QUADRATISCHE MORPHISMEN

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QUADRATISCHE MORPHISMEN

Dau Truong Tan ETHZ 20. M¨arz 2002

Vorwort

Ich bin allen Leuten sehr dankbar, die mir geholfen haben, diese Diplomar- beit zu erstellen, insbesondere den Doktoranden Francis Gardeyn und Matt- hias Traulsen, und zu Prof. Richard Pink, die mit viel Geduld mit mir ge- arbeitet haben.

DANKE!

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Der abstrakte bin¨are Baum 3

2.1 Definition des abstrakten bin¨aren Baumes T^a . . . 3

2.2 Die Automorphismengruppe vonT^a . . . 5

3 Quadratische Morphismen 5 3.1 Vorbereitung . . . 5

3.2 Der bin¨are Baum T^Gal . . . 7

3.3 Das Ziel der Diplomarbeit . . . 8

3.4 Der geometrische bin¨are BaumT_x₀ . . . 8

3.4.1 Die Fundamentalgruppeπ₁ . . . 10

3.4.2 Operation von π₁ auf T_x0 . . . 11

3.5 Zusammenhang zwischenT^Gal, T_x₀ undT^a. . . 11

3.5.1 Der Isomorphismust^G_x₀ vonT_x0 nachT^Gal . . . 11

3.5.2 Der Isomorphismust^a_x₀ vonT^a nach T_x0 . . . 13

3.6 Ubersetzung Galoisgruppe—Fundamentalgruppe . . . .¨ 15

3.7 Rekursive Beschreibung der GruppeG . . . 15

3.8 Explizite Berechnungen der GruppeG . . . 20

3.8.1 Beispiel . . . 20

3.8.2 Beispiel . . . 22

3.8.3 Tabellen . . . 25

3.9 Weitere Untersuchung des Graphen Γ4.7 . . . 49

(2)

3.10 Unendliche Verzweigungsgraphen . . . 57

4 Anhang 62

4.1 Die Fundamentalgruppe . . . 62 4.2 Uberlagerungen . . . .¨ 63

1 Einleitung

Sei k ein algebraisch abgeschlossener K¨orper, dessen Charakteristik von 2 verschieden ist.

Ein quadratischer Morphismus ist ein Morphismus f : P¹(k) → P¹(k) vom Grad 2. Da es eine Entsprechung zwischen algebraischen irreduziblen Kurven und Funktionenk¨orpern in einer Variablen gibt, entspricht ein quadratischer Morphismus einer Einbettung f_∗ : k(t) ,→ k(t) des Funktio- nenk¨orpers k(t) von P¹(k) in sich selbst. Wir setzen K_n := k(t) und betrachten eine Iteration solcher Einbettungen:

K₀ ,→^f^∗ K₁ ,^f→^∗ K₂,^f→^∗ . . .,→^f^∗ K_n,^f→^∗ . . . .

SeiL_ndie Galoish¨ulle vonK_nuber¨ K₀. Man kann EinbettungenL_n,→L_n+1 so w¨ahlen, dass das Diagramm

L₀ ^//L₁ ^//L₂ ^//L₃ ^//. . .

K0 //K?OO1 //

K?OO2 //

K?OO3 //

. . .

(1)

kommutativ ist. Wir setzen G_n := Gal(L_n, K₀). Hauptziel dieser Diplom- arbeit ist, den inversen Limes G := lim

←−G_n f¨ur verschiedene quadratische Morphismen zu untersuchen.

Jedem quadratischen Morphismus f kann man einen Verzweigungsgraph Γ_f = (V_Γ_f, E_Γ_f) zuordnen, der gewisse Eigenschaften erf¨ullt. Wir werden dann einige (meist endliche) Graphen Γ mit diesen Eigenschaften betrachten und untersuchen, welche quadratische Morphismenf mit Γ_f = Γ es gibt.

Im Fallk=Cwerden wir einen Zusammenhang finden zwischenGund der Fundamentalgruppe π₁:=π₁(P¹(C)rV_Γ_f, x₀). Dieser Zusammenhang wird uns erlauben, die GruppeG konkret zu bestimmen.

Hintergrund dieses Zusammenhangs ist die Tatsache, dass man aus dem Diagramm (1) einen bin¨aren Baum T^Gal konstruieren kann. Es stellt sich heraus, dassGin derAutomorphismengruppe Aut(T^Gal) vonT^Gal enthalten ist. Da der Baum T^Gal mathematisch wenig handlich ist, werden wir einen

“sinnvollen” Isomorphismus von T^Gal auf einem abstrakten binären Baum Tâangeben (vgl. Abschnitt 3.5). Die Konstruktion dieses Isomorphismus ge- schieht durch Betrachtung eines dritten Baums, des geometrischen binären

(3)

Baums Tx0 (vgl. Abschnitt 3.4).

Dann besteht der Zusammenhang darin, dass man einen Gruppenhomomor- phismus

l:π1→Aut(T^a)

hat, so dassG :=l(π1) eine Untergruppe vonG ist, die in der proendlichen Topologie dicht in G ist. Somit ist Gvollst¨andig bestimmt durch G. Es ist bekannt, dass π₁ eine endliche erzeugte freie Gruppe ist, (vgl. Abschnitt 3.4.1) und somit ist G eine endliche erzeugte Gruppe. Mit Hilfe expliziter Erzeugenden von π₁ k¨onnen wir dann explizit Erzeugende von G angeben.

(Vgl. Abschnit 3.7 und 3.8). Der Vorteil, in Aut(T^a) statt in Aut(T^Gal) zu arbeiten, ist dass die Automorphismen rekursiv dargestellt werden k¨onnen (vgl. Abschnitt 3.7).

Solche Darstellungen sind besonders n¨utzlich in expliziten Rechnungen. Dies wird im Abschnitt “Weitere Untersuchung des Verzweigungsgraphen Γ4.7”

best¨atigt, wo man drei Morphismenf_i, f₁₊^√₂, f₁₋^√₂mit demselben Verzwei- gungsgraph betrachtet und die Gruppen Gi,G₁₊^√₂,G₁₋^√₂ untersucht. Wir werden finden, dass sie in derselben Konjugationsklasse liegen, und ein Ele- ment finden, unter demGⁱ undG1+√

2 konjugiert sind.

In Abschnitt 3.10 setzen wir uns mit der Frage auseinander, wieG f¨ur Mor- phismen mit gewissen unendlichen Verzweigungsgraphen aussieht. Leider konnten wir dies nicht vollst¨andig beantworten.

Die Grundlagen für diese Arbeit enstammen der algebraischen Topologie, Graphentheorie, Kombinatorik, Geometrie. Wir waren bemüht, die nötigen Begriffe und Sachverhalte einzuführen

2 Der abstrakte bin¨ are Baum

2.1 Definition des abstrakten bin¨aren Baumes T^a

Definition 2.1 Einabstrakter orientierter Graph ist ein Paar (V, E), wobei V eine Menge ist undE eine Teilmenge vonV×V, so dass wenn (v, w)∈E liegt, dann (w, v)6∈E. Elemente vonV heissen Ecken und Elemente von E heissenKanten.

Definition 2.2 Zwei Graphen (V, E) und (V⁰, E⁰) sind genau dann isomorph, wenn es eine Bijektion von V nach V⁰ gibt, die E inE⁰ ¨uberf¨uhrt.

Definition 2.3 SeiV das freie Monoid erzeugt vom “Alphabet”{0,1}mit Einselement ø, und sei

E={(x, xi)|i∈ {0,1}, x∈V }.

Der Graph Tâ = (V, E) heisst abstrakter binärer Baum oder kurz binärer Baum und ø heisst die Wurzel vonTâ.

(4)

ø

0^ggggg^ggggg ^W^W^W^W^W^W1 WW

WW 00^ooo^o

??? ^O^O01 OO

??? 10^ooo^o

??? ^O^O11 OO

???

Bemerkung 2.4 Jeder Graph, der isomorph zuT^aist, ist ein bin¨arer Baum.

Auf der EckenmengeV vonT^agibt es eineNiveaufunktion |?|, die jedem Element v ∈ V die Anzahl seiner Buchstaben |v| zuordnet. Die Wurzel ø besitzt Niveau 0. Die Eckenmenge V wird ein metrischer Raum, falls man als Metrik d den normalen Abstand auf einem Graph nimmt, d.h., f¨ur alle u, v∈V ist

d(u, v) =|u|+|v| −2|w|, wobeiw das gr¨osste gemeinsame Pr¨afix von uund v ist.

Der BaumT^a erf¨ullt zwei wichtige Eigenschaften:

i) Seiu∈V. Dann bildet der GraphT_u^a mit Eckenmenge uV :={uv|v∈V }

und Kantenmenge

uE :={(ux, uy)|(x, y)∈E}

einen Teilbaum, der isomorph zum ursprünglichen Baum Tâ ist. Der kanonische Isomorphismusι_u ist gegeben durch Auslöschen des Präfix u.

ii) Der Baum Tâ ist die Vereinigung der endlichen Teilbäume Tâ,j mit Eckenmenge

V_j :={v |v∈M,|v| ≤j} und Kantenmenge

E_j :={(x, y)∈E| |y| ≤j} f¨ur alle j∈N₀.

(5)

2.2 Die Automorphismengruppe von T^a

Sei Aut(Tâ) die Automorphismengruppe von Tâ. Sei σ ∈Aut(Tâ) der Au- tomorphismus, der jedes Element inV der Form 0mmit 1mvertauscht. Ein Automorphismus α von Tâ mit Fixpunkten 0 und 1 ist darstellbar als ein geordnetes Paar (α₀, α₁), wobei α_i die Einschränkung von α auf den Teil- baum T_iâ ist. Da T₀â und T₁â isomorph zu Tâ sind, können wir via ι0 bzw.

ι₁ die Automorphismenα₀ und α₁ mit Automorphismen vonTâ identifizieren. Deshalb können wir einen allgemeinen Automorphismus auf eindeutige Weise darstellen als (α₀, α₁)σⁱ^ø, wobei i_ø ∈ {0,1}. Fährt man wie oben fort, dann bekommt man für jeden Automorphismus von Tâ eine Entwicklung der Form

. . .((σⁱ⁰⁰, σⁱ⁰¹),(σⁱ¹⁰, σⁱ¹¹))(σⁱ⁰, σⁱ¹)σⁱ^ø,

wobei jeder Exponenti_v mitv ∈ V in {0,1} liegt. Insbesondere bestimmt jeder Automorphismus eine Folge

(i_ø, i₁, i₀, i₁₁, i₁₀, i₀₁, . . .)

mit Einträgen in {0,1}. Umgekehrt kann jede Folge in {0,1} aufgefasst werden als Entwicklung eines Automorphismus von Tâ. Es folgt, dass die Kardinalität von Aut(Tâ) gleich 2^N⁰ ist. Die Multiplikation in Aut(Tâ) ist bestimmt durch

σ(α₀, α₁)σ= (α₁, α₀) und

(α₀, α₁)(β₀, β₁) = (α₀β₀, α₁β₁).

(Siehe [5].)

3 Quadratische Morphismen

Sei k ein algebraisch abgeschlossener K¨orper, dessen Charakteristik von 2 verschieden ist.

3.1 Vorbereitung

Definition 3.1 Ein quadratischer Morphismus ist ein Morphismus f :P¹(k)→P¹(k) vom Grad 2.

Bemerkung 3.2 Jeder quadratische Morphismusf , l¨asst sich in der Form f(x) = a0x²+a1x+a2

b₀x²+b₁x+b₂ mita0, a1, a2, b0, b1, b2∈kschreiben.

(6)

Satz 3.3 Seif :P¹(k)→P¹(k) ein quadratischer Morphismus. Dann istf

¨uber genau zwei Punkten verzweigt.

Beweis: Da Char(k)6= 2 und e_p ≤2 f¨ur jeden Punkt p∈P¹(k) ist, ist die Verzweigung zahm. Nach Hurwitz gilt

2g−2 = (2g−2) deg(f) + X

p verzweigt

(e_p−1). (2)

Da deg(f) = 2 und das Geschlecht von P¹(k) gleich 0 ist, reduziert sich (2)

auf X

p verzweigt

(e_p−1) = 2. (3)

Damit (3) gilt, mussf uber genau zwei Punkten verzweigt sein.¨ 2 Lemma 3.4 Die Gruppe PGL₂(k) operiert dreifach transitiv auf P¹(k).

D.h. für je zwei Tripel verschiedener Elemente aus P¹(k) gibt es ein Ele- ment inPGL2(k), das das eine Tripel in das andere überführt.

Beweis: Es gen¨ugt, die folgende Behauptung zu beweisen: F¨ur je drei verschiedene Punkte a := [a₁ : a₂], b := [b₁ : b₂] und c := [c₁ : c₂] in P¹(k) existiert eine invertierbare MatrixM ∈PGL2(k), so dass aauf [0 : 1],bauf [1 : 0] undc auf [1 : 1] abgebildet wird. Sei

M =

a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂

und sei

N =

a₁ b₁ a₂ b₂

.

Damit die Behauptung stimmt, muss es λ, µ, ν∈k^∗ geben, so dass M

a₁ a₂

= 0

λ

(4) M

b₁ b₂

= µ

0

(5) M

c₁ c₂

= ν

ν

(6) Wir setzen ν = 1 und bestimmenM, λ und µso, dass die Gleichungen (4), (5) und (6) erf¨ullt sind. Die Gleichungen (4) und (5) k¨onnen mit Hilfe der MatrixN in der folgenden Matrixgleichung zusammengefasst werden:

M N =

0 µ λ 0

.

(7)

Da die Matrix N nach Voraussetzung invertierbar ist, folgt, dass die Zeilen vonM eindeutig bestimmt sind bis auf skalare Multiplikation. Wieder nach Voraussetzung sind (−a₂c₁+a₁c₂) und (b₂c₁−b₁c₂) von 0 verschieden, deswegen k¨onnen wir

λ= det(N)ν/(−a₂c₁+a₁c₂) und µ= det(N)ν/(b₂c₁−b₁c₂) w¨ahlen. Mit dieser Wahl gilt auch Gleichung (6). 2

Aus Satz (3.3) und Lemma (3.4) folgt sofort, dass wir einen quadratischen Morphismusf mit einem Element von PGL₂(k) so konjugieren k¨onnen, dass f genau ¨uber 0 und ∞ verzweigt ist. Dann impliziert Bemerkung 3.2 folgenden Satz:

Satz 3.5 Ein quadratischer Morphismusf :P¹(k)→P¹(k) besitzt die Nor- malform

f(x) =

ax+b cx+d

2

mita, b, c, d∈kbis auf Konjugation mit einem Element aus PGL₂(k). 2 Bemerkung 3.6 Wegen Satz 3.5 werden wir stets annehmen, dass unsere quadratischen Morphismen in Normalform sind.

Wir betrachten einen quadratischen Morphismus f : P¹(k) → P¹(k).

Dieser Morphismus entspricht einer separablen Einbettung vom Grad 2 des Funktionenk¨orpersk(t) von P¹(k) in sich selbst:

f^∗ :k(t),→k(t) g7→g◦f.

Wir setzenK_n=k(t) f¨ur alleninNund betrachten folgende Inklusionen von Funktionenk¨orpern:

K0 f^∗

,→K1 f^∗

,→K2 f^∗

,→. . .,→^f^∗ Kn f^∗

,→. . . .

Mit Hilfe dieser Inklusionen k¨onnen wir einen bin¨aren Baum konstruieren:

3.2 Der bin¨are Baum T^Gal

Sei L_n die Galoish¨ulle von K_n uber¨ K₀ f¨ur alle n∈N₀. Dann existiert ein kommutatives Diagramm der Gestalt:

L₀ ^//L₁ ^//L₂ ^//L₃ ^//. . .

K₀ ^//K^? ₁ ^//

OO

K^? ₂ ^//

OO

K^? ₃ ^//

OO

. . .

(7)

(8)

SetzeT_n^Gal = HomK0(Kn, Ln). Die MengeT_n^Gal besitzt 2ⁿ Elemente, und es gibt eine nat¨urliche Abbildung

T_n^Gal→T_n^Gal₋₁ ι7→ι|Kn−1,

wobeiι|K_n₋₁ die Einschr¨ankung vonιaufK_n₋₁ ist. Ausserdem operiert die GruppeG_n:= Gal(L_n/L₀) auf T_n^Gal wie folgt :

Gn×T_n^Gal →T_n^Gal (g, ι)7→g◦ι.

Betrachten wir nun den bin¨aren Baum T^Gal mit Eckenmenge V :=[

n

T_n^Gal

und Kantenmenge

E :={(a, b)∈V ×V | ∃n∈N:a∈T_n^Gal, b∈T_n+1^Gal und b|Kn =a}. Dann operiert G:= lim

←−Gn auf T^Gal auf nat¨urliche Weise.

3.3 Das Ziel der Diplomarbeit

Unser Ziel ist es, G_n und G⊂Aut(T^Gal) zu beschreiben. Dazu werden wir im n¨achsten Abschnitt eine geometrische Beschreibung des bin¨aren Baums T^Gal, der GruppeG_n und der GruppeG kennenlernen.

3.4 Der geometrische bin¨are Baum T_x0

Ab jetzt beschr¨anken wir uns aufk=Cund verwenden folgende Notation:

- f⁰:=id.

- fⁿ:=f ◦. . .◦f

| {z }

n−mal

f¨ur alle n∈N.

Definition 3.7 Sei f :P¹(C)→ P¹(C) ein quadratischer Morphismus, der

¨uber 0 und∞ verzweigt ist. Der Graph Γ_f mit Eckenmenge VΓf :={fⁿ(0)|n∈N₀} ∪ {fⁿ(∞)|n∈N₀} und Kantenmenge

E_Γ_f :={(a, b)∈V_Γ_f ×V_Γ_f |f(a) =b} heisstder Verzweigungsgraph von f.

(9)

Bemerkung 3.8 Nach Konstruktion gilt:

• P¹(C)r(fⁿ)⁻¹(VΓf)⊂P¹(C)rVΓf.

• Die Abbildung

f_n:P¹(C)r(fⁿ)⁻¹(V_Γ_f)→P¹(C)rΓ

ist eine unverzweigte ¨Uberlagerung. (vgl. Definition??in Anhang 4.2.) Bemerkung 3.9 Da f genau ¨uber 0 und∞ verzweigt ist, besitzt Γ_f folgende Eigenschaften:

i) Es gibt h¨ochstens einen Punkta∈VΓf, so dass (a,0)∈EΓf. ii) Es gibt h¨ochstens einen Punktb∈V_Γ_f, so dass (b,∞)∈E_Γ_f.

iii) F¨ur c∈ VΓf gibt es h¨ochstens zwei Punkte a, b ∈VΓf mit der Eigen- schaft:

(a, c)∈E_Γ_f und (b, c)∈E_Γ_f.

Sei f : P¹(C) → P¹(C) ein quadratischer Morphismus mit Verzweigungs- graph Γ_f = (V_Γ_f, E_Γ_f). Wir w¨ahlen einen Punkt x₀ in P¹(C)rV_Γ_f. Das Urbild T_x0,n von x₀ unter fⁿ besteht aus genau 2ⁿ verschiedenen Elemen- ten, die nicht inV_Γ_f liegen. Der geometrische bin¨are BaumT_x₀ sei der Graph mit Eckenmenge

V_x0 := G

n∈N₀

T_x0,n

und Kantenmenge

E_x0 :={(a, b)∈V_x0×V_x0 | ∃n∈N:a∈T_x0,n, b∈T_x0,n+1 und f(b) =a }. Der Punktx₀ ist dann die Wurzel des geometrischen bin¨aren Baums.

Es gilt folgende Proposition:

Proposition 3.10 Sei τ ein Weg von x₀ nach z₀ in P¹(C)rV_Γ_f. F¨ur y ∈ T_x0,n sei i_τ(y) der Endpunkt des Lifts von τ unter fⁿ mit Anfangspunkt y.

Dann ist i_τ :V_x0 →V_z0 ein Isomorphismus von T_x0 nach T_z0. Beweis: Da der Morphismus

fⁿ:P¹(C)r(fⁿ)⁻¹(V_Γ_f)→P¹(C)rV_Γ_f

eine unverzweigte ¨Uberlagerung ist, folgt aus Satz 4.9 in Anhang 4.2, dass f(i_τ(b)) = i_τ(a) f¨ur jedes Element (a, b) ∈ V_x0, d.h. die Abbildung i_τ : T_x₀ →T_z₀ ist wohldefiniert. Wegen Satz 4.9 folgti_τ−1i_τ =id_T_x₀ undi_τi_τ−1 =

idTz0. 2

Bemerkung 3.11 Da der geometrische bin¨are Baum Tx0 von f und x0

abh¨angt, werden wir ihn mit T_x^f0 bezeichnen, wenn Unklarheiten entstehen k¨onnen.

(10)

3.4.1 Die Fundamentalgruppe π1

Sei Σ eine nichtleere endliche Teilmenge vonP¹(C). Wir bezeichnen mitπ₁ die Fundamentalgruppe vonP¹(C)rΣ bez¨uglich eines festen Basispunktsx0

inP¹(C)rΣ (vgl. die Definition in Anhang 4.1). Wir k¨onnen dann folgenden Satz ¨uber die Struktur der Gruppeπ₁ formulieren:

Satz 3.12 Die Gruppe π1 ist eine freie Gruppe auf|Σ| −1 Elementen.

Beweis: Sei Σ = {y₀, . . . , y_n}. Wir wählen ein A ∈ PGL₂(C) mit Ay₀ = [1 : 0]. Da die Fundamentalgruppe topologisch invariant und da A ein Homöomorphismus ist, folgt π1 ∼=π1(P¹(C)rAΣ, Ax0). Dabei gilt [1,0] ∈ AΣ und|AΣ|=|Σ|. Somit können wir o.B.d.A. annehmen, dass y₀= [1 : 0]

und damity₀∈Σ liegt. Wir setzen

φ:P¹(C)r{y₀} →C [a₁ :a₂]7→a₁/a₂.

Dann istφein Homöomorphismus undP¹(C)rΣ ist viaφhomöomorph zu C rS_Σ für eine Menge S_Σ ⊂ C mit|S_Σ|= |Σ| −1 Elementen. Durch An- wendung des Satzes von Seifert und Van Kampen (siehe Abschnitt 3 “ First application of Theorem (2.1)” in [2]) erhält man, dass π1(C rSΣ, φ(x0)) eine freie Gruppe auf |S_Σ| Elementen ist. Aus der topologischen Invarianz der Fundamentalgruppe folgt nun die Behauptung. 2 Für das Folgende ist es sehr wichtig zu wissen, wie man ein freies Er- zeugendensystem der freien Gruppeπ₁ findet. Zum Beispiel betrachten wir Σ ={z₀, z₁, z₂, . . . , z_n}mitz₀ :=∞. Für alleiseiU_i eine offene Umgebung von z_i, so dass für i 6= j gilt: U_i ∩U_j = ø. Sei γ_i ein positiv orientierter geschlossener Weg inU_i mit Anfangspunktz_i⁰, der Umlaufzahl 1 um z_i hat, und seiβ_i ein Weg in P¹(C)rΣ von x₀ nach z_i⁰. Mitσ_i bezeichnen wir den Wegβ_i⁻¹γ_iβ_i umz_i. Dann bildet die Menge{[σ₁], . . . ,[σ_n]}ein freies Erzeu- gendensystem der Gruppe π₁. Durch geeignete Wahl der Wege β_i können wir erreichen, dass

[σ₀][σ_n]. . .[σ₁] = 1.

Wir skizzieren ein Bild dieserσ_i f¨urn= 4, wobei [σ_∞] := [σ₀]:

(11)

∞• .. ...

...ks+3...

z•₄

HOINJMKL

^ks

+3

z•2

HOINJMKL

^ks

+3

z•₁

HOINJMKL

^ks

+3

x₀ z•3 •

HOINJMKL

^ks

+3

P¹(C)rΣ

oo//σ₃

kkkkkkuu55 kk σ₄ 9999

9999 99999

\\σ₂

OOσ1

//ooσ_∞

Definition 3.13 Sei Σ = {z₀, z₁, z₂, . . . , z_n} ⊂ P¹(C) mit z₀ := ∞ und z₁ := 0 die Eckenmenge des Verzweigungsgraphen eines quadratischen Mor- phismus. Die oben definierten ¨Aquivalenzklassen [σi]∈π1 heissenVerzwei- gung bei z_i.

3.4.2 Operation von π₁ auf T_x0

Genauso wie die GruppeGaufT^Galoperiert (siehe Abschnitt (3.2)), operiert die Gruppe π₁ auf T_x₀, und zwar wie folgt: Sei α ein Repr¨asentant von [α]∈π1 und seiy∈Tx0,n. Seil_[α](y) der Endpunkt des Lifts vonα unterfⁿ mit Anfangspunkty. Da

fⁿ:P¹(C)r(fⁿ)⁻¹(V_Γ_f)→P¹(C)rV_Γ_f

eine Überlagerung ist, hängt diese Operation nicht von der Wahl des Re- präsentanten ab (siehe Satz 4.9 in Anhang 4.2).

Wir werden in Abschnitt 3.6 sehen, welche Beziehung zwischen π₁ und G= lim

←−G_n besteht.

3.5 Zusammenhang zwischen T^Gal, T_x₀ und T^a 3.5.1 Der Isomorphismus t^G_x₀ von T_x₀ nach T^Gal

Seii_ndie Einbettung vonK_n inL_n(siehe das kommutative Diagramm (7)).

Wir w¨ahlen eine Folgex_n mit Eintr¨agen inT_x₀, so dassx_ninT_x₀_,n liegt und f(x_n) =x_n₋₁ ist.

Die Angabe eines Isomorphismus t^G_x₀ von T_x0 nach T^Gal ist ¨aquivalent zur Angabe einer Familie von Bijektionent^G_x₀_,n :T_x₀_,n→T_n^Gal, so dass folgendes Diagramm kommutativ ist:

(12)

T_x0,n−1 t^G_x

0,n−1

T_x0,n

oo f

t^Gx0,n

T_n^Gal₋₁_res T_n^Gal

Kn−1

oo

(8)

Wir werden einen Isomorphismust^G_x₀ konstruieren, so dasst^G_x₀(x_n) =i_n. Konstruktion dert^G_x₀_,n: Der KörperLn ist der Funktionenkörper K(Yn) einer irreduziblen algebraischen Kurve Y_n, und das kommutative Diagramm (7) ist äquivalent zum folgenden:

P¹(C)oo h Y1

Y2

oo h

Y3

oo h

. . .

oo h

P¹(C)ôo ^f P¹(C)ôo ^f P¹(C)ôo ^f P¹(C)oo ^f . . .

(9)

Die Abbildung

hⁿ:Y_nr(hⁿ)⁻¹(V_Γ_f)→P¹(C)rV_Γ_f

ist eine zusammenhängende Galois- Überlagerung (siehe Definition 4.12 in Anhang 4.2). Deswegen bestimmt jedesz_n∈(hⁿ)⁻¹(x₀) überx_n einen sur- jektiven Homomorphismus ψ_z_n von π₁ in die Gruppe Dn der Deckbewe- gungen von Y_nr(hⁿ)⁻¹(V_Γ_f) (siehe Definition 4.10 und Bemerkung 4.15 in Anhang 4.2). Wir wählen eine Folge y_n, so dass y_n ∈ (hⁿ)⁻¹(x_n) und h(y_n) =y_n₋₁. Da es eine Entsprechung zwischen algebraischen irreduziblen Kurven und Funktionenkörpern in einer Variablen gibt, und nach der Theo- rie der Galois- Überlagerung ist Dn zu G_n = Gal(L_n, K₀) isomorph. Sei φ_n der Isomorphismus vonDnnachG_n. Dann ists_n:=φ_nψ_y_n die entsprechende surjektive Abbildung vonπ₁ nachG_n. Das Bild des StabilisatorsS_π₁(x_n) un- tersnist Gal(Ln, Kn). Mit Hilfe des ersten Isomorphiesatzes und da sowohl G_nauf T_n^Gal als auchπ₁ auf T_x0,n transitiv operiert, haben wir Bijektionen:

T_n,x0

←→1:1 π₁/S_π1(x_n)←→^1:1 G_n/Gal(L_n, K_n)←→^1:1 T_n^Gal. (10) Sei t^G_x₀_,n die Bijektion von T_x0,n nach T_n^Gal. Dann erf¨ullen diet^G_x₀_,n das kommutative Diagramm (8) und die Gleichungt^G_x₀_,n(x_n) =i_n.

Lemma 3.14 Die Bijektionen t^G_x₀_,n sind bis auf Konjugation unabh¨angig von der Wahl vonyn.

Beweis: Seien y_n und y_n⁰ zwei Punkte ¨uber x_n. Bezeichnen wir mit ˜f die Deckbewegung ˜f(y_n, y_n⁰) (siehe Satz 4.13 in Anhang 4.2), dann gilt ψ_y0n = ˜f ψ_y_nf˜⁻¹. Somit folgt, dasss⁰_nund s_n konjugiert sind. 2

(13)

3.5.2 Der Isomorphismus t^a_x₀ von T^a nach Tx0

Seien ˜x₀ und ˜x⁰₀ die Urbilder von x₀ unter f. Wir w¨ahlen Wege τ bzw. τ⁰ inP¹(C)rVΓf von x0 nach ˜x0 bzw. von x0 nach ˜x⁰₀.Diese Wege induzieren einen Automorphismusσ_{τ τ}0 vonT_x0:

σ_{τ τ}0(x) =











Endpunkt des Lifts vonτ⁰τ⁻¹ unterfⁿ mit Anfangspunkt x, fallsx∈T_˜_x0,n

Endpunkt des Lifts von τ τ⁰⁻¹ unter fⁿmit Anfangspunkt x, fallsx∈T_˜_x0

0,n

x₀, fallsx=x₀.

Wir suchen einen Isomorphismustâ_x₀ vonTânachT_x0, so dass folgende zwei Eigenschaften erfüllt sind:

i) tâ_x₀ induziert Isomorphismen von T₀ânach T˜x0 und von T₁â nachT_x_˜0 0, ii) tâ_x₀σ(tâ_x₀)⁻¹ =σ_{τ τ}0.

Wir identifizieren die binären BäumeT₀â undT₁âmitTâ mittels der Isomor- phismenι₀ und ι₁. Ferner identifizieren wir die binären BäumeT_x_˜0 undT_˜_x0

0

mitT_x0 via i_τ undi⁰_τ.

Seien A₁ :=Tâ, A₂ :=Tâ, B₁ :=T_x₀ und B₂ :=T_x₀. Wir bezeichnen mitgâ den Isomorphismus

{ø} tA₁tA₂ →T^a x7→







ι⁻₀¹(x) , fallsx∈A₁ ι⁻₁¹(x) , falls x∈A2

ø , fallsx= ø und mit g_x₀ den Isomorphismus

{x₀} tB₁tB₂→T_x0

x7→







i_τ(x) , fallsx∈B₁ ι_τ0(x) , fallsx∈B₂

x0 , fallsx=x0

Bemerkung 3.15 Sei r :T^a → T_x0 ein Isomorphisums. Dann induziert r auf nat¨urliche Weise ein Isomorphismus

r :{ø} tA₁tA₂ → {x₀} tB₁tB₂ so, dassr(A_i) =B_i undr(ø) =x₀.

(14)

Proposition 3.16

(1) Es existiert ein eindeutiger Isomorphismustvon T^a nach T_x0, so dass folgendes Diagramm kommutiert:

{ø} t T^a

t

t T^a ^g

a

∼ //T^a

t

{x₀} t T_x₀ t T_x₀ ^g^x⁰_∼ //T_x₀

(11)

(2) terf¨ullt die obigen Eigenschaften i) und ii).

Beweis: Existenz (mit Induktion): Wir setzen







t(ø) =x0

t(0) = ˜x₀ t(1) = ˜x⁰₀

Dann ist t bestimmt bis Niveau n = 1. Sei nun t bestimmt bis Niveau n.

F¨ur

x∈T_n+1â :={v∈V | |v|=n+ 1} ist (gâ)⁻¹(x)∈T_nâ, und wir definieren rekursiv

t(x) =g_x₀ ◦t◦(g^a)⁻¹(x)∈T_n+1^a .

Somit erf¨ullt t nach Konstruktion das kommutative Diagramm (11). Eine

¨ahnliche Konstruktion zeigt, dass es einen Morphismus t⁰ : T_x0 → T^a gibt, so dass folgendes Diagramm kommutativ ist:

{ø} t T^a t T^a ^g

a

∼ //T^a

{x₀} t Tx0

t⁰

OO

t Tx0

gx0

∼ //Tx0

t⁰

OO (12)

Da

t◦t⁰=id_T_x₀ und t⁰◦t=id_T^a

gilt, isttein Isomorphismus vonT^a nachT_x₀. Die Eindeutigkeit vontfolgt aus der Kommutativit¨at des Diagramms (11).

Die Behauptung (2) des Lemmas folgt sofort aus (1). 2 Ab jetzt identifizieren wir die BäumeTâ, T^Gal, T_x₀ auf diese Wei- se. Somit sind auch Aut(Tâ),Aut(T^Gal),Aut(T_x0) identifiziert.

Bemerkung 3.17 Mit Hilfe dieser Identifikation können wir alle Fragestel- lungen zum binären Baum T^Gal in Fragestellungen zum binären Baum Tâ

¨ubersetzen. Der BaumT^ahat den Vorteil, dass er mathematisch handlicher alsT^Gal ist.

(15)

3.6 Ubersetzung Galoisgruppe—Fundamentalgruppe¨ Da der quadratische Morphismus

f :P¹(C)rf⁻¹(V_Γ_f)→P¹(C)rV_Γ_f

eine ¨Uberlagerung ist, induziert [α]∈π₁ einen Automorphismusl_[α]vonT_x0

(vgl. 3.10 und beachte, dass x₀ =z₀ und τ =α). Somit erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus

l:π₁ →Aut(T_x₀) [α]7→l_[α].

Da l ein Gruppenhomomorphismus ist, ist das Bild G von π₁ eine Un- tergruppe von Aut(T_x₀).

Von dem Abschnitt 3.5.1 wissen wir, dass sn : π1 → Gn ein surjektiver Homorphismus ist. Somit gilt

Gn'π1/ker(sn).

Nach Konstruktion des Isomorphismust^G_x₀ ist das Diagramm π₁ ^l //

sn

@

@@

@ G ^//Aut(Tx0)

o

G_n ^//Aut(T^Gal)

(13)

kommutativ. Wir bezeichnen mit g_n den Gruppenhomomorphismus G → G_n. Die Gruppenhomomorphismen g_n sind vertr¨aglich mit dem inversen SystemGn, und wegen der universellen Eigenschaft des inversen Limes gibt es einen Gruppenhomomorphismus vonGnachG= lim

←−G_n. Da sowohlG als auchG in Aut(T^a) liegen, folgtG ⊂G. Die Surjektivit¨at von g_n impliziert, dassGinGdicht liegt. Somit istGder Abschluss vonGin der proendlichen Topologie.

Bemerkung 3.18 Da die GruppeG vonf und x₀ abh¨angt, werden wir sie mitGf,x0 bezeichnen, wenn Unklarheiten entstehen k¨onnen.

3.7 Rekursive Beschreibung der Gruppe G

Ein Automorphismus in Aut(Tâ) kann auf verschiedene Weise dargestellt werden. Besonders nützlich für explizite Rechnungen ist es, Automorphis- men rekursiv darzustellen, zum Beispiela= (1, a)σ. Rekursive Darstellun- gen eines Automorphismus sind nicht eindeutig, wie folgende Proposition zeigt:

(16)

Proposition 3.19 Wir betrachten die Automorphismen a= (1, a) und b= ((b, b),1) in Aut(T_x0). Dann gilt a=b=id.

Beweis:

- a= (1, a) =id (mit Induktion): Sein= 1. Nach Definition ist aø = ø unda|T₁â=id_T₁â. Nehmen wir also an, dassa|T_nâ=id_T_nâ fürn >1.

Sei x ∈ T_0,nâ , dann gilt ax = (1, a)x =x. Für x ∈ T_1,nâ , ist ι₁x ∈ T_nâ, und nach Induktionsvoraussetzung gilt

ax= (1, a)x=ι⁻₁¹aι1x=x.

DaT_n+1â =T_0,nâ tT_1,nâ , gilt a|T_n+1â =id_T_n+1â .

- b= ((b, b),1) =id: Der Beweis geht ¨ahnlich wie oben. 2 Nun entwickeln wir eine Methode, die uns erlaubt, eine rekursive Dar- stellung f¨ur jeden Automorphismus inG zu finden.

Wir wählen ein Erzeugendensystem {[α₁], . . . ,[α_n]} der Gruppeπ₁ und betrachten ein Element [α]∈π₁. Seien ˜α und ˜α⁰ die Lifts vonα unterf mit Anfangspunkten ˜x0 und ˜x⁰₀. Es können zwei Fälle auftreten:

1) Die Lifts ˜α und ˜α⁰ sind geschlossen.

2) Die Lifts ˜α und ˜α⁰ sind nicht geschlossen.

Sei ˜π₁:=π₁(P¹(C)rV_Γ_f,x˜₀) und sei ˜π₁⁰ :=π₁(P¹(C)rV_Γ_f,x˜⁰₀).

Wir betrachtena=l_[α]. Seien

˜l: ˜π₁ →Aut(T_˜_x₀) und ˜l⁰ : ˜π₁⁰ →Aut(T_x_˜0

0).

die Gruppenhomomorphismen aus Abschnitt 3.6.

Wir w¨ahlenτ und τ⁰ wie im Abschnitt 3.5.2.

Lemma 3.20 Im Fall (1) gilt

a= (i⁻_τ¹˜l_{[ ˜}_α]i_τ, i⁻_τ₀¹˜l⁰_{[ ˜}_α₀_]i_τ0).

Beweis(mit Induktion): Sei

b:= (i⁻_τ¹˜l_{[ ˜}_α]i_τ, i⁻_τ₀¹˜l_{[ ˜}⁰_α₀_]i_τ0).

Sein= 1. Dann gilt nach Definition von aund b, dass aø = ø =bø und a|T_x₀_,1 =b|T_x₀_,1.

(17)

Nehmen wir an, dassa|T_x0,n =b|T_x0,n f¨urn >1.

Seix∈T_x_˜₀_,n.Dann gilt bx= ˜l_{[ ˜}_α]x

= Endpunkt des Lifts von ˜α unterf_nmit Anfangspunkt x

= Endpunkt des Lifts von α unterf_n+1 mit Anfangspunktx

=ax.

Analog gilt ax=bxf¨urx∈T_x_˜00,n. DaT_x₀_,n+1 =T_x_˜₀_,n∪T_˜_x0

0,n, folgt, dass a|T_x₀_,n+1 =b|T_x₀_,n+1. 2 Lemma 3.21 Im Fall (2) gilt

a= (˜l_{[ ˜}_α0τ⁰τ⁻¹],˜l_{[ ˜}⁰_{ατ τ}₀₋1])σ_{τ τ}0. Beweis (mit Induktion): Sei

b:= (˜l_{[ ˜}_α0τ⁰τ⁻¹],˜l⁰_{[ ˜}_{ατ τ}₀₋1])σ_{τ τ}0. Sein= 1. Dann gilt nach Definition von aund b, dass

aø = ø =bø und a|T_x₀_,1 =σ_{τ τ}0|T_x₀_,1 =b|T_x₀_,1.

Nehmen wir an, dass a|Tx0,n = b|Tx0,n f¨urn > 1. Sei x ∈ T˜x0,n. Dann gilt σ_{τ τ}0x∈T_˜_x0

0,n und bx= ˜l_{[ ˜}⁰_{ατ τ}₀₋1]x

= Endpunkt des Lifts von ˜ατ τ⁰⁻¹ unterf_n mit Anfangspunktσ_{τ τ}0x

= Endpunkt des Lifts von ˜α unterf_n mit Anfangspunktx

= Endpunkt des Lifts von α unterf_n+1 mit Anfangspunkt x

=ax.

Analog gilt ax=bxf¨urx∈T_x_˜0 0,n. DaT_x₀_,n+1 =T_x_˜₀_,n∪T_˜_x0

0,n, folgt, dass a|T_x₀_,n+1 =b|T_x₀_,n+1. 2 Da das Diagramm

˜ π1

[ ˜β]7−→[τ⁻¹βτ˜ ]

//

˜l

π1 l

Aut(T_˜_x0)

˜b7−→i_τ−1˜bi_τ //Aut(T_x0)

(14)

(18)

kommutativ ist, gilt in beiden F¨allen

i⁻_τ¹˜l_{[ ˜}_α]i_τ =l_[τ−1ατ]˜ und i⁻_τ¹˜l_{[ ˜}_α0τ⁰τ⁻¹]i_τ =l_[τ−1α˜⁰τ⁰].

Indem man im kommutativen Diagramm (14) ˜π1, τ,˜ldurch ˜π₁⁰, τ⁰,˜l⁰ ersetzt, findet man analog, dass

i⁻_τ₀¹˜l_{[ ˜}⁰_α0]i_τ0 =l_[τ0−1α˜⁰τ⁰] und i⁻_τ₀¹˜l⁰_{[ ˜}_{ατ τ}₀₋¹_]i_τ0 =l_[τ0−1ατ]˜ .

Seien p, p⁰ bzw. q, q⁰ nichtkommutative Monome in n Variablen, so dass in Fall (1)

[τ⁻¹ατ] =˜ p([α₁], . . . ,[α_n]), [τ⁰⁻¹α˜⁰τ⁰] =p⁰([α₁], . . . ,[α_n]) bzw. in Fall (2)

[τ⁰⁻¹ατ] =˜ q([α₁]. . .[α_n]), [τ⁻¹α˜⁰τ⁰] =q⁰([α₁]. . .[α_n])

gilt. Dann finden wir durch Anwendung von l auf die Gleichungen die rekursive Darstellung vonain Fall (1):

a= (p(l_[α₁_], . . . , l_[α_n_]), p⁰(l_[α₁_], . . . , l_[α_n_])) bzw. in Fall (2):

a= (q⁰(l_[α₁_], . . . , l_[α_n_]), q(l_[α₁_], . . . , l_[α_n_]))σ_{τ τ}0. Bemerkung 3.22

Fallsf einen Fixpunkt x₀ besitzt, setzen wir ˜x₀=x₀. Dann vereinfacht sich die Rechnung, falls man fürτ einen Repräsentanten des Einselementes inπ₁ wählt.

Proposition 3.23 Die Konjugationsklasse der Gruppe G in Aut(T^a) ist unabh¨angig von der Wahl von x0.

Beweis: Seiπ₁⁰ die Fundamentalgruppe vonP¹(C)rV_Γ_f bezüglichx⁰₀, und sei G⁰ das Bild von π₁⁰ in Aut(Tâ). Wir müssen zeigen, dassG undG⁰ konjugiert sind. Seiτ⁰ ein Weg inP¹(C)rV_Γ_f vonx₀ nachx⁰₀. Wir wissen, dassGgleich

t^g_x₀{l_α|α∈π₁}(t^g_x₀)⁻¹

in Aut(T^Gal) ist, und das kommutative Diagramm (14) f¨ur ˜x₀ = x⁰₀ und τ =τ⁰, sagt uns, dassG⁰ gleich

t^g_x₀

0i_τ0{l_α |α∈π₁}i⁻_τ₀¹(t^g_x₀

0)⁻¹ in Aut(T^Gal) ist. W¨ahlt man r = t^gx0i_τ(t^g_x₀

0)⁻¹ ∈ Aut(T^Gal), dann sind G und G⁰ in Aut(T^Gal) konjugiert unter r.

(19)

Bemerkung 3.24 Wir bezeichnen mitGf die Konjugationklasse vonGf,x0. Definition 3.25 Sei

j:P¹(C)→P¹(C) x7→x

der Morphismus, der durch die komplexe Konjugation induziert ist, wobei

∞=∞.

Proposition 3.26 Seien f, g:P¹(C) →P¹(C) zwei quadratische Morphis- men, so dass f(x) = g(x) f¨ur alle x ∈ P¹(C) gilt. Dann sind Γ_f und Γ_g isomorph undGf =Gg.

Beweis: Nach Voraussetzung giltf =j◦g◦j, oder allgemeinfⁿ=j◦gⁿ◦j.

Das impliziert, dassV_Γ_g =j(V_Γ_f) und

j|VΓf :V_Γ_f →V_Γ_g

ein Isomorphismus, der zu j|VΓg invers ist. Sei x₀ ∈ P¹(C)rV_Γ_f, dann ist x0 ∈P¹(C)rVΓg. Betrachten wir die geometrischen bin¨aren B¨aumeTx^f0 = (Vx^f0, Ex^f0) undT_x^g₀ = (V_x^g₀, E_x^g₀). Dann istj_x0 :=j|_V_x^f

0

ein Isomorphismus von Tx^f0 nachT_x^g₀, der zu j_x0 :=j|V_x^g

0

invers ist. Wir zeigenj_x0Gg,x0j_x0 =Gf,x0. Seien

l:π₁(P¹(C)rV_Γ_f, x₀)→Aut(T_x^f₀) und

l:π1(P¹(C)rVΓg, x0)→Aut(T_x^g₀).

die Gruppenhomomorphismen aus Abschnitt 3.6. DaV_Γ_g =j(V_Γ_f), ist π₁(P¹(C)rV_Γ_f, x₀)→π₁(P¹(C)rV_Γ_g, x₀)

[β]7→[β]

ein Isomorphismus. Sei x ∈ Tx^f0,n und sei α ein Repr¨asentant von [α] ∈ π₁(P¹(C)rV_Γ_f, x₀). Unter der Benutzung der SymbolL_fⁿ(α, x) (vgl. Satz 4.9 in Anhang 4.2) gilt

jx0l_[α]jx0(x) =jx0Lgⁿ(α, x)(1)

=j_x0L_jfⁿ_j(α, x)(1)

=j_x0jL_fⁿ(α, x)(1)

=L_fⁿ(α, x)(1) =l_[α](x).

2