In diesem Kapitel wollen wir nun die eulersche�-Funktion verwenden, um einen berühmten Satz von Euler zu formulieren, aus dem wir dann mehrere interessante Folgerungen ziehen werden. Insbesondere werden wir einen ersten Primzahltest bekommen und Fermats Lösbarkeitsaussage zur diophantischen GleichungX2+Y2=�für positive ganze Zahlen�untersuchen.
Notation: In diesem Kapitel bezeichnen wir mit[�]die Restklasse von� inZ/�Z(�∈Z>0).
8 Der Satz von Euler
Satz 3.1 (Satz von Euler)
Für alle�� �∈Z>0 mitggt(�� �) = 1gilt
��(�)≡1 (mod�)�
Der Beweis des Satzes von Euler ist eine Anwendung des Satzes von Lagrange, der in den algebrai- schen Strukturen bewiesen wurde. (Siehe Kapitel 0.)
Beweis : Wegenggt(�� �) = 1ist also[�]∈(Z/�Z)× (d.h. invertierbar). Nach Satz 2.17(a) ist|(Z/�Z)×|=
�(�)und aus dem Satz von Lagrange folgt
[1] = [�]|(Z/�Z)×|= [�]�(�)= [��(�)]∈Z/�Z�
d.h. ��(�)≡1 (mod�)�
Beispiel 10
Wir überlegen uns nun, wie lineare Kongruenzen mit dem Satz von Euler gelöst werden können. Sei
dazu�� ≡� (mod�)mit�� �∈Z, �∈ Z>0 undggt(�� �) = 1 gegeben. Damit ist[�]∈(Z/�Z)×
und es gilt
[�] = [�]·[�]−1= [�]·[1]·[�]−1= [�]·[�]�(�)·[�]−1= [�]·[�]�(�)−1∈Z/�Z
nach dem Satz von Euler, da��(�) ≡1 (mod�). Somit ist�=���(�)−1eine Lösung der Kongruenz 22
�� ≡� (mod�).
Z.B.: Löse5�≡4 (mod 12). Hier ist�(12) = 4und damit ist
�= 4·53= 4·125 = 500
eine Lösung. Wegen500 = 41·12 + 8≡8 (mod 12)ist auch �= 8 eine Lösung:
5·8 = 40≡4 (mod 12)�
9 Der kleine Satz von Fermat
Der kleine Satz von Fermat ist ein Spezialfall des Satzes von Euler.
Folgerung 3.2 (kleiner Satz von Fermat)
Für alle�∈Z>0und alle Primzahlen�∈Pist
��≡� (mod�)�
Beweis : Aus dem Satz von Euler folgt
��(�)=��−1≡1 (mod�) für alle� mitggt(�� �) = 1.
Nun istggt(�� �)�= 1, so ist�durch�teilbar. Somit ist�≡0 (mod�), also��≡0≡� (mod�). Damit gilt die Behauptung für alle�∈Z>0.
Anmerkung 3.3
Das vorstehende Resultat liefert also eine notwendige Bedingung dafür, dass eine positive Zahl� prim ist. Dies führt zu folgendem einfachenPrimzahltest:
Für�∈Z>0teste, ob��−1≡1 (mod�)für alle� <�.
· Falls dies nicht der Fall ist, so ist�keine Primzahl.
· Falls doch, so ist�entweder eine Primzahl oder eine sogenannte Carmichael-Zahl:
Eine zusammengesetzte natürliche Zahl�heißtCarmichael-Zahl, falls für alle zu�teilerfremden Zahlen�gilt:��−1≡1 (mod�).
10 Der Satz von Wilson
Der Satz von Euler impliziert auch den folgenden Satz von Wilson.
Satz 3.4 (Wilson)
Sei�∈Peine Primzahl. Dann ist
(�−1)!≡ −1 (mod �)�
Anmerkung 3.5
Wie man leicht sieht, gilt hiervon auch die Umkehrung. (Aufgabe 14(a), Blatt 4)
Beweis : Betrachte das Polynom�:=X�−1−[1]∈(Z/�Z)[X]. DaZ/�Zein Körper ist, besitzt� höchstens
�−1verschiedene Nullstellen inZ/�Z. Nun ist nach dem Satz von Euler (Satz 3.1)
��−1≡1 (mod�) für alle1≤�≤�−1�
Also sind[1]� � � � �[�−1]verschiedene Nullstellen von�. Daher gilt (X−[1])· · ·(X−[�−1])|��
Da beide Polynome denselben Grad und denselben höchsten Koeffizient haben, folgt (X−[1])· · ·(X−[�−1]) =�=X�−1−[1]�
Auswerten beiX= [0]ergibt
[(−1)· · ·(−(�−1))] = [−1]∈Z/�Z und somit ist
(−1)�−1·(�−1)!≡ −1 (mod�)�
Ist�ungerade, so ist(−1)�−1= 1.
Für�= 2gilt−(�−1)!≡(�−1)! (mod�). Insgesamt haben wir also (�−1)!≡(−1)�−1(�−1)!≡ −1 (mod�)�
Beispiel 11 Es gilt
(7−1)! = 720 = 7·103−1≡ −1 (mod 7)�
Folgerung 3.6
Sei�eine ungerade Primzahl. Dann gilt:
X2+ [1]∈(Z/�Z)[X]hat eine Nullstelle inZ/�Zgenau dann, wenn�≡1 (mod 4)ist�
Beweis :
’⇒’ Sei[α]∈Z/�Zeine Nullstelle vonX2+ [1], alsoα2+ 1≡0 (mod�), beziehungsweiseα2≡ −1 (mod�). Wegen Folgerung 3.2 (kleiner Satz von Fermat) ist
1≡α�−1≡(α2)�−12 ≡(−1)�−12 (mod�)�
Also ist �−12 gerade, und daher�−1durch 4 teilbar. Also gilt�≡1 (mod 4).
’⇐’ Sei�≡1 (mod 4)und somit �−12 gerade. Mit dem Satz von Wilson gilt 1·2· · ·(�−1)≡ −1 (mod�)� Nun ist�−�≡ −� (mod�)für1≤�≤ �−12 , also
−1≡1· · ·�−1 2 ·�
�−�−1 2
�· · ·(�−1)
≡1· · ·�−1
2 ·(−1)· · ·�
−�−1 2
��
Damit gilt
(−1)�−12 ���−1 2
�!�2
≡ −1 (mod�)�
Also ist[��−1
2
�!]eine Nullstelle vonX2+ [1]inZ/�Z, wie gesucht.
11 Die diophantische Gleichung X
2+ Y
2= �
In diesem Abschnitt erhalten wir das erste Teilergebnis zu Quadratsummen, indem wir die Frage beant- worten, welche Primzahlen sich als Summe zweier Quadrate schreiben lassen. Anders gesagt, suchen wir nach (positiven) ganzzahligen Lösungen der diophantischen Gleichung
X2+Y2=� wobei� eine Primzahl ist.
Anmerkung 3.7
Zunächst ist es klar, dass wir uns dabei auf die BetrachtungungeraderPrimzahlen� beschränken können, da
12+ 12= 2 die einzige Lösung für�= 2 ist.
Lemma 3.8
Sind�� �∈Zmit �2+�2=�, so istggt(�� �) = ggt(�� �) = 1.
Beweis : Wir nehmen an, dassggt(�� �)�= 1, und somit�|�. Dann aus�|�folgt�|�2, damit�|�2=�2−�
und sogar�|�. Damit�2|�2und�2|�2, so dass�2|�2+�2=�im Widerspruch zu�2-�. Also ist ggt(�� �) = 1.
Ähnlich:ggt(�� �) = 1.
Aus Folgerung 3.6 lässt sich somit folgende Tatsache ableiten:
Lemma 3.9
Ist��= 2eine Primzahl mit einer Darstellung�=�2+�2, mit�� �∈Z, so ist�≡1 (mod 4).
Beweis : Aus �2+�2 = �folgt �2+�2 ≡ 0 (mod�)und daher �2 ≡ −�2 (mod�). Nach Lemma 3.8 ist ggt(�� �) = 1, daher dürfen wir durch�2teilen. Dies liefert
(��−1)2≡ −1 (mod�)� Aus Folgerung 3.6 folgt somit�≡1 (mod 4).
Es gilt auch die Umkehrung von Lemma 3.9. Um dies zu zeigen, bedarf es wieder eines Existenz- beweises, für den wir noch einen Satz von Thue benötigen. Dieser beruht auf Dirichlets bekanntem Schubfachprinzip.
Lemma 3.10 (Schubfachprinzip)
Werden�(mathematische oder physikalische) Objekte auf weniger als�Schubfächer (Teilmengen) verteilt, so enthält mindestens ein Schubfach mindestens zwei Objekte.
Satz 3.11 (Thue)
Seien�∈Zund�∈Z>0keine Quadratzahl. Dann hat die Kongruenz
�� ≡� (mod�) eine Lösung(�� �)∈Z2\ {(0�0)}mit−√�<�� �<√�.
Beweis : Betrachte die MengeA:={(�� �)∈Z2|0≤�� �< √�}. Bezeichnet�∈ Zdie kleinste ganze Zahl größer gleich√�, so haben wir für�� �je genau�Möglichkeiten, also insgesamt|A|=�2. Da� keine Quadratzahl ist, ist�2>�. AberZ/�Zhat genau�<�2Elemente. Nach dem Schubfachprinzip (Lemma 3.10) gibt es daher(�1� �1)�(�2� �2)∈Amit
(�1� �1)�= (�2� �2)und��1−�1≡��2−�2 (mod�)� Also ist�(�1−�2)≡(�1−�2) (mod�)mit|�1−�2|<√�,|�1−�2|<√�. Damit ist
(�� �) := (�1−�2� �1−�2)�= (0�0) eine Lösung, wie gewünscht.
Satz 3.12 (Fermat)
Sei�∈Peine ungerade Primzahl. Dann sind äquivalent:
(a) Es gibt(�� �)∈Z2mit�2+�2=�;
(b) Es gibt�∈Zmit�2≡ −1 (mod�);
(c) Es gilt�≡1 (mod 4).
Beweis :
(a)⇒(c): Dies ist Lemma 3.9.
(b)⇔(c): Dies ist Folgerung 3.6.
(c)⇒(a): Sei�≡1 (mod 4). Nach Folgerung 3.6 existiert ein�∈Zmit
�2+ 1≡0 (mod�)�
also�2≡ −1 (mod�). Nach dem Satz von Thue (Satz 3.11) existiert(�� �)∈Z2\ {(0�0)}mit
��≡� (mod�) und |�|�|�|<√��
Damit gilt
−�2≡�2�2≡�2 (mod�) und somit
�2+�2≡0 (mod�)�
Dies zeigt, dass�2+�2=��für ein�∈Z>0ist. Wegen|�|�|�|<√�gilt aber auch
�2+�2<2��
Damit folgt0<�<2, also�= 1, und�2+�2=�wie behauptet.
Anmerkung 3.13
Der Beweis liefert keine gute Konstruktion von�� �mit�2+�2=�, da er auf dem nicht konstruktiven Schubfachprinzip beruht.
12 Die diophantische Gleichung X
2+ Y
2= �
Wir können jetzt Fermats Lösbarkeitsaussage zur diophantischen Gleichung X2+Y2=�
fürbeliebigepositive ganze Zahlen�beweisen.
Lemma 3.14
Sind�1� �2∈Z>0positive ganze Zahlen, die jeweils Summe zweier Quadrate sind, dann ist auch
ihr Produkt�1·�2Summe zweier Quadrate.
Beweis : Schreibe�1=�21+�21und�2=�22+�22. Dann gilt:
�1·�2= (�21+�21)·(�22+�22) = (�1�2−�1�2)2+ (�1�2+�1�2)2 Setze also�:=�1�2−�1�2und�:=�1�2+�1�2und es gilt�1·�2=�2+�2. Satz 3.15 (Fermat)
Sei�∈Z>0 eine ganze Zahl. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
(a) Es gibt(�� �)∈Z2mit�2+�2=�, d.h., n ist Summe von zwei Quadraten;
(b) Für jede Primzahl�mit �|�und�≡3 (mod 4)ist��(�)gerade.
Anders gesagt: Die diophantische Gleichung X2+Y2=�hat genau dann eine Lösung, wenn �eine Primfaktorzerlegung der Form
�= 2α�α11· · ·�α�� ·�2β1 1· · ·�2β� �
besitzt mitα∈Z≥0, Primzahlen��≡1 (mod 4)und�� ≡3 (mod 4), undα�� β� ∈Z>0für alle1≤�≤� (�∈Z≥0) und für alle1≤� ≤� (�∈Z≥0).
Beweis :
(a)⇒(b): Sei�Summe zweier Quadrate, etwa�=�2+�2 mit�� �∈Zund wir nehmen an, dass es eine Primzahl�∈Pgäbe mit�|�,�≡3 (mod 4)und��(�)ungerade. Zudem können wir annehmen, dass�minimal mit dieser Eigenschaft ist. Wir unterscheiden zwei Fälle.
· 1. Fall:�|�. Wegen�|�gilt auch�|�und sogar�2|�2,�2|�2, und daher�2|�. Aber dann ist auch
��2 =��
�
�2
+��
�
�2
Summe zweier Quadrate mit1≤��
��
�2
�=��(�)−2ungerade, im Widerspruch zur Minima- lität von�.
· 2. Fall:�-�. Wegenggt(�� �) = 1ist[�]∈(Z/�Z)× (eine Einheit). Also existiert� ∈Zmit
�·�≡1 (mod�)und damit ist
1 + (��)2≡(��)2+ (��)2=�2(�2+�2) =�2�≡0 (mod�)� Damit gilt
(��)2≡(−1) (mod�)�
Es folgt dann aus dem Satz von Fermat 3.12, dass�≡1 (mod 4). Widerspruch!
(b)⇒(a): Wir nehmen nun an, dass für jede Primzahl�mit�|�und�≡3 (mod 4)die Zahl��(�)gerade ist. Dann hat�eine Primfaktorzerlegung der Form
�= 2α�α11· · ·�α��·�2β11· · ·�2β� �
(wie oben). Nach dem Satz von Fermat 3.12 sind�1� � � � � ��jeweils Summe zweier Quadrate. Ebenso 2 = 12+ 12. Zudem ist auch
�2β11· · ·�2β� �= (�β11· · ·�β��)2+ 02
Summe zweier Quadrate. Somit ist�das Produkt von Zahlen, die jeweils Summe zweier Quadrate sind, und ist damit selbst Summe zweier Quadrate nach Lemma 3.14.
13 Existenz unendlich vieler Primzahlen � mit � ≡ 1 (mod 4)
Zum Abschluss dieses Kapitels wollen wir noch zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen�∈Pmit
�≡1 (mod 4)gibt.
Dazu brauchen wir dieReduktion modulo�von Polynomen inZ[X], d.h. der Ringhomomorphismus
Φ�: Z[X] −→ (Z/�Z)[X]
� =��
�=0��·X� �→ Φ�(�) :=��
�=0[��]·X�.
Anmerkung 3.16
Außerdem brauchen wir auch die Tatsache, dass für ein Polynom� ∈Z[X]mitdeg(�)≥1und�∈Z gilt:
#{�∈Z|�(�) =�}≤deg(�)
Dies gilt sicherlich inQ[X], daQein Körper ist, also auch inZ. (Siehe AGS.) Satz 3.17
Sei� ∈Z[X]mit deg(�)≥1beliebig. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen�∈P, so dass die ReduktionΦ�(�)∈(Z/�Z)[X]von� modulo�eine Nullstelle in(Z/�Z)besitzt.
Beweis : Dadeg(�)≥1ist, hat� die Form�=��
�=0��·X� mit�≥1,��∈Z(0≤�≤�)und���= 0.
1. Fall: � besitzt eine Nullstelleα inZ. Dann ist offensichtlich die Restklasse[α]∈Z/�Zeine Nullstelle vonΦ�(�)für jede Primzahl�∈P. Die Behauptung folgt also aus|P|=∞.
2. Fall: � besitzt keine Nullstelle inZ. Insbesondere ist dann�0=�(0)�= 0.
Wir zeigen nun per Induktion, dass es Primzahlen �� ∈ P (� ∈ Z>0) gibt, so dass Φ��(�) eine Nullstelle inZ/��Zbesitzt. Für�= 0ist dies trivial. Seien also�1� � � � � ��∈P(�∈Z≥0) gefunden, so dassΦ��(�)eine Nullstelle inZ/��Z∀1≤�≤� besitzt. Dann betrachten wir das Polynom
��:=�
�
�0·��
�=1
��·X
�
∈Z[X]�
(Für�= 0ist das Produkt der��gleich1.) Es gilt
�=�0·� mit
�=��
�=0��·X� ��� ��=��−10 ·(��
�=1��)�·��∈Z ∀1≤�≤��
Also ist�� ein Polynom, bei dem jeder Koeffizient durch�0�= 0teilbar ist, so dass�= �10��∈Z[X]
mit konstantem Term1ist. Nach Anmerkung 3.16 gibt es nun ein�∈Z, so dass�(�)∈/ {−1�0�1}.
Sei also�eine Primzahl mit�|�(�), d.h.
Φ�(�)([�]) = [�(�)] = [0]∈Z/�Z� Dann gilt
Φ�(�)([�0·��
�=1
��·�]) = [�0]·Φ�(�)([�]) = [�0]·[0]∈Z/�Z�
Damit hat � modulo� dann ebenfalls eine Nullstelle. Da alle Koeffizienten von � (bis auf den konstanten Term) durch��für alle1≤�≤�teilbar sind, gilt��=��für alle1≤�≤�.
Folgerung 3.18
Es gibt unendlich viele Primzahlen�∈Pmit �≡1 (mod 4).
Beweis : Nach Satz 3.17 gibt es unendlich viele Primzahlen�, so dassX2+ [1]∈Z/�Z[X]eine Nullstelle inZ/�Zhat. Aus dem Satz von Fermat (Satz 3.12) folgt dann, dass es unendlich viele Primzahlen�mit
�≡1 (mod 4)gibt.
Anmerkung 3.19
Die Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen� ∈ P mit � ≡ 3 (mod 4)gibt ist einfacher zu beweisen:
Beweis : Sei P die Menge der Primzahlen der Form4�+ 3 (� ∈ Z). Wegen 3∈ P ist P �= ∅. Wir nehmen an, dassQ={�1� � � � � ��}⊆P eine endliche Teilmenge ist. Betrachte die Zahl
�:= 4�1· · ·��−1 = 4(�1· · ·��−1) + 3�
Sei also�1· · ·�� eine Primfaktorzerlegung von�. Da� ungerade ist, müssen auch alle Primteiler von�ungerade sein. Daraus folgt, dass für1≤�≤�entweder��≡1 (mod 4)oder��≡3 (mod 4) ist. Wäre��≡1 (mod 4)für alle1≤�≤�, so gelte inZ/4Z:
[�] = [�1· · ·��] = [�1]· · ·[��] = [1]· · ·[1] = [1]�
da[1]das Einselement von Z/4Zist. Damit wäre� ≡1 (mod 4): Widerspruch. Also existiert eine Primzahl�mit�|�und�= 4�+ 3. Aber��-�für�= 1� � � � � �, also�∈P\Q. Daher istQeine echte Teilmenge vonP, undPnotwendig unendlich.
