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Name: Mat.Nr.: Bitte keinen Rotstift verwenden! Lebensversicherungsmathematik (Vorlesungspr¨ufung) 5. M¨arz 2008 Prof. Schmock (WS 2007/08)

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Mat.Nr.:

Bitte keinen Rotstift verwenden!

Lebensversicherungsmathematik (Vorlesungspr¨ ufung)

5. M¨ arz 2008

Prof. Schmock (WS 2007/08)

(Dauer 90 Minuten, alle Unterlagen sind erlaubt)

Anmeldung zur m¨undlichen Pr¨ufung im Sekretariat, FH 7.Stock, Sandra Trenovatz, Tel. 01 / 58801 - 10511,

e-mail: secr@fam.tuwien.ac.at

Bsp. Max. Punkte

1 6

2 6

3 6

P 18

(2)

(6 Pkt.)

1. Ein 40-j¨ahriger Mann schließt eine gemischte Versicherung mit der Dauer von 25 Jahren bei einem Zins von 3% ab. Die H¨ohe der Versicherung ist im Erlebensfall und im Ablebensfall 100 000. Er zahlt sofort als Einmalpr¨amie 1/10 der Nettoein- malpr¨amie. Den Rest leistet er durch j¨ahrliche vorsch¨ussige Pr¨amien in den n¨achsten 20 Jahren, d. h. zu Beginn der Versicherung zahlt er sowohl die einmalige Zahlung als auch die erste Pr¨amie.

Nach 10 Jahren stirbt unerwartet seine Frau und er wandelt sofort die gemischte Versicherung in eine lebensl¨angliche, vorsch¨ussige, aufgeschobene Leibrente um, die im Alter von 60 Jahren beginnt. Die Pr¨amien zahlt er unver¨andert weiter.

Mithilfe der beiliegenden ¨osterreichischen Sterbe- und Leibrententafel 2000/02 l¨ose die folgenden Aufgaben:

(a) Wie hoch ist die einmalige Zahlung, die er leistet? Wie hoch die j¨ahrlichen

Pr¨amien? (2)

(b) Wie hoch ist das Nettodeckungskapital kurz vor der Vertrags¨anderung? (2) (c) Wie hoch ist die Leibrente, die ihm nach der Umwandlung ab dem Alter von

60 Jahren gezahlt wird? (2)

(6 Pkt.)

2. Ein ¨osterreichischer Mann schließt im Alter vonx= 35 eine gemischte Versicherung mit einer Laufzeit von 20 Jahren ab, wobei die Ablebensleistung durch die folgende Tabelle gegeben ist

Tod im k-ten Jahr k= 1 k= 2 k= 3 k ≥4

Leistung 1 4 6 10

und die Erlebensleistung 10 ist. Unter Verwendung eines Zinssatzes von 3% und mithilfe der beiliegenden ¨osterreichischen Sterbe- und Leibrententafel 2000/02 l¨ose die folgenden Aufgaben:

(a) Berechne die Nettoeinmalpr¨amie dieser Versicherung. (2) (b) Die Versicherung soll durch konstante, halbj¨ahrliche, vorsch¨ussige Pr¨amien

w¨ahrend der Laufzeit gezahlt werden. Bestimme die Pr¨amie, die pro Halbjahr

bezahlt wird. (2)

(c) Berechne rekursiv das Deckungskapital der ersten 2 Jahre, d.h. 0Vx, 1Vx und

2Vx. (2)

(6 Pkt.)

3. Es ist f¨urm >0 die stetige ¨Uberlebenswahrscheinlichkeit tpx gegeben durch

tpx = exp(−tm).

(a) Bestimme die Sterbeintensit¨at µx+t und die zuk¨unftige Lebenserwartung

[Tx]. (2)

(b) Betrachte eine lebensl¨angliche Ablebensversicherung mit Ablebenssumme c(t) = 2t im Todeszeitpunkt t ≥ 0. Berechne die Nettoeinmalpr¨amie bei kon-

stanter Zinsintensit¨at δ. (2)

(c) Die Ablebensversicherung soll durch stetige, zeitlich konstante Pr¨amien ¨uber 10 Jahre finanziert werden. Bestimme die H¨ohe der Pr¨amien. (2)

2

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