
v-Komponente mit i multiplizieren
Komponenten addieren ( ) ( )
) (
*
ag ag
ag ag
ag ag
ag ag
iv u
z if iv K u
i z fu
K v
z fv K u
+
∂ = +
∂
−
=
∂ =
∂
−
∂ =
∂
2 2
2 2
2 2
1
Definiere:
Homogene Diff‘gleichung 2. Ordnung
ag ag
ag u iv
v ≡ +
ag ag ifv z
K v =
∂
∂
2 2
25
Ekman-Spirale (2)
Lösung der homogenen Diff‘gleichung 2. Ordnung
mit vag ≡ uag + ivag ag ifvag
z
K v =
∂
∂
2 2
Lösungsschritte:
1. Möglichst allgemeinen Lösungsansatz machen charakteristische Gleichung
i.a. unterschiedliche Lösungen
2. Die allgemeine Lösung ergibt sich dann durch Addition aller Lösungen mit freien Koeffizienten
3. Die Bestimmung der freien Koeffizienten erfolgt aus der Anwendung bekannter Bedingungen an den Rändern (z.B. v=0 am Boden) oder aus physikalischen Erwartungen an die Lösung (z.B. kein Wachsen nach )
Schritt 1: Allgemeiner Ansatz
schlägt eine Höhenabhängigkeit vor
exponentielle Zunahme oder Abnahme wenn m imaginär ist periodische Änderung, wenn m real ist, da
) exp(imz vag ∝
) sin(
) cos(
)
exp(imz ≡ mz + i mz
26
Ekman-Spirale (3)
2 0
2
=
∂ −
∂
ag ag ifv z
K v )
exp(imz vag ∝
Einsetzen von
ergibt
in
Gleichung stische Charakteri
)
exp(
) (
) exp(
) exp(
sonst da
K m if
imz if
K m
imz if
imz K
m
vag
−
=
→
= +
=
−
−
=
≠
2 0
0 2
2
0 0
) ( )
( ( )
beachte
x f x
f e
z x e f
z ∂
= ∂
∂
∂
) (
d.h.
)
(
da ,
in werden aufgeteilt
kann komplex,
also ist
K i f
K im i f
i K i
i f K f K m if
1 2 1 2
12 12
2 2
+
±
=
−
±
=
−
=
−
−
±
=
−
±
=
27
Ekman-Spirale (4)
) exp(imz vag ∝
Mit dem Ansatz und der
charkteristischen Gleichung
ergibt sich dann die allgemeine Lösung zu
)
( K
i f
im = ± +1 2
Schritt 2:
Allgemeine Lösung durch Addition der möglichen Lösungen
+
− +
+ +
= z
K i f
C K z
i f C
vag
1 2
1 2 2
1 exp ( ) exp ( )
28
Ekman-Spirale (5)
Schritt 3:
Einschränkung der allgemeinen Lösung durch Randbedingungen u.ä.
+
− +
+ +
= z
K i f
C K z
i f C
vag
1 2
1 2 2
1 exp ( ) exp ( )
2 1
0
0 0
C C
v
v z
v v
v z
g
g ag g
h
+
=
−
−
=
=
≡ +
=
=
) (
v ag
0 0
0
1 = → ∞ >
=
∞
=
≡ +
=
∞
=
a (ax)
C z
v v
v v
z h g ag g
für exp
da ,
) (
v ag
+
−
−
=
−
−
−
=
+
−
−
=
−
=
K z i f
K z z f
K v f
K z i f
K z v f
K z i f
v v
v v
g g g g
h ag
2 2
2
2 2
1 2
sin cos
exp
exp exp
) (
exp
29
Ekman-Spirale (6)
+
−
−
=
+
−
−
=
−
=
Kz i f
K z z f
K v f
v
Kz i f
K z z f
K v f
v v v
g h
g g
h ag
2 2
1 2
2 2
2
sin cos
exp
sin cos
exp
Teile wieder auf nach vh ≡ u + iv , vg ≡ ug +ivg
− +
−
−
=
−
−
−
−
=
Kz z f
K u f
K z z f
K v f
v
Kz z f
K v f
Kz z f
K u f
u
g g
g g
2 2
2 1 2
2 2
2 1 2
sin exp
cos
exp
sin exp
cos
exp
Annahme: vg = 0
−
=
−
−
=
K z z f
K u f
v
K z z f
K u f
u
g g
2 2
2 1 2
sin exp
cos exp
30
Ekman-Spirale (7)
−
=
−
−
= z
K z f
K u f
v K z
z f K u f
u g g
2 2
2
1 exp 2 cos , exp sin
0 2 4 6 8 10
0 2
4 v in m/s
u in m/s
100 150
200 250
vg
45°
0 4 8 12 16
0 2 4
6 v in m/s
u in m/s
50
200 350
500 650
800
vg
Theorie: Ablenkwinkel bei z=0 ist 45°
Beispiel einer Messung
Achtung:
K war höhenkonstant angesetzt, ändert sich aber mit der Höhe, Stabilität und Windgeschwindigkeit
Beobachtungen in 10 m Höhe:
45 30
50 35
60 Land 45
rauh
35 20
40 25
50 Land 35
glatt
25 10
30 15
40 25
Ozean
stabil labil
stabil labil
stabil labil
=70°
=45°
=20°
31
Ekman-Spirale (8)
Reibung gibt dem bodennahen Wind eine Komponente zum tiefen Druck
Auffüllen des Tiefs Abbau des Hochs
T H
32
Übungen zu IV.3
1. In einem horizontalen Windfeld ohne Bahnbeschleunigung herrsche ein Druckgradient von 5 hPa/200km. Wie groß ist bei 0°, 20°, 50°
und 90° geographischer Breite a) der geostrophische Wind, b) der Gradientwind bei R ± 200 km (alle möglichen Fälle), c) der
zyklostrophische Wind bei R = 100 km., d) der antitriptische Wind, wenn für die Reibungsbeschleunigung als grobe über Land gültige Beziehung angenommen wird aR = - 1 x 10-4 s -1 vH. Bei allen Fällen sei angenommen, daß die Dichte 1 kg/m3 beträgt.
2. Schätze die Größenordnung der Zentrifugalbeschleunigung und der Coriolisbeschleunigung in einer tropischen Zyklone (Hurrikan,
Taifun), einem Tornado und einem Staubteufel ab.
3. Berechne und zeichne die Trajektorien für die drei Fälle auf Folie IV.3.5 Trägheitskreis (4).
