WoldZerlegung Seminararbeit

Wold Zerlegung

Markus Fellner 22. September 2018

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Partielle Isometrie 4

3 Wold Zerlegung 6

4 Universal Model 9

Einleitung

Das Ziel dieser Arbeit ist die Aufarbeitung des Beweises der Wold Zerlegung und Pr¨asentation einiger weiterf¨uhrenden Resultate nach [RR].

Die hier betrachteten R¨aume sind allesamt Hilbertr¨aume mit Normk · kund dem dazugeh¨origen Skalarprodukt h·,·i. Die Menge aller beschr¨ankten linearen Operatoren von H1 nach H2 wird mit L_b(H₁, H₂) bezeichnet, oder kurz L_b(H), falls H = H₁ = H₂. Die Identit¨at auf einem Hilbertraum H wird mit I notiert. Zudem sei in Erinnerung gerufen, dass T ∈Lb(H1, H2) ei- ne Isometrie genannt wird, wenn hT(x), T(y)i =hx, yi f¨ur alle x, y ∈ H1. ¨Aquivalent dazu ist T^∗T =I, oder kT(x)k=kxkf¨ur alle x∈H₁.

Um den Satz ¨uber die Wold Zerlegung formulieren zu k¨onnen, ben¨otigt man noch die nachfol- gende Definition eines Shiftoperators.

Definition 1. Ein OperatorS ∈ L_b(H)wird ein Shiftoperator genannt, wennS eine Isometrie ist und f¨ur seine Adjungierte S^∗ gilt, dass kS^∗nf k→0 f¨ur allef ∈H.

Beispiel 1. Seil²(C) der (Hilbert-)Raum von Folgen (a_n)n∈N inCmit P

n∈N

|a_n|² <∞ und S :l²(C)→l²(C) der sogenannte ”Rechtsshift” mitS : (x₁, x₂, . . .)7→(0, x₁, x₂, . . .). Eine kurze Rechnung zeigt, dassS^∗ der ”Linksshift” aufl²(C) ist, also

S^∗ : (x1, x2, x3, . . .)7→(x2, x3, . . .):

hS(a), bi= 0·b₁+X

n∈N

a_n·b_n+1 =ha, S^∗(b)i

mita, b∈l²(C) beliebig. Es gilt also ker(S^∗) ={a∈l²(C) :an= 0, n≥2}und daher dim(kern(S^∗)) = 1. Da lim

n→∞S^∗(a) = 0 f¨ur alle a∈l²(C), ist der Rechtsshift S ein Shiftoperator nach Definition 1.

Jetzt kann der Satz ¨uber die Wold Zerlegung angegeben werden.

Satz 1. (Wold Zerlegung)

Sei L∈L_b(H) eine Isometrie. Dann gilt:

a) Es existieren zwei Unterr¨aume M, N ⊆ H mit¹ H = M ⊕N, sodass L von M und N reduziert wird. Das heisst f¨ur die orthogonale Projektionen auf N und M, PN :H → N und P_M : H → M, gilt P_NL = LP_N und P_ML = LP_M. Des weiteren ist L|_N ein Shiftoperator aufN und L|_M unit¨ar auf M.

1⊕notiert hier die direkte orthogonale Summe.

b) MitK =L(H)^⊥ ist (L^j(K))j∈N eine orthogonale Familie von Unterr¨aumen, sodass N =

∞

M

j=0

L^j(K) ={f ∈H : kL^∗nfk →0}

und

M =N^⊥ =

∞

\

j=0

L^j(H).

Dieser Satz besagt also, dass es genau zwei Prototypen von Isometrien gibt, n¨amlich unit¨are Operatoren und Shiftoperatoren. Insbesondere f¨ur Shiftoperatoren werden aufbauend auf die Wold Zerlegung einige interessante Resultate in den hinteren Kapiteln dieser Arbeit gezeigt werden.

Die ersten Abschnitte befassen sich mit partiellen Isometrien und dem Beweis von Satz 1.

Partielle Isometrie

Definition 2. Ein Operator L∈L_b(H1, H2) wird eine partielle Isometrie genannt, wenn L|_M eine Isometrie auf M =ker(L)^⊥ ist.

Der in der obigen Definition vorkommende Raum M wird auch als Anfangsraum und der RaumL(M) auch als Zielraum vonLbezeichnet.

Lemma 1. F¨urL∈L_b(H₁, H₂) sind folgende Aussagen ¨aquivalent.

a) L ist eine partielle Isometrie mit AnfangsraumM und ZielraumL(M).

b) L^∗L ist eine orthogonale Projektion mit L^∗L(H1) =M.

Beweis.

⇒) Ist L eine partielle Isometrie mit Anfangsraum M =ker(L)^⊥, so gilt

hL^∗L(x), yi=hL(x), L(y)i=hx, yi (2.1) f¨ur alle x, y∈M.

F¨ur beliebigesy₀∈ker(L) folgtL(y+y₀) =L(y) und zusammen mit (2.1) hL^∗L(x), y+y0i=hL(x), L(y+y0)i=hx, yi+hx, y₀i

| {z }

=0

=hx, y+y0i.

Also gilthL^∗L(x), yi=hx, yi f¨ur alle x∈M undy ∈H₁, womitL^∗L|_M =id|_M. Wegen M =ker(L)^⊥ undL^∗L(ker(L)) ={0} folgt b).

⇐) Es gilt L^∗L(x) =x f¨ur alle x∈M und somit

hL(x), L(y)i=hL^∗L(x), yi=hx, yi f¨ur alle y∈M. Damit ist Leine Isometrie auf M. Wegen

kL(y)k²=hL^∗L(y), yi= 0 f¨ur alle y∈M^⊥, folgt a).

Satz 2. Sei L ∈ L_b(H₁, H₂) eine partielle Isometrie mit Anfangsraum M. Dann ist L^∗ ∈ Lb(H2, H1) eine partielle Isometrie mit AnfangsraumL(M) und Zielraum M.

Beweis.

Seien x, y∈L(M) beliebig, aber fest. Dann existieren x₀, y₀ ∈M mitL(x₀) =xund L(y0) =y. Nach Lemma 1 ist L^∗L eine orthogonale Projektion auf M. Damit gilt

hL^∗(x), L^∗(y)i=hL^∗L(x₀), L^∗L(y₀)i=hx₀, y₀i=hL(x₀), L(y₀)i=hx, yi.

Also ist L^∗ eine Isometrie auf L(M), wobei ker(L^∗) =L(M)^⊥.

DaL|_M ein Isomorphismus von M nach L(M) ist, folgt aus der Vollst¨andigkeit von M, als abgeschlossene Teilmenge eines Banachraums, die Vollst¨andigkeit von L(M).L(M) ist somit ebenfalls abgeschlossen und es gilt (ker(L^∗))^⊥= (L(M)^⊥)^⊥ =L(M). Damit ist L^∗ eine partielle Isometrie mit AnfangsraumL(M) und Zielraum L^∗L(M) =M.

Wold Zerlegung

Der nachfolgende Satz ¨uber die Wold Zerlegung aus [RR], ist eine ¨aquivalente Formulierung zu der in der Einleitung vorgestellten Version.

Satz 3. (Wold Zerlegung)

Sei L∈Lb(H) eine Isometrie. Dann gilt:

a) P0 :=I−LL^∗ ist die orthogonale Projektion vonH auf L(H)^⊥. b) Es existiert eine Projektion P ∈ L_b(H), sodass lim

n→∞LⁿL^∗n = P bez¨uglich der starken Operator Topologie.

c) P(H) = T

n∈N

Lⁿ(H).

d)

k

P

n=0

LⁿP0L^∗n mitk∈N, konvergiert f¨urk→ ∞gegen die ProjektionQ=I−P, bez¨uglich der starken Operator Topologie.

e) Q(H) ={f ∈H : lim

n→∞kL^∗n(f)k= 0}.

f ) Q(H) und P(H) reduzieren L d.h.P L=LP, beziehungsweiseQL=LQ.

g) L|_P(H) ist ein unit¨arer Operator auf P(H).

h) L|_Q(H) ist ein Shiftoperator auf Q(H).

i) I =P +

∞

P

n=0

LⁿP₀L^∗n und H=P(H)⊕ _∞

L

n=0

LⁿP₀(H)

. Beweis.

a) Als Isometrie ist L insbesondere eine partielle Isometrie mit AnfangsraumH und ZielraumL(H). Nach Satz 2 istL^∗ ebenfalls eine partielle Isometrie, und LL^∗ ist nach Lemma 1 die orthogonale Projektion aufL(H). Daraus folgt die Aussage.

b) MitL ist auchLⁿ eine Isometrie. Gem¨aß Punkta) ist P_n:=LⁿL^∗n die orthogonale Projektion auf Lⁿ(H) und es gilt

P_n+1(H) =Lⁿ⁺¹(H) =LⁿL(H)

| {z }

⊆H

⊆Lⁿ(H) =P_n(H). (3.1)

Die R¨aumeLⁿ(H) bilden also eine, bez¨uglich der Mengeninklusion, fallende Mengenfolge. Wir zeigen, dass die orthogonale ProjektionP von H auf T

n∈N

P_n(H) die gew¨unschte Beziehung lim

n→∞LⁿL^∗n(x) = lim

n→∞Pn(x) =P(x) erf¨ullt.

Fall x∈P(H) : F¨urx∈ T

n∈N

Pn(H) gilt x∈Pn(H) und somitPn(x) =x=P(x) f¨ur alle n∈N, also

n→∞lim P_n(x) =P(x).

Fall x∈P(H)^⊥:

Sei zun¨achstx∈ S

n∈N

Pn(H)^⊥. Nach (3.1) giltPn(H)^⊥⊆Pn+1(H)^⊥. Es existiert infolge ein m∈N, sodassx∈P_n(H)^⊥ f¨ur allen>m. Damit folgt P_n(x) = 0 f¨ur allen>mund daher lim

n→∞P_n(x) = 0.

Aufgrund von

\

n∈N

P_n(H) = \

n∈N

P_n(H)^⊥⊥

= [

n∈N

P_n(H)^⊥

!⊥

(3.2) liegt der Unterraum S

n∈N

P_n(H)^⊥ dicht inP(H)^⊥. Also existiert f¨ur jedes beliebig kleine >0, ein m∈Nund einy ∈Pm(H)^⊥, sodass ky−xk< . F¨ur alle n>m folgt wegeny∈Pn(H)^⊥,

kP_n(x)k=kP_n(x)−Pn(y)

| {z }

=0

k6kx−yk< . (3.3) Also konvergiertPn(x) gegen 0 =P(x).

Wegen P(H)⊕P(H)^⊥=H, gilt lim

n→∞LⁿL^∗n(x) =P(x) f¨ur alle x∈H.

c) Das folgt aus unserer Definition von P in Beweisteil b), siehe (3.1).

d) Wegen b) konvergiert

k

X

n=0

LⁿP0L^∗n=

k

X

n=0

Lⁿ(I−LL^∗)L^∗n=

k

X

n=0

LⁿL^∗n−Lⁿ⁺¹L^∗n+1

=L⁰L^∗0

| {z }

=I

−L^k+1L^∗k+1 (3.4) stark gegen I−P =Qf¨urk→ ∞.

e) Wegen Punkt b) gilt f¨urx∈H die Beziehung kP(x)k= lim

n→∞kLⁿL^∗nxk= lim

n→∞kL^∗n(x)k. (3.5)

Dieser Ausdruck ist Null genau dann wennx∈ker(P) =Q(H).

f) Nach Lemma 1 istL^∗Ldie Projektion auf den AnfangsraumH von L, also L^∗L=I. Die Gleichheit LP =P Lfolgt durch Grenz¨ubergangn→ ∞ in

L LⁿL^∗n

| {z }

→P

=Lⁿ⁺¹L^∗nL^∗L

|{z}

=I

=Lⁿ⁺¹L^∗n+1

| {z }

→P

L (3.6)

gem¨aß Punkt b). F¨urQfolgt dann

LQ=L(I−P) =L−LP =L−P L= (I−P)L=QL. (3.7)

h) Die Aussage folgt direkt aus Punkt e) und der Definition eines Shiftoperators, sowie der Tatsache, dass die Adjungierte von L|_Q(H):Q(H)7→Q(H) wegen f) gerade

L^∗|_Q(H):Q(H)7→Q(H) ist.

i) Die Gleichheit I =P+

∞

P

n=0

LⁿP₀L^∗n ist eine direkte Folgerung von Punkt d). F¨ur die zweite Aussage ist damit nur noch die paarweise Orthogonalit¨at der Unterr¨aume P(H), LⁿP₀(H) f¨ur allen∈N∪ {0} zu zeigen:

• UmhP(x), LⁿP₀(y)i= 0 f¨ur alle x, y∈H undn∈N∪ {0}einzusehen, betrachte x∈H.

Wegen L^∗n(H) =H, existiert f¨ur jedes y∈H einz∈H, sodass L^∗n(z) =y. Damit folgt ausP0=I−LL^∗, dass

hP(x), LⁿP0(y)i=hP(x), LⁿP0L^∗n(z)i=hP(x), LⁿL^∗n(z)−Lⁿ⁺¹L^∗n+1(z)i.

DaLⁿL^∗n die Projektion aufLⁿ(H) ist und daP(H)⊆Lⁿ(H), folgt hP(x), LⁿL^∗n(z)−Lⁿ⁺¹L^∗n+1(z)i

=hLⁿL^∗nP(x), LⁿL^∗n(z)i − hLⁿ⁺¹L^∗n+1P(x), Lⁿ⁺¹L^∗n+1(z)i

=hLⁿL^∗nP(x), zi − hLⁿ⁺¹L^∗n+1P(x), zi

=hP(x), zi − hP(x), zi= 0.

• UmhL^kP₀(x), LⁿP₀(y)i= 0 f¨ur alle x, y∈H und n, k∈N∪ {0}mitk6=nzu zeigen, gelte ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheitk > n. Aus Punkt a) und der Tatsache, dass Lnach Voraussetzung eine Isometrie ist, folgt

hL^kP0(x), LⁿP0(y)i=hL^k−nP0(x)

| {z }

∈L(H)

, P0(y)

| {z }

∈L(H)^⊥

i= 0

f¨ur alle x, y∈H.

Kapitel 4

Universal Model

Die Wold Zerlegung findet f¨ur den Beweis einiger interessanter Darstellungs- und Existenzs¨atze Anwendung. In diesem Kapitel wird einer von ihnen, der Beweis des sogenanntenU niversalen M odel aus [RR], vorgestellt. Dieses besagt, dass jeder lineare beschr¨ankte Operator, bis auf eine Multiplikative Konstante und unit¨are ¨Aquivalenz, als Adjungierte eines Shiftoperators dargestellt werden kann.

Definition 3. Ein Operator R∈L_b(H₁) ist unit¨ar ¨aquivalent zu einem Operator T ∈L_b(H₂), falls eine unit¨are AbbildungW ∈L_b(H₁, H₂) existiert, sodass R=W⁻¹T W.

Dem Shiftoperator kommt also imU niversalen M odel eine bedeutende Rolle zu. Als Spezialfall einer Isometrie gilt f¨ur diese Klasse an Operatoren nachfolgendes Resultat.

Korollar 1. Ist S ∈L_b(H) ein Shiftoperator und K =ker(S^∗) =ran(S)^⊥, so gilt a) H=

∞

L

n=0

Sⁿ(K).

b) Jedes f ∈H besitzt eine eindeutige Darstellung f =

∞

P

n=0

Sⁿ(k_n) mitk_n∈K, f¨ur alle n∈N. F¨ur diese Darstellung giltkfk²=

∞

P

n=0

kk_nk² und k_n=P₀S^∗n(f), wobei P₀ =I−SS^∗.

Beweis.

Nach Satz 3 e) gilt mit der dortigen Notation f¨ur Shiftoperatoren Q(H) =H, beziehungsweise aufgrund der Definition eines Shiftoperators,P ≡0. Damit folgt die Aussage a) aus Satz 3 i).

Zudem gilt I =

∞

P

n=0

SⁿP0S^∗n. Jedes f ∈H kann somit durchf =

∞

P

n=0

SⁿP0S^∗n(f) dargestellt werden. Da die R¨aume SⁿP₀(H) paarweise orthogonal sind, gilt

kfk² =k

∞

X

n=0

SⁿP0S^∗n(f)k² =

∞

X

n=0

kSⁿP0S^∗n(f)k² =

∞

X

n=0

kP₀S^∗n(f)k² =

∞

X

n=0

kk_nk²

mitkn=P0S^∗n(f), f¨ur alle f ∈H.

Seien nun f¨urf ∈H, mittelsk_n,1, k_n,2 ∈H,n∈N∪ {0} zwei Darstellungen gegeben, sodass f =

∞

P

n=0

Sⁿ(kn,i) f¨uri∈ {1,2} gilt. Mit der paarweisen Orthogonalit¨at derSⁿ(kn,1−kn,2) und

0 =h

n=0

S (k_n,1−k_n,2), S (k_j,1−k_j,2)i=hS (k_j,1−k_j,2), S (k_j,1−k_j,2)i=kk_j,1−k_j,2k . Somit giltk_j,1=k_j,2 und man erh¨alt die Eindeutigkeit der Darstellung.

Mit obigen Korollar kann der Satz ¨uber das Universal Model formuliert und bewiesen werden.

Definition 4. Sei H ein Hilbertraum und (ei)_i∈I eine Orthonormalbasis von H. Dann definieren wir die Dimension¹ dim(H) von H durch² dim(H) :=|I|.

Beispiel 2. SeiH ein Hilbertraum mitdim(H)=k undl²(H) der Raum der H-wertigen Folgen (an)n∈Nmit P

n∈N

kank²<∞. Der RechtsshiftS aufl²(H) sei definiert wie in Beispiel 1.

Es l¨asst sich analog wie in Beispiel 1 zeigen, dass S^∗: (x1, x2, x3, . . .)7→(x2, x3, . . .) und damit dim(kern(S^∗)) =dim(H) =k. Insbesondere gilt wieder lim

n→∞S^∗(a) = 0 f¨ur alle a∈l²(H) und S ist somit auch hier ein Shiftoperator.

Satz 4. (Universal Model)

Sei R∈Lb(H1), sodass kRk61 und lim

n→∞kRⁿfk= 0 f¨ur allef ∈H1. SeiS ∈Lb(H2) ein Shiftoperator³ mitdim(ker(S^∗))>dim(I −R^∗R(H₁)). Dann existiert ein invarianter Unterraum⁴ U von S^∗, sodass R unit¨ar ¨aquivalent zu S^∗|_U ist.

Beweis.

Betrachte den selbstadjungierten OperatorI−R^∗R. Wegen

h(I−R^∗R)x, xi=hx, xi − hR^∗Rx, xi>kxk²− kR^∗kkRkkxk²=kxk²





1− kR^∗kkRk

| {z }

61





>0 f¨urx∈H₁ ist dieser positiv. Nach [WKB], Korollar 6.5.10. gilt somit f¨ur das Spektrum σ(I−R^∗R)⊆R⁺₀ und der Spektralsatz f¨ur selbstadjungierte Operatoren liefert die Existenz einer selbstadjungierten Quadratwurzel (I−R^∗R)¹² von (I−R^∗R).

Wir definieren die Sesquilinearform [x, y] :=hB¹²(x), yi mitB :=I −R^∗R. Diese ist f¨ur alle x, y∈H1 wohldefiniert und positiv semidefinit. Aus der Cauchy- Schwarzen Ungleichung folgt

kB¹²(x)k² =hB¹²(x), B¹²(x)i= [x, B¹²(x)]

≤[x, x]·[B¹²(x), B¹²(x)] =hB¹²(x), xi · hB(x), B¹²(x)i (4.1) f¨ur beliebigesx∈H₁. Betrachtet manx∈ker(B) =ker(I−R^∗R), dann folgt aus (4.1), dass x∈ker(B¹²). Also gilt ker(B)⊆ker(B¹²) =ker((I−R^∗R)¹²) und da trivialerweise

1dim(H) ist unabh¨angig von der Wahl der Orthonormalbasis (ei)_i∈I.

2|A|bezeichnet die M¨achtigkeit einer MengeA.

3F¨ur die Existenz dieses Operators siehe Beispiel 2.

4AlsoS^∗(U)⊆U

ker((I−R^∗R)¹²)⊆ker(I−R^∗R), gilt sogar Gleichheit. Da die betrachteten Operatoren alle selbstadjungiert sind, l¨asst sich daraus auf die Gleichheit

(I −R^∗R)¹² (H1) = (ker((I−R^∗R)¹²))^⊥ = (ker(I−R^∗R))^⊥= (I−R^∗R)(H1) schließen und somit auf

dim

(I−R^∗R)¹² (H₁)

=dim

I−R^∗R(H₁)

6dim(ker(S^∗)). (4.2) Aufgrund von (4.2) existiert nun eine IsometrieJ, die von (I−R^∗R)¹²(H₁) auf einen

abgeschlossenen Teilraum K⊆ker(S^∗)⊆H₂ abbildet. Mit dieser kann ein Operator W :H₁ →H₂ definiert werden durchW(f) =

∞

P

n=0

SⁿJ(I−R^∗R)¹²Rⁿ(f) f¨ur alle f ∈H₁. Nach Korollar 1 gilt

kW(f)k²_H2 =

∞

X

n=0

kJ(I−R^∗R)¹²Rⁿ(f)k²_H2 =

∞

X

n=0

k(I−R^∗R)¹²Rⁿ(f)k²_H1

= lim

N→∞

N

X

n=0

h(I−R^∗R)¹²Rⁿ(f),(I−R^∗R)¹²Rⁿ(f)i_H1

= lim

N→∞

N

X

n=0

hR^∗n(I−R^∗R)Rⁿ(f), fi_H1 = lim

N→∞h

N

X

n=0

R^∗n(I−R^∗R)Rⁿ

| {z }

=R^∗nRⁿ−R^∗n+1Rⁿ⁺¹

(f), fi_H1

= lim

N→∞hR^∗0R⁰

| {z }

=I

(f)−R^∗N+1R^N+1(f), fi_H1 = lim

N→∞hf, fi_H1− hR^∗N+1R^N+1(f), fi_H1

=hf, fi_H1− lim

N→∞hR^N+1(f), R^N+1(f)i_H1 =hf, fi_H1 =kfk²_H1.

Damit istW isometrisch und infolge ein Isomorphismus vonH1 nachW(H1). Wir zeigen noch S^∗W(f) =W R(f) f¨ur alle f ∈H₁:

S^∗W(f) =

∞

X

n=0

S^∗SⁿJ(I−R^∗R)¹²Rⁿ(f)

=S^∗J(I−R^∗R)¹²(f)

| {z }

∈ker(S^∗)

+

∞

X

n=1

S^∗S

|{z}

=I

Sⁿ⁻¹J(I−R^∗R)¹²Rⁿ(f)

=

∞

X

n=0

SⁿJ(I−R^∗R)¹²RⁿR(f) =W R(f)

Wegen S^∗W(H) =W R(H)⊆W(H) ist der UnterraumW(H) invariant bez¨uglich S^∗ und R=W⁻¹S^∗W ist zu S^∗|_W(H) unit¨ar ¨aquivalent.

[RR] Marvin Rosenblum and James Rovnyak: Hardy Classes and Operator Theory, Oxford University Press, New York 1985.

[WKB] Harald Woracek, Michael Kaltenb¨ack, Martin Bl¨umlinger:Funktionalanalysis, Technische Universit¨at Wien , 8. Auflage, Februar 2014.