Quantenmechanik I, WS 2020/21
Prof. Dr. Michael Bonitz
Ubungszettel 12 (Abgabe: Montag 8.2. 10:00) ¨
1. Wiederholung (m¨undlich): St¨orungstheorie
(a) Erl¨autern Sie die Idee der quantenmechanischen St¨orungstheorie und leiten Sie die Gleichungen f¨ur die erste Korrektur zur Energie bzw. Wellenfunk- tion, En(1) und ψn(1), ab. Diskutieren Sie die physikalische Information dieser Korrekturen sowie ihren G¨ultigkeitsbereich.
(b) Erl¨autern Sie das Vorgehen bei der station¨aren St¨orungstheorie f¨ur entartete Eigenwerte.
(c) Erl¨autern Sie die Grundideen der zeitabh¨angigen St¨orungstheorie.
2. Aufgaben (28 (+6) Punkte): Spin. St¨orungstheorie
(a) Ein Elektron beinde sich zur Zeitt= 0 in einem Spinzustandχ(0) =c+|+i+ c−|−i. Danach wirkt ein zeitabh¨angiges homogenes Magnetfeld, B(t) = (0,0, B(t)). Man berechne die zeitabh¨angigen Erwartungswerte der Oper- atoren ˆs1 und ˆs+. Man betrachte insbesondere den Fall B(t) =B0cos2Ωt.
6 Punkte.
(b) Anharmonischer Oszillator: Die harmonische N¨aherung gilt in vielen F¨allen nur f¨ur kleine Auslenkungen x um die Ruhelage x= 0. Andernfalls sind an- harmonische Korrekturen relevant. Die Schwingungen zweiatomiger Molek¨ule werden daher besser durch ein modifiziertes Morse-Potential beschrieben,
V(r) =WDe−2α(r−r0)−2e−α(r−r0).
i. Man erl¨autere die Parameter des Potentials und stelle es graphisch dar.
ii. Man bestimme das Energiespektrum in der harmonischen N¨aherung.
iii. Man bestimme die niedrigsten anharmonischen Korrekturen (Beitr¨age der Ordnung r3 und r4) zum Energiespektrum in St¨orungstheorie und diskutiere den G¨ultigkeitsbereich der N¨aherung.
(14 Punkte)
(c) H-Atom im elektrischen Feld (Stark-Effekt): Man bestimme die ¨Anderung des Energiespektrums des Wasserstoffatoms im homogenen elektrischen Feld im Grundzustand in niedrigster Ordnung St¨orungstheorie. (8 Punkte) (d) fakultativ: Man l¨ose diese Aufgabe f¨ur die Niveausn = 2 unter Ber¨ucksichti-
gung der Entartung der Energie-Eigenwerte (s. Vorlesung, 6 Punkte).
