Mittlere Geschwindigkeit

3b 1D-Kinematik

2

Mittlere Geschwindigkeit

Schallgeschwindigkeit 330 m/s: Daumenregel Entfernung pro Kilometer drei Sekunden Sieht man zuerst den Blitz und hört dann den Donner

weil die Augen weiter vorn im Gesicht sind?

Ich vermute, die Schallgeschwindigkeit ist einfach höher als die Lichtgeschwindigkeit. Der Ton oft schneller da ist als das Bild, wenn man den Fernseher einschaltet.

Beschleunigung

t t

a _avg t

Δ

= Δ

−

= v − v v

1 2

1 2

Zeit / s

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3

Geschwindigkeit/ m/s

Mittlere

Beschleunigung a_avgist die Steigung der roten

Linie, d.h. 0.42 m/s²

a(t)

Einheit

Mittlere Beschleunigung

a

(t)

Δ v Δ t

[ ] _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^{⎤ =} _⎢⎣ ^{⎡ ⋅} _⎥⎦ ^{⎤ =} _⎢⎣ ^⎡ _⎥⎦ ^⎤

Δ

= Δ

s m s

1 s m t

v

a

4

Beschleunigung

2 2 0

v lim v

dt x d dt

dx dt

d dt

d a t

t

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ Δ =

= Δ

→ Δ

Zeit / s

1 2 3 5

Die Beschleunigung a ist die Steigung der blauen Linie zur Zeit t

v(t)

4 6 7

1 2 3

Geschwindigkeit / m/s

Die Beschleunigung ist ebenfalls eine Vektorgröße

( )

2 2

2

z y

x

z y x

a a

a a

,a ,a a a

+ +

=

= r

r

a r

Momentane Beschleunigung

Kurze Zusammenfassung

t x t

t

x x

avg

Δ

= Δ

−

= −

1 2

1

v

x

dt dx t

x

t

= = &

Δ

= Δ

→ Δ

lim

v

t t

a

t

Δ

= Δ

−

= v − v v

1 2

1

2

x

dt d a t

t

= = &&

Δ

= Δ

→

Δ 2

2 0

x lim v

Mittlere Geschwindigkeit Momentane Geschwindigkeit

Mittlere Beschleunigung Momentane Beschleunigung

0 v

=

= a

const

positiv a

const a

=

=

negativ a

const a

=

=

gebräuchliche Notation

6

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

t x

t v

t a

x(t)

v(t)

Steigung ändert sich

mit dx/dt

Steigung konstant dv/dt= konst.

a(t)

x₀

v₀

keine Steigung da/dt= 0

In diesem Fall kann man die Bewegung eines Teilchens wie folgt beschreiben:

Der Einfachheit halber beginnt das Experiment bei der Zeit t=0

t t

- a t

a

0

0

v - v v

-

v =

=

≡

+ at

= v

v

= a dt v

d v

v 0 ⇒ =

= t

t x-x t

- t

x-x

avg

0 0

v

v ≡ = =

t x

x =

+ v

x

dt

d = v

a konst:

v konst:

umstellen

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

at dt x

II ) d = v

+ (

+ at

= v

v

: (I) Gleichung

0 0

) (

v v )

(

) Gleichung

in (

0 l

Spezialfal

x x II

I

II I

t

=

⇒

=

⇒

+

=

t x

x =

+ v

0

0

v) v 2v v

2 (v

v

= 1 + ⇒ =

−

einsetzen in

+ at

=

−

avg

v v

2v

2 at v 1

v

=

+

für v einsetzen in

2 0

0

2 0

0

2 v 1

x x

2 v 1

x x

: (II) Gleichung

at t

at t

+

=

−

+ +

=

Was fällt auf?

In den Gleichungen werden fünf Variablen verwendet:

t, x, x

, v, v

, a

bis zu vier in jeder Gleichung

Definition der mittleren Geschwindigkeit

abhängig von t, x, x₀, a, v₀

unabhängig von v

8

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

Zeitinformation t nicht vorhanden

t, x, v, a, x ₀ , v ₀

+ at

= v

v

(I)

) (

2 v

v

(III) Gleichung

0 2

0

2

= + a x − x

2 0

0

2

v 1

(II) x = x + t + at

t ( v - a v

)

= a a

x a

x ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

=

(v - v

)

2

1 v

- v v

a x a

x

2 0

2 2

0 0

0

0

v - 2vv v

2 v 1

-

vv +

+ +

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

+

=

0

0

v

2 vv 1

- 2 v

v 1 - 1 vv

x a x

x a

x 2

v v

0

−

+

=

Zeit t

auflösen nach t

ordnen

abhängig von x, v, a, x₀, v₀

unabhängig von t

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

Wert der Beschleunigung a nicht vorhanden

t, x, v, a, x ₀ , v ₀

+ at

= v

2

v

0

0

2

v t 1 at x

x = + +

a ( v - t v

)

=

0 2 0

0

v - v 2

v 1 t

t t x

x ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

=

Zeit t

( ) ^{t x t t}

t x

x

vt - v

2 v 1

v - 2 v

v + 1 = + +

+

=

( ) ^t

x

x v - v

2 1

(IV) Gleichung

0 0

+

=

auflösen nach a

abhängig von t, x, x₀,v, v₀

unabhängig von a

10

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

Anfangsgeschwindigkeit v

unbekannt

t, x, v, a, x ₀ , v ₀

+ at

= v

2

v

0

0

2

v t 1 at x

x = + +

at - v v

=

2

0

2

) 1 - v

( at t at x

x = + +

Zeit t 2

2

0

2

- 1

v t at at x

x = + +

2

0

2

v 1

(V) Gleichung

at t-

x x = +

auflösen nach v₀

abhängig von t, x, x₀, v, a

unabhängig von v₀

11

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

Zusammenfassung

Insgesamt ergeben sich fünf Gleichungen, die man im Fall einer konstanten Beschleunigung verwenden kann

+ at

= v

v

2 0

0

2

v t 1 at x

x = + +

Zeit t

2

0

2

- 1 v t at x

x = +

) (

2 v

v

=

+ a x − x

( ) ^t

x

x v - v

2 1

0 0

+

=

) ( x − x

v

t

a

v

nicht benötigte Variable Gleichung

Diese Gleichungen gelten nur bei konstanter Beschleunigung!

Verschiebung

Geschwindigkeit

Zeit

Beschleunigung

Anfangsgeschwindigkeit

12

Schiefe Ebene

Wo muss man Marken anbringen, wenn man gleiche Zeiten wählt?

( ) ( ) ( )

...

Einheiten Neun

2 s 9 1 2

s s 9

2 3 x 1

Einheiten Vier

2 s 4 1 s

2 s

2 2 x 1

Einheit Eine

2 s s 1

2 1 x 1

Rechnung

0 v

und 0

x

ingungen Anfangsbed

günstige Wähle

2 2

2 3s

2 2 2

2s

2 2

1s

0 0

⎟⎟ ≈

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

=

⎟⎟ ≈

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

=

≈

=

=

=

=

a a

a

a a

a

a a

Bestimme Ort nach jeweils einer weiteren Sekunde 2

0

0

2

v 1 x

x = + t + at

Verschiebung in der ersten Sekunde

Verschiebung

in der zweiten Sekunde

Verschiebung in der dritten Sekunde

Schiefe Ebene

Bewegung mit konstanter Beschleunigung

2 2 0 v 0 x

2 0

0

2 x 1

2 v 1

x x

0 0

t x

at

at t

≈

=

⇓ + +

=

=

=

Position nach 1 Sekunde

Position nach 2 Sekunden

Δ x

Δ x

Δ x

Δ x Δ x

4

TEST TEST TEST

Ergebnis unabhängig von der Beschleunigung Variation der Beschleunigung durch Änderung der Neigung

14

Baseball pitcher

Fans, researchers, historians and even the players argue all the time about who was the fastest pitcher of all-time. The most widely quoted

response is Nolan Ryan, whose fastball was "officially" clocked by the Guinness Book of World Records at 100.9 miles per hour in a game

played on August 20, 1974 versus the Chicago White Sox. A record that's still included in the book.

) (

2 v

v

=

+ a x − x

Baseball pitcher

Fans, researchers, historians and even the players argue all the time about who was the fastest pitcher of all-time. The most widely quoted

response is Nolan Ryan, whose fastball was "officially" clocked by the

Guinness Book of World Records at 100.9 miles per hour

in a game played on August 20, 1974 versus the Chicago White Sox.

A record that's still included in the book.

s 1 m . 3600s 45

h 1 mile

1

m 1609.34 h

miles 9

. h 100

miles 9

. 100

v

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

g a

x a v

BB BB

30

s² 290 m m

3.5 2

s 1 m . 45 2

v

2 2

0 2

BB

=

⋅ =

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− =

=

) (

2 v

v

=

+ a x − x

Mittlere Beschleunigung für den Baseball momentane Beschleunigung kann höher ausfallen

Umrechnung in SI Einheiten

16

Airbag

Autounfall auf einer Landstrasse, d.h. bei einer Geschwindigkeit von 100 km/s.

Bei Frontalkollision erfolgt die Abbremsung innerhalb eines Meters (Knautschzone)

Wie schnell muß der Airbag aufgeblasen sein?

s 28 m s

3600 h 1 km

1 m 1000 h

100 km h

100 km

v

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

Geschwindigkeit des Autos in SI Einheiten m/s ausrechnen

) (

2 v

v

=

+ a x − x

+ at

= v

v

2 0

0

2

v t 1 at x

x = + +

2

0

2

- 1 v t at x

x = +

) (

2 v

v

=

+ a x − x

( ) ^t

x

x v - v

2 1

0 0

+

=

Die Auswahl

Airbag

Wie schnell muß der Airbag aufgeblasen sein?

( )

g a

x x

x a x

x x a

S

S S

S

s² 40 392 m 2m

s 28 m

m 1

) (

2 v

0 v

) (

2 v

v

2

2 C 2

C 2

S

−

=

−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

=

=

−

⇓

− −

=

⇓

=

− +

=

stark negative Beschleunigung

0.072s s²

390 m s 28 m v 0

- v

0 v

v v

C S

c S

=

−

= −

=

⇓

= +

=

t a

at

S

minimale Aufblaszeit des Airbags

+ at

= v

v

typische Werte 50 ms Endgeschwindigkeit NULL

18

Graphische Analyse

positiv :

v

v

: negativ

NULL :

v

NULL :

v

Hüpfender Tennisball

Graphische Darstellung eines Bewegungsablaufs

Raumkoordinate Boden Raumkoordinate Höhe

Änderung der Richtung,

Vorzeichenwechsel in der Geschwindigkeit

sprunghafte Änderung von Geschwindigkeit und Beschleunigung

Zeit

20

Fahrstuhl

graphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

Fahrstuhl

graphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

Zeitintervall 3 s bis 8 s

x_b(t_b=3s)= 4 m x_c(t_c=8s)= 24 m

Konstante Geschwindigkeit

s 4 m s

3 s 8

m 4 m

v 24 =

−

= − Δ

= Δ t x

/

0 2 2

/ 0 /

4

a v m s

s s

s m s

m

t =

−

= − Δ

= Δ

Zeitintervall 0.0s bis 3.0 s

Zur Zeit t₁=0.0s ist v(t₁)=0.0 m/s Zur Zeit t₂=3.0s ist v₂(t₂)=4.0 m/s

Konstante Beschleunigung in diesem Zeitintervall

Zeitintervall 8.0s bis 9.0 s

Zur Zeit t₁=8.0s ist v(t₁)=4.0 m/s Zur Zeit t₂=9.0s ist v₂(t₂)=0.0 m/s

Konstante Beschleunigung in diesem Zeitintervall

/

8 4 9

/ 4 /

0

a v m s

s s

s m s

m

t = −

−

= − Δ

= Δ

.

v = konst

22

Fahrstuhl

graphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

s² 2 m s

0 s 2

m/s 0

m/s 4

v =

−

= − Δ

= Δ a t

Zeitintervall 0 s bis 3 s

v_a (t_a=0s) = 0 m/s v_b(t_b=3s) = 4 m/s

Konstante positive Beschleunigung

.

konst

a =

Fahrstuhl

graphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

Zeitintervall 8.0s bis 9.0 s

v_c(t_c=8 s) = 4 m/s v_d(t_d=9 s) = 0 m/s

Konstante negative Beschleunigung

s² 4 m 8s

9s

4m/s 0m/s

v = −

−

= − Δ

= Δ a t

.

konst

a =

24

Fahrstuhl

graphische Darstellung eines Bewegungsablaufes

m/s 4 v =

m/s

= 2

2

a

m/s 2

positiv gung

Beschleuni

= a

m/s

4

negativ gung

Beschleuni

−

= a

m/s

− 4

= a

m/s

= 2 a

m/s

− 4

= a

??? Bin ich in einem Fahrstuhl ???

ernst gemeinte Frage aus der Relativitätstheorie

schwerer leichter

26

Länge des Kanonenrohrs 900 ft m

ft 274 3.28

m ft 1

900 ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ l

Minimale Geschwindigkeit um von der Erde aus den Mond zu erreichen

11,100 m/s

( ) ( )

( )

( )

g g a

s a m

x a x

x x a

508 22 s

9.81 m s 803 m 220 220803

274m 2

s 11000 m

2

v v

2 v

v

2 2 2

2

0 2 0 2

0 2

0 2

=

=

=

⋅

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− =

= −

−

=

−

Von der Erde zum Mond

27 4 m

nicht

komfortabel