R2 Bit 0

(1)

Control Beispiel

Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐Logik und Arithmetik 69 4‐Bit‐Register R1

Store R1 4‐Bit‐Register R2

R2 Bit 0

Control

Zero

Store R2

SUB

Control soll folgenden Algorithmus implementieren:

wenn R2 gerade und R1-R2=0, dann R1 = 0

wenn R2 ungerade und R1-R2!=0, dann R2 = R1-R2

sonst

R1 = R1-R2

R2 Bit 0

Zero Store R1

Store R2

0 0

0 1

1 0

1 1

Control wird als kombinatorische Schaltung realisiert.

Hierzu die Wahrheitstabelle:

Anhand der Wahrheitstabelle wird dann die Schaltung gebaut.

Rückgekoppelte Register haben immer einen wohldefinierten Zustand, da Register nur zum Clock‐Signal aktualisiert werden.

Eingabe Ausgabe

(2)

Darstellung von Algorithmen

Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐Einführung 70

(3)

Pseudo‐Code‐Darstellungen

Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐Assembler 71

Elementaranweisungen

Variablenzuweisungen, z.B.:

x = 42

Arithmetik, z.B.:

y = 10

x = (42 + y) * 20

Das Symbol „=“ beinhaltet implizit eine zeitliche Abfolge, damit ist z.B. sinnvoll:

x = x + 1

Abkürzende Schreibweise für voriges Konstrukt: x++

Allgemein: als Elementaranweisung betrachten wir jede

Anweisung, die auf der betrachteten Abstraktionsebene nicht weiter sinnvoll in eine Folge von einfacheren Anweisungen unterteilbar ist.

(4)

Felder

Felder für den Zugriff auf den Speicher, z.B.: A[]

Zugriff auf ite Speicherstelle: A[i]

Beispiel:

0x0f00 : 14 A[0]

0x0f01 : 15 A[1]

0x0f02 : 42 A[2]

0x0f03 : 43 A[3]

...

0x0f0f : 255 A[15]

(5)

Sequenz von Elementaranweisungen

Setze i auf i+1 Setze j auf 2*i

usw.

Jedes Programm beginnt an einer Stelle und terminiert (hoffentlich) irgendwann.

Im Flussdiagramm ist Beginn und Ende des Programms mit den ovalen Symbolen dargestellt.

Im Beispiel also „Start“ und „Ende“.

Das einfachste Programm arbeitet einfach eine Sequenz von elementaren Anweisungen ab.

Im Flussdiagramm wird so eine Sequenz durch ein Rechteck dargestellt.

Die Abarbeitungsrichtung des Programms wird durch die Pfeile gekennzeichnet.

Start

Ende

(6)

If‐then‐else

if‐then‐else am Beispiel:

if(i<10) then

<Code-Block 1>

else

<Code-Block 2>

Ist i<10?

Code‐Block 1 Code‐Block 2 ja

nein

(7)

Switch‐Statement

Switch‐Statement am Beispiel:

switch(i) case 1:

<Code-Block 1>

case 2:

<Code-Block 2>

...

defaut:

<Code-Block n>

i=1?

Code‐Block 2 Code‐Block 1 ja

Code‐Block n i=2?

nein

ja

nein

...

(8)

For‐Schleife

For‐Schleife am Beispiel:

for(i=0; i<10; i++) {

<das innere der Schleife>

}

Bedeutet:

• Initialisiere i mit 0

• Führe das innere der Schleife aus

• Erhöhe i um eins

• Wiederhole wenn immer noch i<10

Ist i<10?

Ende Start

Innere der Schleife Setze i auf 0

Erhöhe i um 1 ja

nein

(9)

While‐Schleife

While‐Schleife an Beispiel:

i=0

while(i<10) {

<das innere

der Schleife>

i++

}

Bedeutet:

• Initialisiere i mit 0

• Führe das innere der Schleife aus

• Erhöhe i um eins

• Wiederhole wenn immer noch i<10

Ist i<10?

Ende Start

Innere der Schleife Setze i auf 0

Erhöhe i um 1 ja

nein

(10)

Gegeben seien die ganzzahligen Variablen n und m.

Bestimme größtes k welches n^k < m erfüllt:

Beispiel

(11)

Multiplikation

Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐Logik und Arithmetik 79

(12)

Multiplikation nach der Schulmethode

Gegeben seien die Binärzahlen A und B. Was ist a * b? Beispiel:

Multiplikand A: 1 1 0 1 0 Multiplikator B: * 1 1 0 1 ---

Produkt:

(13)

Maximale Länge des Ergebnisses

Beobachtung: Multiplikand der Länge n Bits und Multiplikator der Länge m Bits ergibt Produkt einer Länge mit maximal n+m Bits.

(14)

Das Verfahren als Algorithmus

Beispiel 1001*0101:

1 0 0 1

* 0 1 0 1 --- 1 0 0 1 + 0 0 0 0 ---

1 0 0 1 + 1 0 0 1

--- 1 0 1 1 0 1 + 0 0 0 0

--- 0 1 0 1 1 0 1

Start Teste erstes Multiplikator

‐Bit

Shifte Multiplikand ein Bit nach Links

Shifte Multiplikator ein Bit nach Rechts Addiere Multiplikand

zum Produkt

5ter Durch‐

lauf?

Ende

0 1

ja

nein Beispiel für

4‐Bit‐Zahlen

(15)

Das Verfahren in Hardware

8‐Bit Multiplikand

8‐Bit ALU

8‐Bit Produkt Control

Test

4‐Bit Multiplikator

Beispiel für 4‐Bit‐Zahlen Rechts‐Shift

Links‐Shift Demonstration mit

1001 * 0110 = 110110

1. Produkt = Produkt + Multiplikand

2.Links‐Shift

3.Rechts‐Shift

4. Anzahl Durch‐

läufe = 5Ende

(16)

Vorzeichenbehaftete Multiplikation

• Möglichkeit 2:

Tausche im Verfahren der vorigen Folie das Produkt‐

register mit einem vor‐

zeichenbehafteten Rechts‐

Shift‐Register aus.

• Möglichkeit 1:

‐ Betrachte Multiplikand x und Multiplikator y.

‐ Sei x‘ = x wenn x nicht‐negativ bzw. x‘ = ‐x sonst.

‐ Sei y‘ = y wenn y nicht‐negativ bzw. y‘ = ‐y sonst.

‐ Berechne z‘ = x‘ * y‘.

‐ Ergebnis z = z‘ wenn x und y nicht‐negativ oder x und y negativ, ansonsten ist z = ‐z‘.

Bildquelle: David A. Patterson und John L. Hennessy, „Computer Organization and Design“, Fourth Edition, 2012

(17)

Weitere Beschleunigungen

Beobachtung:

1 0 1 1 (Y)

* 1 1 1 0 (X) ---

0 0 0 0 + 1 0 1 1 + 1 0 1 1 + 1 0 1 1

---

1 0 0 1 1 0 1 0 (Z) 4‐Bit‐ALU

c s₃ s₂ s₁ s₀

Eine ALU für jede Summation

4‐Bit‐ALU

c s₃ s₂ s₁ s₀

4‐Bit‐ALU

c s₃ s₂ s₁ s₀

x₀¢y₀ x₀¢y₃y₂y₁

x₁¢y x₂¢y

x₃¢y

z₇z₆z₅z₄z₃ z₂ z₁ z₀ Beispiel für 4‐Bit‐Zahlen

(18)

Weitere Beschleunigungen

Grundlagen der Rechnerarchitektur ‐Logik und Arithmetik 86 Bildquelle: David A. Patterson und John L. Hennessy, „Computer Organization and Design“, Fourth Edition, 2012

Jede ALU‐Operation verbrauche einen Taktzyklus. Wie viele Taktzyklen dauert die Multiplikation von 32‐Bit‐Zahlen?

Parallele Organisation der ALUs in einen Binärbaum (keine weiteren Details hier)

(19)

Division

(20)

Division nach der Schulmethode

Gegeben seien die Binärzahlen A und B. Was ist a : b? Beispiel:

Dividend Divisor Quotient 1 0 0 1 0 1 0 : 1 0 0 0 =

Rest:

(21)

Das Verfahren als Algorithmus

Beispiel 1001 : 10:

Dvdt :Dvsr= Qtnt 001001 : 10 = 00100 -000000

--- 01001 -00000 --- 1001 -1000 ---- 001 -000 --- 01 -00 --

1 Rest Start

Teste Rest

Shifte Divisor ein Bit nach Rechts Shifte Quotient nach

Links und setze dessen LSB=1.

6ter Durch‐

lauf?

Ende

<0

¸0

ja

nein Subtrahiere

Divisor vom Rest

Restauriere den alten Rest. Shifte Quotient

nach Links und setze dessen LSB=0.

Beispiel für 4‐Bit‐Zahlen

(22)

Das Verfahren in Hardware

8‐Bit Divisor

8‐Bit ALU

8‐Bit Rest Control

Test

4‐Bit Quotient

Beispiel für 4‐Bit‐Zahlen Links‐Shift

Rechts‐Shift Demonstration mit

1001 : 0010 = 100 Rest 1

1. Rest=Rest‐Divisor, wenn Divisor < Rest

2. Links‐Shift; LSB=Rest wurde verändert 3. Rechts‐Shift

4. Anzahl Durch‐

läufe = 6Ende

(23)

Vorzeichenbehaftete Division

• Umgang mit dem Quotienten (analog wie für Multiplikation):

‐ Betrachte Divisor x und Dividend y (also: Quotient z von y:x).

‐ Sei x‘ = x wenn x nicht‐negativ bzw. x‘ = ‐x sonst.

‐ Sei y‘ = y wenn y nicht‐negativ bzw. y‘ = ‐y sonst.

‐ Berechne Quotient z‘ von y‘ : x‘.

‐ Ergebnis z = z‘ wenn x und y nicht‐negativ oder x und y negativ, ansonsten ist z = ‐z‘.

• Und was ist das Vorzeichen des Rests? Beispiel:

•Also: Vorzeichen des Rests ist Vorzeichen des Dividend.

Dividend : Divisor Quotient Rest Quotient * Divisor + Rest = Dividend

7 : 2 3 1 3 * 2 + 1 = 7

-7 : 2 -3 -1 -3 * 2 – 1 = -7

7 : -2 -3 1 -3 * -2 + 1 = 7

-7 : -2 3 -1 3 * -2 – 1 = -7

(24)

Gleitkommazahlen

(25)

Reelle Gleitkommazahlen

Kleine Zahl Große Zahl Beispiel

Wissenschaftliche Darstellung

(eine Ziffer rechts des Kommas)

Normalisierte Darstellung

(keine führende Null)

(26)

Binäre Gleitkommazahlen

Was ist der Dezimalwert der binären Gleitkommazahl 101,1001?

Was bedeutet 11,011 * 2²?

Also: mit 2ⁱ multiplizieren verschiebt das Komma um i Stellen nach rechts.

Analog: mit 2^‐i multiplizieren verschiebt das Komma um i Stellen nach links.

(27)

Binäre Gleitkommazahlen

Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625?

(28)

Betrachte die recht harmlose Dezimalzahl 0,8.

Für die folgende unendliche Reihe rechnet man leicht nach:

(2^‐1 + 2^‐2) + (2^‐5 + 2^‐6) + (2^‐9 + 2^‐10) + (2^‐13 + 2^‐14) + ... = 4/5 = 0.8 Folglich ist die Binärdarstellung von 0.8 unendlich lang, nämlich:

0 , 1100 1100 1100 1100 1100 1100 1100 ...

Annahme wir speichern nur die ersten 32 Bits. Rechnet man in den Dezimalwert x zurück, dann ergibt sich:

x = (2^‐1 + 2^‐2) + (2^‐5 + 2^‐6) + (2^‐9 + 2^‐10) + ... + (2^‐29 + 2^‐30)

= 858.993.459 / 1.073.741.824 = 0,79999999981373548508 ≠ 0,8 Oha, 0,8 ist scheinbar doch nicht so harmlos. Es gibt folglich Zahlen mit endlicher dezimaler Gleitkommadarstellung, die binär nicht mit endlicher Anzahl Bits darstellbar sind.

R2 Bit 0

Control Beispiel

Darstellung von Algorithmen

Pseudo‐Code‐Darstellungen

Felder

Sequenz von Elementaranweisungen

If‐then‐else

Switch‐Statement

For‐Schleife

While‐Schleife

Beispiel

Multiplikation

Multiplikation nach der Schulmethode

Maximale Länge des Ergebnisses

Das Verfahren als Algorithmus

Das Verfahren in Hardware

Vorzeichenbehaftete Multiplikation

Weitere Beschleunigungen

Weitere Beschleunigungen

Division

Division nach der Schulmethode

Das Verfahren als Algorithmus

Das Verfahren in Hardware

Vorzeichenbehaftete Division

Gleitkommazahlen

Reelle Gleitkommazahlen

Binäre Gleitkommazahlen

Binäre Gleitkommazahlen

Nebenbemerkung