Lineare Algebra I 12. Übungsblatt
Fachbereich Mathematik WS 2010/2011
Prof. Dr. Kollross 26. Januar 2011
Dr. Le Roux
Dipl.-Math. Susanne Kürsten
Gruppenübung
Aufgabe G1
Betrachten Sie die folgenden Abbildungenφ:R3→R2. Welche davon sind linear? Bestimmen Sie gegebenenfalls die zugehörige Matrix[φ](bezüglich den Standardbasen).
(a)
x y z
7→
5x+3y
−2z
(b)
x y z
7→
y x z x
(c)
x y z
7→
1 0
(d)
x y z
7→
x x
(e)
x y z
7→
|x|
|y|
(f)
x y z
7→
(x−1)2+3z−(x+1)2 p4(z+1)2+ (2z−2)2−8
Lösung:
(a) Ja.
5 3 0 0 0 −2
(b) Neinφ(1, 1, 1) = (1, 1)undφ(2, 2, 2) = (4, 4)6=2·(1, 1).
(c) Neinφ(0, 0, 0) = (1, 0)6= (0, 0).
(d) Ja
1 0 0
1 0 0
(e) Nein.φ(1, 0, 0) = (1, 0) =φ(−1, 0, 0)6=−(1, 0). (f) Ja
−4 0 3
0 0 2p
2
Aufgabe G2
Sei Aeine m×n-Matrix mit Einträgen in K. Zeigen Sie, Aist genau dann invertierbar, wenn die lineare Abbildung φA:Kn→KmmitφA(x) =Axbijektiv ist.
1
Lösung:
• Angenommen, dassAinvertierbar ist.φA−1(φA(x)) =A−1(Ax) =E x=x. Eben soφA(φA−1(x)) =AA−1x=E x=x.
Daraus folgt, dassφAbijektiv ist, und(φA)−1=φA−1.
• Angenommen, dassφAinvertierbar ist. Es gilt, dass(φA)−1auch linear ist. (Es wurde schon gezeigt.) Daraus folgt, dass es eine MatrixB gibt, mit(φA)−1=φB. Für allex gilt dannφB(φA(x)) =x. SomitBAx=x. Man verwendet diese Gleichung mit x = (1, 0, . . . , 0), mit x = (0, 1, 0, . . . , 0)u.s.w. Daraus leitet man her, dass die Spalten der MatrixBAgenau die Spalten vonEsind. SomitBA=E. Daraus folgt, dassAinvertierbar ist undA−1=Bgilt.
Aufgabe G3
Wir betrachten H om(Kn,Km)im Spezialfall m= 1. Wir definieren den Dualraum vonKn, als die Menge der linearen AbbildungenKn→Kdurch(Kn)∗=H om(Kn,K)
(a) Zeigen Sie, dassd im(Kn)∗=n.
(b) Zeigen Sie: zu jeder Basis(vi)vonKngibt es (eindeutig bestimmt) Elementew1, . . . ,wn∈(Kn)∗mitwi(vj) =δi j, wobeiδii=1undi6= j⇒δi j=0.
(c) Zeigen Sie: für jede Basis(vi)vonKnsind die Elementew1, . . . ,wnwie in(b)linear unabhängig und damit eine Basis von(Kn)∗. Bemerkung:w1, . . . ,wnheißt die zuv1. . . ,vnduale Basis von(Kn)∗.
Lösung:
(a) Allgemeind im H om(Kn,Km) =mn. In diesem Spezialfall gilt esd im(Kn)∗=n.
(b) für allei, es gibt genau eine Abbildung, damitwi(vj) =δi j (Satz 5.1.9).
(c) SeiP
1≤i≤nαiwi=0(die Null-Abbildung). Für alle jgilt dannP
1≤i≤nαiwi(vj) =P
1≤i≤nαiδi j =αj=0. Daraus folgt, dass diewi unabhängig sind. Außerdem gibt esnVektorenwj in einemn-dimensional Vektorraum, deshalb sind diewjeine Basis von(Kn)∗.
Aufgabe G4
Die Komplexe Zahle x+ y i wird durch (x,y) dargestellt. Sind die drei Vektoren ((1, 0),(0, 0)), ((0, 1),(0, 0)) und ((0, 0),(1, 0))linear unabhängig?
Lösung: Als Vektoren vonC2, sind sie linear abhängig, weil(0, 1)·((1, 0),(0, 0)) = ((0, 1),(0, 0)). Als Vektoren vonR4, sind sie linear unabhängig.
Hausübung
Aufgabe H1
Beweise, dass eineC-lineare AbbildungA:C→Cgerade einer Multiplikation mit einer komplexen Zahl entspricht.
Bestimme die Matrixdarstellung der Multiplikation mit einer Zahlc=a+i b.
Lösung:SeiA:C→CeineC-lineare Abbildung. Seic:=A1. Dann giltAx=A(x1) =xA1=c x.
(a+i b)(1+0i) =a+i b und (a+i b)(0+i) =−b+ia.
Also: Die Matrixdarstellung vonB:z7→(a+i b)zist
a −b b a
Aufgabe H2
Gegeben sind die Vektoren
v1=
1 2 0
, v2=
1
−1 0
, v3=
0 0 1
, v4=
4 2 2
und w=
2 3 5
und die lineare Abbildungϕ:R3→R3mit
ϕ(v1) =
0 1 0
, ϕ(v2) =
1 2 3
und ϕ(v3) =
2
−1 7
. (a) Zeigen Sie, daß die Vektorenv1,v2undv3eine Basis desR3bilden.
2
(b) Berechnen Sieϕ(v4).
(c) Geben Sie einen Vektorv5mitϕ(v5) =wan.
Lösung:
(a) Die Bedingungαv1+βv2+γv3=0führt auf die Gleichungen
α+β=0, 2α−β=0, γ=0,
die nur fürα=β=γ=0lösbar sind. Damit sind die drei Vektoren linear unabhängig.
(b) Zuerst wirdv4als Linearkombinationv4=αv1+βv2+γv3der drei Basisvektoren aus (a) dargestellt, α+β=4, 2α−β=2, γ=2.
Mitγ=2,α=2undβ=2folgt
ϕ(v4) = ϕ(2v1+2v2+2v3) =2
ϕ(v1) +ϕ(v2) +ϕ(v3)
= 2
0 1 0
+
1 2 3
+
2
−1 7
=2
3 2 10
=
6 4 20
.
(c) Nun mußwals Linearkombinationw=αϕ(v1) +βϕ(v2) +γϕ(v3)der drei Bildvektoren dargestellt werden,
(1) β + 2γ = 2,
(2) α + 2β − γ = 3,
(3) 3β + 7γ = 5,
(4) = (3)−3(1) γ = −1.
Mitγ=−1,β=4undα=−6folgt
w=−6ϕ(v1) +4ϕ(v2)−ϕ(v3) =ϕ(−6v1+4v2−v3) =ϕ(v5),
also
v5=−6v1+4v2−v3=−6
1 2 0
+4
1
−1 0
−
0 0 1
=
−2
−16
−1
.
Aufgabe H3
SeiAdie reelle2×2–MatrixA=
−2 6
−2 5
.
(a) Fürλ∈RseiBλ=A−λE2. Berechne Werteλ1undλ2∈R, so dassdet(Bλ
i) =0. (Wobei die Determinante einer MatrixA=
a b c d
istdet(A) =ad−bc.)
(b) Finde Vektorenv1undv2, dieV1:=kerBλ1bzw.V2:=kerBλ2 erzeugen. Zeige, dassV die direkte Summe vonV1 undV2ist.
(c) Warum bilden die Vektorenv1,v2eine BasisB0?
(d) Die MatrixAbeschreibt eine lineare Abbildung bezüglich der Standardbasis. Berechne die Matrix dieser Abbildung bezüglich der neuen BasisB0.
Lösung:
(a) Es ist
detB=det
−2−λ 6
−2 5−λ
= (−2−λ)(5−λ) +12=λ2−3λ+2= (λ−1)(λ−2), alsoλ1=1undλ2=2.
3
(b) Um die Kerne zu bestimmen, erhält man mit Gauss–Jordan-Elimination
B1=
−3 6
−2 4
−3 6
0 0
andB2=
−4 6
−2 3
−4 6
0 0
.
Daher kann manv1=21undv2=32wählen.v1undv2sind linear unabhängig, daher istV1∩V2={0}und V1+V2=V. Also istV die direkte Summe vonV1undV2.
(c) Die Vektorenv1undv2sind linear unabhängig und bilden daher eine Basis.
(d) Die Übergangsmatrix von der Standardbasis zur BasisB0ist
S:=
2 3 1 2
.
Mit Hilfe von
S−1=
2 −3
−1 2
berechnet man die gesuchte MatrixA0als
A0=S−1AS=
1 0 0 2
.
4
