Die Sätze von Euler und Fermat

(1)

Die Sätze von Euler und Fermat

Wir können nun die ersten „großen Sätze“ über Kongruenzen zeigen. Wir be- ginnen mit:

Satz (Satz von Euler)

Sei m≥1, und sei a teilerfremd zu m. Dann gilt a^ϕ(m);1 mod(m).

Beweis

Seien wieder 1 = r₁<…<r_ϕ(m)≤m die zu m teilerfremden Zahlen zwischen 1 und m. Nach dem Umordnungssatz für Reste gilt

r1⋅r2⋅…⋅rϕ(m) ; ar1⋅ar2⋅…⋅arϕ(m) (m).

Die Zusammenfassung der a-Faktoren auf der rechten Seite liefert r1⋅r2⋅…⋅rϕ(m) ; a^ϕ(m)r1⋅r2⋅…⋅rϕ(m) (m).

Da alle Zahlen r₁, …, r_ϕ(m)teilerfremd zu m sind, können wir sie nach der Kürzungsregel alle kürzen, sodass

1 ; a^ϕ(m) (m).

Beispielsweise gilt 3⁴;1 (10), daϕ(10) = 4 und (3, 10) = 1. Nachrechnen zeigt, dass 3⁴= 81;1 (10).

Aus dem Satz von Euler ergeben sich zahlreiche weitere Ergebnisse. Eines da- von ist:

Korollar (Satz von Fermat)

Sei p prim, und sei a kein Vielfaches von p. Dann gilt a^{p − 1};1 mod(p).

Beweis

Da a kein Vielfaches von p und p eine Primzahl ist, sind a und p teilerfremd.

Wegenϕ(p) = p − 1 ergibt sich die Aussage aus dem Satz von Euler.

Der Satz von Fermat ist also der Spezialfall des Satzes von Euler für einen Primzahlmodul.

Bemerkung

Oft wird der Satz von Fermat auch so formuliert:

Für alle Primzahlen p und alle ganzen Zahlen a ist a^p;a (p).

Diese Formulierung ist äquivalent zur Formulierung des Korollars: Denn ist a ein Vielfaches von p, so ist a^p;0;a (p). Sei also a kein Vielfaches von p. Dann gehen die Kongruenzen der beiden Versionen durch Multiplika- tion mit a bzw. Kürzen von a ineinander über.

(2)

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 4 8 6 2 4 8 6 2

1 3 9 7 1 3 9 7 1 3

1 4 6 4 6 4 6 4 6 4

1 5 5 5 5 5 5 5 5 5

1 6 6 6 6 6 6 6 6 6

1 7 9 3 1 7 9 3 1 7

1 8 4 2 6 8 4 2 6 8

1 9 1 9 1 9 1 9 1 9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1

1 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1

1 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1

1 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1

1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1

1 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1

1 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1

1 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1

1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1 2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tabelle der Potenzen a^kmodulo 10 für a, k = 0, …, 9;ϕ(10) = 4

Tabelle der Potenzen a^kmodulo 11 für a, k = 0, …, 10; ϕ(11) = 10

(3)

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 4 8 16 10 20 18 14 6 12 2 4 8 16 10 20 18 14 6 12 2

1 3 9 5 15 1 3 9 5 15 1 3 9 5 15 1 3 9 5 15 1 3

1 4 16 20 14 12 4 16 20 14 12 4 16 20 14 12 4 16 20 14 12 4

1 5 3 15 9 1 5 3 15 9 1 5 3 15 9 1 5 3 15 9 1 5

1 6 14 18 20 10 16 8 4 2 12 6 14 18 20 10 16 8 4 2 12 6

1 7 5 13 3 21 15 17 9 19 1 7 5 13 3 21 15 17 9 19 1 7

1 8 20 6 4 10 14 2 16 18 12 8 20 6 4 10 14 2 16 18 12 8

1 9 15 3 5 1 9 15 3 5 1 9 15 3 5 1 9 15 3 5 1 9

1 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 12 10 1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

1 13 15 19 5 21 9 7 3 17 1 13 15 19 5 21 9 7 3 17 1 13

1 14 20 16 4 12 14 20 16 4 12 14 20 16 4 12 14 20 16 4 12 14

1 15 5 9 3 1 15 5 9 3 1 15 5 9 3 1 15 5 9 3 1 15

1 16 14 4 20 12 16 14 4 20 12 16 14 4 20 12 16 14 4 20 12 16

1 17 3 7 9 21 5 19 15 13 1 17 3 7 9 21 5 19 15 13 1 17

1 18 16 2 14 10 4 6 20 8 12 18 16 2 14 10 4 6 20 8 12 18

1 19 9 17 15 21 3 13 5 7 1 19 9 17 15 21 3 13 5 7 1 19

1 20 4 14 16 12 20 4 14 16 12 20 4 14 16 12 20 4 14 16 12 20

1 21 1 21 1 21 1 21 1 21 1 21 1 21 1 21 1 21 1 21 1 21

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

Die Tabellen besitzen zahlreiche interessante Eigenschaften und der Leser mag versuchen, einige Hypothesen zu formulieren und zu beweisen. Die Po- tenzbildung a^kmodulo m wirft zudem sehr schwierige Fragen auf. Wir betrachten hierzu die auf der Menge { p | p prim, p≠2, 5 } definierte Funktion f mit f(p) = „das kleinste k≥1 mit 10^k;1 mod(p)“ für alle Primzahlen p≠2, 5.

Die Zahl f(p) ist die Länge einer Minimalperiode der Dezimalbruchentwicklung von 1/p (Übung). Zum Beispiel ist

1/7 = 0,1428571 f(7) = 6

1/11 = 0,09 f(11) = 2

1/17 = 0,0588235294117647 f(17) = 16

Es ist ein offenes Problem, ob es unendlich viele Primzahlen p mit der Eigen- schaft f(p) = p − 1 gibt. Die ersten p mit ultralangen Perioden sind

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193

(4)

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 4 8 16 9 18 13 3 6 12 1 2 4 8 16 9 18 13 3 6 12 1

1 3 9 4 12 13 16 2 6 18 8 1 3 9 4 12 13 16 2 6 18 8 1

1 4 16 18 3 12 2 8 9 13 6 1 4 16 18 3 12 2 8 9 13 6 1

1 5 2 10 4 20 8 17 16 11 9 22 18 21 13 19 3 15 6 7 12 14 1

1 6 13 9 8 2 12 3 18 16 4 1 6 13 9 8 2 12 3 18 16 4 1

1 7 3 21 9 17 4 5 12 15 13 22 16 20 2 14 6 19 18 11 8 10 1

1 8 18 6 2 16 13 12 4 9 3 1 8 18 6 2 16 13 12 4 9 3 1

1 9 12 16 6 8 3 4 13 2 18 1 9 12 16 6 8 3 4 13 2 18 1

1 10 8 11 18 19 6 14 2 20 16 22 13 15 12 5 4 17 9 21 3 7 1 1 11 6 20 13 5 9 7 8 19 2 22 12 17 3 10 18 14 16 15 4 21 1

1 12 6 3 13 18 9 16 8 4 2 1 12 6 3 13 18 9 16 8 4 2 1

1 13 8 12 18 4 6 9 2 3 16 1 13 8 12 18 4 6 9 2 3 16 1

1 14 12 7 6 15 3 19 13 21 18 22 9 11 16 17 8 20 4 10 2 5 1 1 15 18 17 2 7 13 11 4 14 3 22 8 5 6 21 16 10 12 19 9 20 1

1 16 3 2 9 6 4 18 12 8 13 1 16 3 2 9 6 4 18 12 8 13 1

1 17 13 14 8 21 12 20 18 7 4 22 6 10 9 15 2 11 3 5 16 19 1

1 18 2 13 4 3 8 6 16 12 9 1 18 2 13 4 3 8 6 16 12 9 1

1 19 16 5 3 11 2 15 9 10 6 22 4 7 18 20 12 21 8 14 13 17 1 1 20 9 19 12 10 16 21 6 5 8 22 3 14 4 11 13 7 2 17 18 15 1 1 21 4 15 16 14 18 10 3 17 12 22 2 19 8 7 9 5 13 20 6 11 1 1 22 1 22 1 22 1 22 1 22 1 22 1 22 1 22 1 22 1 22 1 22 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

20 40 60 80 100

100 200 300 400 500

Werte der Funktion g mit g(n) = mink≥1(10^k;1 (pn)) mit der n-ten Primzahl pn≠2, 5.

Stellen n mit g(n) = pn− 1 sind rot markiert.

(5)

Lösen von Kongruenzen ersten Grades

Aus dem Satz von Euler erhalten wir eine Lösungsformel für Kongruenzen:

Satz (Lösung von Kongruenzen ersten Grades, I)

Sei m≥1. Weiter seien a, bPZmit (a, m) = 1. Dann existiert modulo m genau eine Zahl x mit

a x ; b mod(m).

Genauer gilt

x ; a^{ϕ(m) − 1}b mod(m). (Lösungsformel für Kongruenzen ersten Grades) Beweis

zur Existenz:

Wir setzen x = a^{ϕ(m) − 1}b. Dann gilt nach dem Satz von Euler:

a x ; a a^{ϕ(m) − 1}b ; a^ϕ(m)b ; 1 b ; b (m).

zur Eindeutigkeit modulo m:

Seien x1, x2Zahlen mit ax1;b (m) und ax2;b (m). Dann gilt ax1;ax2(m).

Wegen (a, m) = 1 gilt x₁;x₂(m) nach der Kürzungsregel.

Wir betrachten ein Beispiel für die Anwendung der Lösungsformel.

Beispiel

Wir lösen die Kongruenz 3x ; 5 (11).

Natürlich können wir alle Möglichkeiten x = 0, …, 10 durchprobieren. Da aber a = 3 und m = 11 teilerfremd sind, ist die Lösungsformel anwendbar.

Es giltϕ(11) = 10. Wir setzen also x = 3^{ϕ(m) − 1}b = 3⁹5.

Um eine Lösung im Intervall 0, …, 10 zu erhalten, ist es nicht nötig, 3⁹5 auszurechnen. Wir können x mit Hilfe der Kongruenzregeln schrittweise verkleinern, ohne große Zahlen berechnen zu müssen:

x ; 3⁹5 ; (3³)³5 ; 27³5 ; 5³5 ; 5⁴ ; (25)² ; 3² ; 9 (11).

Damit ist 9 die eindeutige Lösung der Kongruenz im Zahlenintervall von 0 bis 10. Zur Probe rechnen wir

3⋅9 ; 27 ; 5 (11).