1
3a Kinematik
Bewegungen in einer Dimension
2
Illusion einer Bewegung
3
Illusionen
Ist Mond am Horizont größer als im Zenit?
Alles also nur eine große Täuschung !
4
Eindimensionale Bewegung
Einschränkungen
Wir betrachten zunächst nur Bewegungen entlang einer geraden Linie.
Diese Linie kann horizontal (Auto auf Strasse ) vertikal (Fall eines Steines)
oder auch schräg (Auto am Berg) sein.
Die Bewegung eines Objektes wird durch Kräfte verursacht. Diese Ursache für die Bewegung als auch die für die Änderung wird zunächst vernachlässigt.
Wir betrachten die Bewegung von Teilchen (z.B. Elektron) die punktförmig sind (Massenpunkte) oder von ausgedehnten Objekten, die sich bewegen
als wären sie Massenpunkte.
Einteilung der Mechanik
A) Kinematik: Beschreibung, wie sich Körper bewegen
B) Dynamik: Welchen Einfluss haben Kräfte auf die Bewegung
5
Verschiebung und Abstand
Zur Beschreibung der Bewegung eines Objektes ist es notwendig seine Position in
Relation zu einem Referenzsystem oder Referenzpunkt zu kennen. In der Regel
ist dies die Erde. Man kann aber auch andere Referenzsysteme wählen
(z.B. Flugzeug).
Man definiert Translation (Verschiebung) als die Änderung der Position eines
Objektes.
SI Einheit der Translation ist das Meter (m) Symbolisch:
wobei
x1: Anfangsposition x2: Endposition
Δ: Allgemein Änderung einer Größe (hier des Ortes)
Die Translation ist ein Vektor.
1
2
x
x x = − Δ
Translation: Δx=-10m
Abstand die die Größenordnung oder die Größe des Abstandes.
Mit Größenordnung ist gemeint eine Zahl mit einer Einheit.
Der Abstand hat keine Richtung und somit auch kein Vorzeichen. Der
Abstand kann sehr viel größer als die Verschiebung
d r
6
Mittlere Geschwindigkeit
t x t
t
x x
avg
Δ
= Δ
−
= −
1 2
1
v
2Zeit / s
1 2 3 5
Mittlere
Geschwindigkeit vavgist die Steigung der roten
Linie, d.h. 0.5 m/s
x(t) Mittlere Geschwindigkeit
und Ortsverschiebung haben stets das gleiche Vorzeichen,
da t positiv ist.
4 6 7
1 2 3
Position / m
Einheit der Geschwindigkeit [v]=[m/s]
Schwimmer mit der höchsten Durchschnittsgeschwindigkeit gewinnt !
Definition
mittlere Geschwindigkeit
7
ThrustSSC 1997
British duo sets first supersonic land-speed record
1 Meile
m
= 1609 Δx
s 740 .
= 4 Δ t
hins 695 .
= 4 Δ t
zurücks
5 m . s 339
740 . 4
m v
hin= 1609 = +
s 7 m . s 342
695 . 4
m v
zurück= 1609 = −
h 1228 km v
s 1 m . 2 341
s 7 m . s 342 5 m . 339 v
= + =
+
=
WR zurück
hin
8
Momentane Geschwindigkeit
dt dx t
x
t
=
Δ
= Δ
→ Δ
lim
0v
Zeit / s
1 2 3 5
Die Geschwindigkeit v ist die Steigung der roten Linie zu einer
bestimmten Zeit t
x(t)
4 6 7
1 2 3
Position / m
t1 t2
Die Geschwindigkeit ist eine Vektorgröße, d.h. Betrag und Richtung
( )
2 z 2
y 2
x
z y x
v v
v v
v , v , v v
+ +
=
= r
v r r
Betrag des Vektors Vektor
9
Mittlere Beschleunigung
t t
avg
t
Δ
= Δ
−
= v − v v a
1 2
1 2
Zeit / s
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3
Geschwindigkeit/ m/s
Mittlere
Beschleunigung aavgist die Steigung der roten
Linie, d.h. 0.42 m/s²
v(t)
Einheit [m/s²]
10
Momentane Beschleunigung
2 2 0
x x
v lim v
a dt
d dt
d dt
d dt
d t
t
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ Δ =
= Δ
→ Δ
Zeit / s
1 2 3 5
Die Beschleunigung a ist die Steigung der roten Linie zu einer
bestimmten Zeit t
v(t)
4 6 7
1 2 3
Geschwindigkeit / m/s
t1 t2Die Beschleunigung ist ebenfalls eine
Vektorgröße
( )
2 2
2
z y
x
z y x
a a
a a
,a ,a a a
+ +
=
= r
r
a r
11
Spezialfall: Konstante Beschleunigung
t x
t v
t a
x(t)
v(t)
Steigung ändert sich
dx/dt
Steigung konstant dv/dt= konst.
a(t) x0
v0
keine Steigung da/dt= 0
In diesem Fall kann man die Bewegung eines Teilchens wie folgt beschreiben:
Der Einfachheit halber beginnt das Experiment bei t=0
0 v - v
0a t-
a =
avg= + at
= v
0v
= a dt v
d v
0v 0 ⇒ =
= t
v 0
v
0t- x-x
avg
=
=
t x
x =
0+ v
avgx
avgdt
d = v
12
Spezialfall: Konstante Beschleunigung
at dt x
d = v
0+ + at
= v
0v
: I Gleichung
0 x x
0t = ⇒ =
t x
x =
0+ v
avg0
0
v) v 2v v
2 (v
v
avg= 1 + ⇒ =
avg−
einsetzen in
+ at
=
−
0 0avg
v v
2v
2 at v 1
v
avg=
0+
für v einsetzen in
2 0
0
2 0
0
2 v 1
x x
2 v 1
x x
: II Gleichung
at t
at t
+
=
−
+ +
=
Check it out
In den beiden Gleichungen werden 5 Variablen verwendet:
t, x-x 0 , v, v 0 , a
jeweils 4 in jeder Gleichung
13
Spezialfall: Konstante Beschleunigung
Zeitinformation t nicht vorhanden
t, x, v, a, x 0 , v 0
+ at
= v
0v
(I)
) (
2 v
v
III Gleichung
0 2
0
2
= + a x − x
2 0
0
2
v 1
(II) x = x + t + at
t ( v - a v
0)
= a a
x a
x ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝ + ⎛ +
=
0 0 0(v - v
20)
22
1 v
- v v
a x a
x
2 0
2 2
0 0
0
0
v - 2vv v
2 v 1
-
vv +
+ +
=
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
+
=
0 0 2 2 0 20
0
v
2 vv 1
- 2 v
v 1 - 1 vv
x a x
x a
x 2
v v
2 20
−
0+
=
Zeit t
auflösen nach t
ordnen
14
Spezialfall: Konstante Beschleunigung
Wert der Beschleunigung a nicht vorhanden
t, x, v, a, x 0 , v 0
+ at
= v
02
v
0
0
2
v t 1 at x
x = + +
a ( v - t v
0)
= t t
t x
x ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛ +
=
0 0v - v
02
v 1
Zeit t
( ) t x t t
t x
x
0 0 0 0 0vt - v
02 v 1
v - 2 v
v + 1 = + +
+
=
( ) t
x
x
0v - v
02
1
IV Gleichung
+
=
auflösen nach a
15
Spezialfall: Konstante Beschleunigung
Anfangsgeschwindigkeit v
0unbekannt
t, x, v, a, x 0 , v 0
+ at
= v
02
v
0
0
2
v t 1 at x
x = + +
at - v v
0=
2
0
2
) 1 - v
( at t at x
x = + +
Zeit t 2
2
0
2
- 1
v t at at x
x = + +
2
0
2
v 1
V Gleichung
at t-
x x = +
auflösen nach v0
16
Spezialfall: Konstante Beschleunigung
Zusammenfassung
Insgesamt ergeben sich fünf Gleichungen, die man im Fall einer konstanten Beschleunigung verwenden kann
+ at
= v
0v
2 0
0
2
v t 1 at x
x = + +
Zeit t
2
0
2
- 1 v t at x
x = +
) (
2 v
v
2=
20+ a x − x
0( ) t
x
x
0v - v
02
+ 1
=
) ( x − x
0v
t
a
v
0Nicht benötigte Variable Gleichung
Gleichungen gelten nur bei konstanter Beschleunigung!
17
Schiefe Ebene
Wie viel Zeit vergeht beim Abrollen eines Balles, wenn man gleiche Abstände wählt?
+ at
= v
0v
2 0
0
2
v 1 x
x = + t + at
( )
x a t
t x
at at x
x x x
Δ
= Δ
≈ Δ
⇓ +
= + +
=
⇓
==
=
² 0 v
2 0 1 0
1
2 1
) ( 0 v , 0
1 0
0
x a t
t x
t a at
at x
x
at
at t
x x
Δ
= Δ
≈ Δ
⇓
= +
=
−
↓
=
+ +
=
3 2
²
2 ²
² 3 2
² 1
v
2
v 1
1 2
1
2 1
1 2
Position 1 nach 2 Position 1
Anfangsbedingung
18
Schiefe Ebene
( )
x a t
t x
at at
at at
at at
x x
at at
at t
at t
at at
x x
x
at t
x x
x x
Δ
≈ Δ
≈ Δ
⇓
= +
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
=
−
=
=
⇒ +
=
+
⎟ +
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ + +
=
−
+ +
=
⇓
=5 2
²
2 ² 5 2
² 1 2 ²
² 1 2
1
2 ² x 1
und v
v v
2 v 1
2 ²
² 1
2 v 1
2 2
2 3
1 1
1 2
2 2
1 2
3
2 2
2 3
3
Wie viel Zeit vergeht beim Abrollen eines Balles, wenn man gleiche Abstände wählt?
+ at
= v
0v
2 0
0
2
v 1 x
x = + t + at
Position 2 nach 3
Zeitintervalle werden kürzer Kugel beschleunigt
19
Schiefe Ebene
Wo muss man Marken anbringen, wenn man gleiche Zeiten wählt?
...
Einheiten 2 9
3 9 2 x 1
Einheiten 4
2 2 2
x 1
Einheiten 2 1
1 1 2 x 1
0 v
0 x
ingung Anfangsbed
2 3s
2 2s
2 1s
0 0
≈
=
=
≈
=
=
≈
=
=
=
=
a a
a a
a a
Beispielsweise jede Sekunde 2 0
0
2
v 1 x
x = + t + at
20
Baseball pitcher
Fans, researchers, historians and even the players argue all the time about who was the fastest pitcher of all-time. The most widely quoted
response is Nolan Ryan, whose fastball was "officially" clocked by the Guinness Book of World Records at 100.9 miles per hour in a game
played on August 20, 1974 versus the Chicago White Sox. A record that's still included in the book.
) (
2 v
v
2=
20+ a x − x
021
Baseball pitcher
Fans, researchers, historians and even the players argue all the time about who was the fastest pitcher of all-time. The most widely quoted
response is Nolan Ryan, whose fastball was "officially" clocked by the Guinness Book of World Records at 100.9 miles per hour in a game
played on August 20, 1974 versus the Chicago White Sox. A record that's still included in the book.
s 1 m . 3600s 45
h mile
m 1609.34 h
miles 9
. h 100
miles 9
. 100
v
BB= = =
g a
x a v
BB BB
30
s² 290 m m
3.5 2
s 1 m . 45 2
v
2 2
0 2
BB
=
⋅ =
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
− =
=
) (
2 v
v
2=
02+ a x − x
022
23
Airbag
Autounfall auf einer Landstrasse, d.h. bei einer Geschwindigkeit von 100 km/s.
Bei Frontalkollision erfolgt die Abbremsung innerhalb eines Meters (Knautschzone)
Wie schnell muß der Airbag aufgeblasen sein?
s 28 m s
3600 m 10 100 100
h 100 km v
3
C
= = ⋅ =
Geschwindigkeit des Autos
) (
2 v
v
2=
20+ a x − x
024
Airbag
Autounfall auf einer Landstrasse, d.h. bei einer Geschwindigkeit von 100 km/s.
Bei Frontalkollision erfolgt die Abbremsung innerhalb eines Meters (Knautschzone)
Wie schnell muß der Airbag aufgeblasen sein?
s 28 m s
3600 m 100 1000
h 100 km
v
C= = =
Geschwindigkeit des Autos
( )
g a
x x
x a x
x x a
S
S S
S
s² 40 392 m 2m
s 28 m
m 1
) (
2 v
0 v
) (
2 v v
2
2 C 2
C 2 S
−
=
−
=
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
−
=
=
−
⇓
− −
=
⇓
=
− +
=
stark negative
Beschleunigung
0.072s
s² 390 m
s 28 m v 0
- v
0 v
v v
C S
c S
=
−
= −
=
⇓
= +
=
t a
at
S
minimale Aufblaszeit des Airbags
+ at
= v
0v
typische Werte 50 ms