Eindimensionale Bewegung

3 Kinematik

Bewegungen in einer Dimension

Illusion einer Bewegung

Eindimensionale Bewegung

Einschränkungen

Wir betrachten zunächst nur Bewegungen entlang einer geraden Linie.

Diese Linie kann horizontal (Auto auf Strasse ) vertikal (Fall eines Steines)

oder auch schräg (Auto am Berg) sein.

Die Bewegung eines Objektes wird durch Kräfte verursacht. Diese Ursache für die Bewegung als auch die für die Änderung wird zunächst vernachlässigt.

Wir betrachten die Bewegung von Teilchen (z.B. Elektron) die punktförmig sind (Massenpunkte) oder von ausgedehnten Objekten, die sich bewegen

als wären sie Massenpunkte.

Einteilung der Mechanik

A) Kinematik: Eine Beschreibung, wie sich Körper bewegen

B) Dynamik: Welchen Einfluss haben Kräfte auf die Bewegung

Verschiebung und Abstand

Zur Beschreibung der Bewegung eines Objektes ist es notwendig seine Position in

Relation zu einem Referenzsystem oder Referenzpunkt zu kennen. In der Regel

ist dies die Erde. Man kann aber auch andere Referenzsysteme wählen

(z.B. Flugzeug).

Man definiert Translation (Verschiebung) als die Änderung der Position eines

Objektes.

SI Einheit der Translation ist das Meter (m) Symbolisch:

wobei

x₁: Anfangsposition x₂: Endposition

Δ: Allgemein Änderung einer Größe (hier des Ortes)

Die Translation ist ein Vektor.

1

2

x

x x = − Δ

Translation: Δx=-10m

Abstand die die Größenordnung oder die Größe des Abstandes.

Mit Größenordnung ist gemeint eine Zahl mit einer Einheit.

Der Abstand hat keine Richtung und somit auch kein Vorzeichen. Der

Abstand kann sehr viel größer als die

d r

Mittlere Geschwindigkeit

t x t

t

x x

avg

Δ

= Δ

−

= −

1 2

1

v

2

Zeit / s

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3

Position / m

Mittlere

Geschwindigkeit v_avgist die Steigung der roten

Linie, d.h. 0.5 m/s

x(t) Mittlere Geschwindigkeit

und Ortsverschiebung haben stets das gleiche Vorzeichen,

da t positiv ist.

Einheit [m/s]

Momentane Geschwindigkeit

dt dx t

x

t

=

Δ

= Δ

→ Δ

lim

0

v

Zeit / s

1 2 3 5

Die Geschwindigkeit v ist die Steigung der roten Linie zu einer

bestimmten Zeit t

x(t)

4 6 7

1 2 3

Position / m

t₁ t₂

Die Geschwindigkeit ist eine Vektorgröße, d.h. Betrag und Richtung

( )

2 z 2

y 2

x

z y x

v v

v v

v , v , v v

+ +

=

= r

v r r

Mittlere Beschleunigung

t t

avg

t

Δ

= Δ

−

= v − v v a

1 2

1 2

Zeit / s

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3

Geschwindigkeit/ m/s

Mittlere

Beschleunigung a_avgist die Steigung der roten

Linie, d.h. 0.42 m/s²

x(t)

Einheit [m/s²]

Momentane Beschleunigung

2 2 0

x x

v lim v

a dt

d dt

d dt

d dt

d t

t

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ Δ =

= Δ

→ Δ

Zeit / s

1 2 3 5

Die Beschleunigung a ist die Steigung der roten Linie zu einer

bestimmten Zeit t

x(t)

4 6 7

1 2 3

Geschwindigkeit / m/s

^{t1 t2}

Die Beschleunigung ist ebenfalls eine

Vektorgröße

( )

2 2

2

z y

x

z y x

a a

a a

,a ,a a a

+ +

=

= r

r

a r

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

t x

t v

a

x(t)

v(t)

Steigung ändert sich

dx/dt

Steigung konstant dv/dt= konst.

a(t) x₀

v₀

keine Steigung da/dt= 0

In diesem Fall kann man die Bewegung eines Teilchens wie folgt beschreiben:

Der Einfachheit halber beginnt das Experiment bei t=0

0 v - v

₀

a t-

a =

_avg

= + at

= v

₀

v

= a dt v

d v

0

v 0 ⇒ =

= t

v 0

v

⁰

t- x-x

avg

=

=

t x

x =

₀

+ v

_avg

x

avg

d = v

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

at dt x

d = v

₀

+ + at

= v

₀

v

(I) t = 0 ⇒ x = x

₀

t x

x =

₀

+ v

_avg

0

0

v) v 2v v

2 (v

v

_avg

= 1 + ⇒ =

_avg

−

einsetzen in

+ at

=

−

_{0 0}

avg

v v

2v

2 at v 1

v

_avg

=

₀

+

für v einsetzen in

2 0

0

2

v 1 x

x

(II) = + t + at

Check

In den beiden Gleichungen werden 5 Variablen verwendet:

t, x-x ₀ , v, v ₀ , a

jeweils 4 in jeder Gleichung

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

t, x, v, a, x ₀ , v ₀

+ at

= v

₀

v

(I)

) (

2 v

v

²

=

₀²

+ a x − x

₀

2 0

0

2

v 1

(II) x = x + t + at

t ( v - a v

₀

)

= a a

x a

x ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

=

_{0 0} ⁰

(v - v

₂⁰

)

²

2

1 v

- v v

a x a

x

2 0

2 2

0 0

0

0

v - 2vv v

2 v 1

-

vv +

+ +

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

+

=

_{0 0} ^{2 2} ₀ ²

0

0

v

2 vv 1

- 2 v

v 1 - 1 vv

x a x

x a

x 2

v v

^{2 2}

0

−

0

+

=

Zeit t

auflösen nach t

ordnen

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

t, x, v, a, x ₀ , v ₀

+ at

= v

₀

2

v

0

0

2

v t 1 at x

x = + +

a ( v - t v

₀

)

= t t

t x

x ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛ +

=

_{0 0}

v - v

⁰

2

v 1

Zeit t

( ) ^{t x t t}

t x

x

_{0 0 0 0 0}

vt - v

₀

2 v 1

v - 2 v

v + 1 = + +

+

=

( ) ^t

x

x

₀

v - v

₀

2

+ 1

=

auflösen nach a

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

t, x, v, a, x ₀ , v ₀

+ at

= v

₀

2

v

0

0

2

v t 1 at x

x = + +

at - v v

₀

=

2

0

2

) 1 - v

( at t at x

x = + +

Zeit t 2

2

0

2

- 1

v t at at x

x = + +

2

0

2

v t- 1 at x

x = +

auflösen nach v₀

Spezialfall: Konstante Beschleunigung

Insgesamt ergeben sich fünf Gleichungen, die man im Fall einer konstanten Beschleunigung vewenden kann

+ at

= v

₀

v

2 0

0

2

v t 1 at x

x = + +

Zeit t

2

0

2

- 1

v t at x

x = +

) (

2 v

v

²

=

²₀

+ a x − x

₀

( ) ^t

x

x

₀

v - v

₀

2

+ 1

=

) ( x − x

₀

v

t

a

v

0

Nicht benötigte Variable

Gleichung

Schiefe Ebene

( )

2 ² 5 2

² 1 2 ²

² 1 2

1

2 ² x 1

und v

v v

2 v 1

2 ²

² 1

2 v 1

2 2

2 3

1 1

1 2

2 2

1 2

3

2 2

2 3

3

at at

at at

at at

x x

at at

at t

at t

at at

x x

x

at t

x x

x x

≈ Δ

⇓

= +

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

=

−

=

=

⇒ +

=

+

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

=

−

+ +

=

⇓

₌

at

Wie viel Zeit vergeht beim Abrollen eines Balles, wenn man gleiche Abstände wählt?

+

= v

₀

v

2 0

0

2

v 1 x

x = + t + at

( )

² 0 v

2 0 1 0

1

2 1

) ( 0 v , 0

1 0

0

t x

at at x

x x x

≈ Δ

⇓ +

= + +

=

⇓

₌

=

=

²

2 ²

² 3 2

² 1

v

2

v 1

1 2

1

2 1

1 2

t x

t a at

at x

x

at

at t

x x

≈ Δ

⇓

= +

=

−

↓

=

+ +

=

Position 1

Position 2

Position 3

Baseball pitcher

Fans, researchers, historians and even the players argue all the time about who was the fastest pitcher of all-time. The most widely quoted

response is Nolan Ryan, whose fastball was "officially" clocked by the Guinness Book of World Records at 100.9 miles per hour in a game

played on August 20, 1974 versus the Chicago White Sox. A record that's still included in the book.

) (

2 v

v

²

=

²₀

+ a x − x

₀

Baseball pitcher

Fans, researchers, historians and even the players argue all the time about who was the fastest pitcher of all-time. The most widely quoted

response is Nolan Ryan, whose fastball was "officially" clocked by the Guinness Book of World Records at 100.9 miles per hour in a game

played on August 20, 1974 versus the Chicago White Sox. A record that's still included in the book.

s 1 m . 3600s 45

h mile

m 1609.34 h

miles 9

. h 100

miles 9

. 100

v

_BB

= = =

g a

x a v

BB BB

30

s² 290 m m

3.5 2

s 1 m . 45 2

v

2 2

0 2

BB

=

⋅ =

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

− =

=

) (

2 v

v

²

=

²₀

+ a x − x

₀

Airbag

Autounfall auf einer Landstrasse, d.h. bei einer Geschwindigkeit von 100 km/s.

Bei Frontalkollision erfolgt die Abbremsung innerhalb eines Meters (Knautschzone)

Wie schnell muß der Airbag aufgeblasen sein?

s 28 m s

3600 m 10 100 100

h 100 km v

3

C

= = ⋅ =

Geschwindigkeit des Autos

) (

2 v

v

²

=

²₀

+ a x − x

₀

Airbag

Autounfall auf einer Landstrasse, d.h. bei einer Geschwindigkeit von 100 km/s.

Bei Frontalkollision erfolgt die Abbremsung innerhalb eines Meters (Knautschzone)

Wie schnell muß der Airbag aufgeblasen sein?

s 28 m s

3600 m 10 100 100

h 100 km v

3

C

= = ⋅ =

Geschwindigkeit des Autos

( )

g a

x x

x a x

x x a

S

S S

S

m 40 s 392

28 m

m 1

) (

2 v

0 v

) (

2 v v

2

2 C 2

C 2 S

−

=

−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

=

=

−

⇓

− −

=

⇓

=

− +

=

stark negative

Beschleunigung

0.072s

s² 390 m

s 28 m v 0

- v

0 v

v v

C S

c S

=

−

= −

=

⇓

= +

=

t a

at

S

minimale Aufblaszeit des Airbags

+ at

= v

₀

v

Top Fuel Dragster

Top Fuel Dragster

In 5.06 Sekunden auf 444.55 km/h Wie hoch ist die Beschleunigung?

Top Fuel Dragster

In 5.06 Sekunden auf 444.55 km/h Wie hoch ist die Beschleunigung?

g a

at

5 . m 2 51 . s 24

124 m v

s 0 m v

v v

0 0

=

=

=

=

⇓

= +

=

s 124 m v

3600s 1h km

1000m 1h

444.55 1km

h 444.55 km v

=

=

=

Weltrekord 12. November 2006 Tony Schumacher (Team US Army)

Viertelmeile in 4.428 s, Endgeschwindigkeit 527 km/h