, I SC=(short circuit) Kurzschlussstrom, U OC=(opencircuit) Leerlaufspannung,I A=Arbeitspunktstrom und

1 Übungsblatt Photovoltaik

1.1 (Begriserklärungen)

Es sinddiefolgenden Begrie zu erläutern:

Leerlaufspannung : FürdieLeerlaufspannung istder Strom

I = 0

^.

Kurzschlussstrom: Fürden Kurzschlussstrom ist dieSpannung

U = 0

^.

Füllfaktor:

F F = _{I SC} ^{I A} _· ^· _U ^{U A} _OC ,

^mit

F F

=Füllfaktor

, I _SC

^{=(short circuit)} Kurzschlussstrom

, U OC

^{=(opencircuit)} Leerlaufspannung,

I A

=Arbeitspunktstrom und

U _A

=Arbeitspunktspannung.

Wirkungsgrad:

η = _P ^{P el}

Licht

, der Wirkungsgrad beschreibt das Verhältnis zwischen der

Leistungan Licht,dieauf dieSolarzelleeinfällt zuder Leistung, diemanals

Strom ausdieser gewinnt, wobei

P _Licht

^die einfallende Lichtleistung und

P _el

dieelektrische ausderSolarzellegezogene Leistung beschreibt.

Parallelwiderstand: Ein Parallelwiderstand

R p

^{ist parallel zu einem bereits vorhan-}

denen Widerstand. Der Parallelwiderstand kommt durch Rekombinationen

innerhalb der Solarzelle zustande. Durch den Widerstand

R _p

^{teilt sich der}

Strom aufdiesen unddenWiderstand

R _L

(Widerstand ausdemStromkreis) auf,wobeisomitderStrom an

R L

^{kleinerwird,somitalsoauchdieLeistung.}

Serienwiderstand: EinSerienwiderstand

R s

^isthintereinander geschaltetzueinem be- reits vorhandenen Widerstand. Dieser kommt durch z.B. Kontaktprobleme

bzw.schlechte Leitfähigkeitzustande.DieSpannungteiltsichauf

R _s

^und

R _L

auf,womit dieSpannung an

R L

^{kleiner wird, somitalso auch dieLeistung.}

1.2 (Sonne als Schwarzkörper)

DasPlancksche Gesetz für den ächennormiertenPhotonenstrom, derpro Energieinter-

vallvon einem schwarzenStrahler abgegeben wird,lautet:

n (E) = 2π c ² h ³

E ²

exp _kT ^E − 1 .

⁽¹⁾

WirbetrachtendieDimension, diese ergibt sichzu:

[n (E)] = J ²

m ²

s ² J ³ s ³ = 1 J s

1

m ² .

r E

r S 0

d SE

r _S Ω

Es istderFaktor zubestimmen, umdensichderdieErde erreichende Photonenstrom

verringert.DerAbstandzwischenErdeundSonnebeträgt

d SE = 150 · 10 ⁶ m

^.Wirnehmen

dieSonne alsradialsymmetrisch abstrahlendeidealisiertePunktquellefürdenPhotonen-

stroman. DerSonnenradius spielt für den Photonenstrom nur indem Sinneeine Rolle,

dassbereitsaufderOberäche derSonne, imBezugzur idealisierten Punktquelle, nicht

mehr der volle Photonenstrom existiert den man an einer punktförmige Quelle messen

kann, diesen denieren wir als

n 1 = _A ^N

1 = 1 ⇔ N = A 1

^{, mit}

N

^{der Gesamtzahl an}

Photonen und

A 1

^{der Kreisäche bei}

r S 0

^{, der} Sonnenoberäche. Wir können nun den Raumwinkel des Photonenstromes ausschneiden der die Fläche der Erde trit (Siehe

hierzu auch dieSkizze).Überdiesen Winkelkönnen wir

r _S 0

^{bestimmen. Esergebensich}

also folgendeGleichungen:

tan Ω = r _E d SE

tan Ω = r _S 0

r S

Hieraus folgt

r _S 0 = ^r _d ^S _SE ^{· r E}

(alternativ geht das auchschneller überdie Strahlensätze).

Wir können die Fläche eines Kreises mit

A = πr ²

^{berechnen. Für den} Photonenstrom (Dichte derPhotonen pro Fläche und Zeit, wobei wir die Zeitauf

1s

^{normieren, womit}

diese nicht weiter betrachtet werden muss) gilt also

n = ^N _A

^{, oben haben wir bereits}

N = A 1

^{deniert, damit folgt für}

n 2

^demPhotonenstrom der dieErde erreicht:

n 2 = N A 2

= A 1

A 2

= πr ² _S 0

πr _E ² =

r _S · r _E d _SE

² 1

r _E ² = r _S ² d ² _SE .

Da

n 1 = 1

^{ist,folgtfür dasVerhältnis}

δ = ⁿ _n ²

1 = n 2

^{.AlsZahlwert erhaltenwir:}

δ = 2, 15 · 10 ⁻⁵ .

DieDimensionvon

(1)

^ist

_{J s} ¹ _m ¹ ₂

^{,wirmöchteneineLeistungpro}Quadratmeterberechnen, zuerst integrieren wir

(1)

^{über das gesamte} Energieintervall, hieraus erhalten wirein

J

für dieDimensionsbetrachtung, dawirjedoch hiermit keineLeistung pro Quadratmeter

erhalten,müssenwirnochmit

E

^multiplizieren, wirerhaltenalsofürdieBerechnungder abgestrahltenLeistung proQuadratmeter:

P _emitted,S = Z ∞

0

n (E) E dE = 2π c ² h ³

Z ∞

0

dE E ³

exp _kT ^E − 1 = 2π c ² h ³ · π ⁴

15 k ⁴ T ⁴

!

= 2π ⁵ k _B ⁴ T ⁴ 15c ² h ³ .

Dies liefert ein Ergebnis mit

P _emitted,S = 6, 23018 · 10 ⁷ _m ^W ₂

^{(Wobei wir}

T = 5762 K

angesetzthaben,s. auch mathematica printoutim Anhang).

Um die mittlere Leistungpro Quadratmeter zu erhalten, müssen wir nur mit demin

Aufgabenteila) berechnetenFaktor

δ = 2, 15 · 10 ⁻⁵

multiplizieren und wirerhalten:

P incoming,E = 6, 248 · 10 ⁷ · δ W

m ² = 1345, 17 W

m ² = 1, 35 kW m ² .

c)

Es istdiemittlere Leistungohne Berücksichtigung der Atmosphäre (d.h. wirbetrachten

AM 0

^{), die in} Deutschland (ca. 50. Breitengrad) ankommt zu bestimmen. (Skizze zum einfacheren pstricksen mit

45 ^◦

⁾

Erde Sonnenstrahlen

Wir erhaltenim Gegensatz zum Äquator,wo derAuftrewinkel

0 ^◦

^{beträgt durch die}

gekrümmteFormderErde beim50.Breitengradeineverringerte Leistung,imGegensatz

zumFall miteinerAtmosphäre isthiernichtderEinuss dererhöhtenzudurchdringen-

den Airmassentscheidend sondern der geometrische Aspekt.Wir können zur Vereinfa-

chung eineTangente andie50.Breitengrad-Linielegen (korrekter könntemanaucheine

dochkeinenmessbarenUnterschiedliefernsollte)unddanndenparallelenPhotonenstro-

manteilberechnen, ausdem wirdie Leistungerhalten, bzw. wenn wirden prozentualen

Anteilberechnethaben, können wirdiesdirekt aufdie mittlereLeistung übertragen.

Aus der Geometrie (siehe Skizze von Hand) erhält man für die

x

-Komponente

x = 0, 766

^{undfür die}

y

-Komponente

y = 0, 643

^{. Wirmüssen also unsereLeistung nur noch}

mit dem

y

^-Faktor multiplizieren, wirerhalten hiermit

P _inc,E, 50 ◦ = 865 _m ^W ₂

^.

Im Vergleich zum Wert mit derBerücksichtigung derAtmosphäre von

115 _m ^W 2

^{ist der}

gefundene Wert viel höher, d.h. die Atmosphäre bzw. Airmass schirmt einen groÿen

Teil der Strahlung ab (durch den längeren Weg im Gegensatz zum Äquator fällt dies

noch mehr ins Gewicht, wenn maneine Atmosphäre besitzt), daher ist esauch sinnvoll

SatellitenundRaumstationenoderallgemeinRaumfahrzeuge mitTechnik auszustatten,

dieEnergie ausderStrahlung derSonne umsetzen kann.

d)

InHalbleiternexistiertzwischenValenzbandundLeitungsbandeineverboteneZone,die

Breite dieser Zone wird als

E _g

^{Gap bzw. Bandlücke} bezeichnet. Solarzellenkönnen nur Energie aufnehmen, die gröÿer als

E g

^{ist, da die Elektronen die verbotene Zone über-}

winden müssen. Da der die Gröÿe des Gaps gleichzeitig ein Limit für die erreichbare

Spannung darstellt,kanneineSolarzelleniemals 100%derLeistungausderSonnenener-

gie umsetzen. Es ist ausGleichung

(1)

^{zu zeigen, dass die optimale Bandlücke}

1, 08 eV

beträgt.

Das allgemeineVorgehen sieht zum FindenvonExtrema dieAbleitung unddasNull-

setzen vor, wobei in diesem Falle sinnvollerweise nach

E

^{abgeleitet werden müsste, da}

dersichergebende Termjedochwederalgebraischnochsinnvollnumerischgelöstwerden

kann,scheint derWeg nicht angebracht.

Die aufderErdevorhandeneoptimale Bandlücke beträgt

1, 3 eV

^{dieswirdvermutlich}

verschiedeneGründehaben,einigemöglicheGründesindEektewiedieNichtabsorption

von Photonen oder die Rekombination von Elektronen mit Löchern. Andere Gründe

bietet z.B. die Atmosphäre, wobei diese bestimmte Wellenlängen (Energien) bevorzugt

ltert (da die Resonanzschwingungen der Gasmoleküle in der Atmosphäre die gleiche

Frequenzhaben [

λν = c

^{Frequenz ~W}ellenlänge]).

Es ist der Wirkungsgrad der Solarzelle aus Aufgabenteil d) zu bestimmen, wenn jedes

eintreendePhotoneinElektronerzeugt,wobei

1.58 · 10 ²⁶

^PhotonenproQuadratmeter und Sekunde mit der Energie gröÿer als

1, 08 eV

^{absorbiert werden. Die Denition des}

Wirkungsgrades

η

^lautet:

η = P _el P Licht

.

Die einfallende Lichtleistung beträgt (sieheAufgabenteilc)ohneAtmosphäre undge-

rundet)

P _Licht = 1 ^kW _{m 2}

^{.Für dieLeistungderPhotonen über}

1.08 eV

^{nden wir:}

P _el = 1.58 · 10 ²⁶ · 1.08 eV = 2, 734 · 10 ⁷ W m ² .

DiesstellteinenWiderspruch dar,dadieeinfallendeLeistunggeringeristalsdieLeis-

tung, dieaus demProzess gezogen wird,d.h. die einfallende Leistungmuss gröÿer sein.

Leider lässtsichsokein sinnvoller Wirkungsgradbestimmen.

Warum der reale Wert soviel kleiner ist als der hier berechnete lässt sich dadurch

beantworten,dassmanwiebeiAufgabenteild)diegleichenProblemeausarbeitet,sowird

bestimmt Rekombination auftreten und zudem ist die Idealisierung, dass jedes Photon

einElektron erzeugt mit Vorsicht zu genieÿen, da dieWahrscheinlichkeit hierfür nicht

100%beträgt.

f)

Der Jahresenergieverbrauch Deutschlands beträgt etwa

10 ²⁰ J

^{(ca. 20% Strom). Es ist}

zu berechnen, ob beieiner Dachäche von

A = 1000 km ²

^und Solarzellen mit

30%

^igem

Wirkungsgrad der Stromverbrauch Deutschlands gedeckt werden kann. Die einfallende

Leistung pro

m ²

^beträgt

P Licht = 1 ^kW _{m 2}

^{(siehe erste Vorlesung). Wir berechnen zuerst}

die Zeit, inder dieLeistung wirkt, wobeiwir einJahr betrachten, dies entspricht

1 a = 365 d = 365 · 24 h = 365 · 24 · 60 min = 365 · 24 · 60 ² s

^{alsohabenwireine}Wirkungsdauervon

t _ideal = 3.1536 · 10 ⁷ s

^.RealistischerscheinteinWertvonca.derHälfteodereinemDrittel, daaufGrundvonWolkenoderauchdurchdieNachtnichtdievolleZeitdurchgehenddie

Solarzellenmit maximaler Leistungsausbeutegefahrenwerdenkönnen. Wirkönnen also

vereinfachend

t _wirk = 10 ⁷ s

^{annehmen.Für dieLeistung, die wirauseinem}

m ²

^erhalten

nden wir durch die

30%

^{ige Ausbeute, bzw. durch den} Wirkungsgrad eine Leistung

P _wirk = 0, 3 · 10 ³ _m ^W ₂

^{.DieFlächediezur}Energieumsetzung benutztwerdenkannbeträgt

A = 10 ⁹ m ²

^{.FürdieerzeugteEnergie im Jahrerhaltenwir also:}

E = P _wirk · A · t _wirk = 3 · 10 ¹⁸ J.

DieSolarzellenkönnenalso,wennalleDächereingedecktwärenca.

3%

^desEnergiever- brauchesDeutschlands decken. Bezieht mandies nur aufden Stromverbrauch,soerhält

maneinen Wertvon ca.

15%

^.

Unser Ziel ist es nun die Stromversorgung Deutschland durch Solarzellen sicherzustel-

len, wobeiwirdieEnergie-Speicherung überWasserstowählen, hierbei treten folgende

Wirkungsgrade auf:

η Elektrolyse = 0, 9

^,

η Brennstof f zelle = 0, 6

^,

η verf luessigung = 0, 8

^und

η _solarzelle = 0, 3

^{,welchezuVerlustenführen.WirmüsseneineEnergievon}

E Deutschland = 10 ²⁰ J

^{erreichen,wobeinurderParameter}

A

^{variiertwerdendarf.Fürdieneue Leistung,}

die durch dieEnergiespeicherung vermindert wird, erhalten wir

P = η all · P Licht

^,wobei

η _all

^alleWirkungsgrade vereint,wirerhaltenals Zahlwert

P = 129, 6 _m ^W ₂ .

^{Wirstellendie}

Gleichung

E = P At _wirk

^nach

A

^{umundsetzen ein:}

A = E

P t _wirk = 10 ²⁰

129, 6 · 10 ⁷ m ² = 7, 7 · 10 ¹⁰ m ² ,

Dies entspricht einer Fläche von

77160 km ²

^{, wobei die} Bundesrepublik Deutschland eineStaatsächevon

357093 km ²

^{besitzt,dieswürdealsoca.}

21, 6%

^{dergesamtenStaats-}

äche entsprechen.