Ubungen zur Theoretischen Physik V, SS 2007, Blatt 5 ¨
Aufgabe 7: L¨osungen der Diracschen Gleichung f¨ur freie Teilchen I: Ebene Wel- len
In dieser Aufgabe diskutieren wir die L¨osung der Diracschen Gleichung f¨ur freie Teilchen.
Wie in anderen Wellengleichungen, l¨asst sich die allgemeine L¨osung auch in diesem Fall als eine ¨Uberlagerung von ebenen Wellen (Wellenpakete) darstellen. Die ebenen Wellen lauten
ψ+(x) =e−ik·xu(k), ψ−(x) =eik·xv(k), wobei + und−positive bzw. negative Energiel¨osungen bezeichnet.
(a) Zeigen Sie, dassu(k) undv(k) die Gleichungen (/k−m)u(k) = 0 und (/k+m)v(k) = 0 erf¨ullen.
(b) Zeigen Sie, dass die dazugeh¨origen L¨osungen eines ruhenden freien Teilchens lauten:
ψ+r(x) =e−imtur(m,0), ψ−r(x) =eimtvr(m,0), wobeir = 1,2 und
u1(m,0) =
1 0 0 0
, u2(m,0) =
0 1 0 0
, v1(m,0) =
0 0 1 0
, v2(m,0) =
0 0 0 1
.
(c) Die L¨osungen ur(k) und vr(k) lassen sich durch eine Boost-Transformation ablei- ten. Aus der Aufgabe 6 lernen wir, dass solche eine Boost-Transformation die Form S(Λ) =e−iσµνωµν/4annimmt. Wir transformieren auf ein Koordinatensystem, das sich mit einer Geschwindigkeit −v relativ zu dem der Ruhel¨osungen bewegt. Damit be- kommen wir freie Wellenfunktionen, die sich mit einer Geschwindgkeit +v bewegen.
Also haben wir ωµν = ζΩµν, wobei tanhζ = −v und die Matrixelemente Ωµν den Boostgeneratoren f¨ur beliebigen Richtungen entsprechen. Zeigen Sie, dass in diesem Fall
S(Λ) = exp
−ζ 2
α·v v
,
wobei die Matrixα lautet:
α=
"
0 σ σ 0
# .
(d) Zeigen Sie zun¨achst, dass
S(Λ) = coshζ
2 −α·v v sinhζ
2. (e) Schliessen Sie aus der Aufgabe (d), dass
S(Λ) =
rE+m 2m
1 0 E+mpz E+mp− 0 1 E+mp+ −E+mpz
pz
E+m p−
E+m 1 0
p+
E+m −E+mpz 0 1
,
wobeip±≡px±ipy. Daraus folgt ganz einfach die gesuchten L¨osungen. Schreiben Sie sie explizit.
Hinweis: Benutzen Sie die folgenden Formel:
−tanhζ
2 =− tanhζ 1 +p
1−tanh2ζ = p E+m,
coshζ 2 =
rE+m 2m .
10 Punkte
Ausgabetermin: 21.05.2007, Abgabetermin: 29.05.2007, 12 Uhr
