Grundwissen Wurzeln und Potenzen

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ErikDinges·Brücheanschaulich–EinführungindieBruchrechnung

Michael Körner

Bergedorfer ^® Kopiervorlagen

Grundwissen

Wurzeln und Potenzen

5.-10. Klasse

Bruchrechnen – leicht gemacht!

Bruchzahlen sind vielen Schülerinnen und Schülern ab der 4. Klasse bereits aus ihrem Alltag bekannt, beispielsweise durch die Angabe von Uhrzeiten (Dreiviertelstunde) oder durch Mengenangaben beim Metzger (ein Viertel- pfund).

Diese Materialien knüpfen direkt an die Lebens- und Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler an. Ihr Ziel ist es, ein fundamentales Verständnis von Brüchen und Bruchzahlen bei den Kindern zu erreichen.

Einfache Figuren werden dazu halbiert, gedrittelt, geviertelt usw. In kleinen Schritten gelangt man so vom Teilstück zum Bruchteil und schließlich zur ab- strakten Bruchzahl.

Bei der Bewältigung der Aufgaben stehen den Schülerinnen und Schülern eine Vielzahl von unterschiedlichen Lösungswegen offen – eine gute Möglichkeit, kreatives Denken zu fördern!

Diese Arbeitsblätter eignen sich auch sehr gut für den Förderschulbereich.

Rolf Breiter

Geometrix I 3.–6. Schuljahr

64 Karten, DIN A5 Best.-Nr. 3901

Der Umgang mit Zirkel und Geodreieck will gelernt sein! Ziel dieser Schülerkartei ist die behutsame Ein- führung in die sachgerechte Handhabung von Zei- chenwerkzeugen. Die geometrischen Aufgabenstel- lungen verfolgen sowohl Lernziele aus den Bereichen der Mathematik als auch aus dem Kunst- und Technik- unterricht. Bereits Schüler/innen der Grundschule ar- beiten gerne mit dieser Kartei.

Geometrix II 5.–9. Schuljahr

64 Karten, DIN A5 Best.-Nr. 3902

Wer sein Können im Umgang mit geometrischen Zei- chengeräten wie Bleistift, Lineal, Geodreieck und Zir- kel verbessern oder sich im technischen Zeichnen üben will, für den ist diese Schülerkartei genau das Richtige!

Sie eignet sich auch gut für Vertretungsunterricht und Freiarbeit. Durch abwechslungsreiche Übungsbei- spiele, besondere Karteikarten mit Konstruktionshil- fen und ein behutsam ansteigendes Schwierigkeits- niveau bei der Aufgabenstellung wird das Problem- löseverhalten und die Konstruktionsfähigkeit der Schüler/innen gefördert.

Unsere besondere Empfehlung:

Bergedorfer^®Schülerkarteien

Flächen (Best.-Nr.3901)

(Best.-Nr. 3902)

Aus dem Inhalt:

Halbieren und Vierteln von Figuren

Gleichmäßiges Aufteilen

Stammbrüche

Einführung der Begriffe Zähler und Nenner

Bruchteile als Teile eines Ganzen

Vergleichen von Bruchteilen u. a.

Bergedorfer^® Kopiervorlagen

• ideenreiche, praxiserprobte Konzepte • moderne, zeitgemäße Gestaltung

• methodische Offenheit • Erleichterung der Unterrichtsvorbereitungen

Die Bergedorfer^®Produktpalette:

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Lehrer- und Schülerkarteien

Fachbücher

Lernsoftware

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Edition

ISBN 978-3-8344-2464-8

Persen

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Persen Verlag

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Zu diesem Material Zu dieser Mappe

Was sind Wurzeln? Wozu benötigt man Potenzen? Wieso gelten die Potenzgesetze für die Multiplika- tion aber nicht für die Addition? Zu diesen und anderen Fragen finden Ihre Schülerinnen und Schüler in der vorliegenden Mappe ausführliche Antworten und differenzierte Übungen zu allen Unterthemen. Die Arbeitsblätter sind so konzipiert, dass Ihre Schülerinnen und Schüler alle Potenz- und Wurzelgesetze eigenständig erarbeiten und in einer Vielzahl von praxiserprobten Aufgaben anwenden können. Dabei sind alle Aufgabenblätter sehr kleinschrittig aufgebaut und ermöglichen es jeder Schülerin und jedem Schüler, in ihren individuellen Lerntempi zu arbeiten.

© 2011 Persen Verlag, Buxtehude AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten.

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Satz: Satzpunkt Ewert, Bayreuth ISBN 978-3-403-52699-5 www.persen.de

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Wurzeln

1 Was sind Quadratwurzeln?

2 Übungen zur Quadratwurzelberechnung (1) 3 Übungen zur Quadratwurzelberechnung (2) 4 Übungen zur Quadratwurzelberechnung (3) 5 Heron-Verfahren

6 Quadrieren einer Quadratwurzel (1) 7 Quadrieren einer Quadratwurzel (2) 8 Wurzelgesetz für die Multiplikation (1) 9 Wurzelgesetz für die Multiplikation (2) 10 Wurzelgesetz für die Division (1) 11 Wurzelgesetz für die Division (2) 12 Wurzelgesetz zum teilweisen Wurzel-

ziehen (1)

13 Wurzelgesetz zum teilweisen Wurzel- ziehen (2)

14 Vermischte Übungen zu den Wurzel- gesetzen (1)

15 Vermischte Übungen zu den Wurzel- gesetzen (2)

16 Distributivgesetz und Wurzelterme (1) 17 Distributivgesetz und Wurzelterme (2) 18 Binomische Formeln und Wurzelterme (1) 19 Binomische Formeln und Wurzelterme (2) 20 Lernzielkontrolle (1)

21 Lernzielkontrolle (2) 22 Wurzelmemory (1) 23 Wurzelmemory (2)

Potenzen

Allgemeines zu Potenzen 24 Was sind Potenzen?

25 Potenzen berechnen (1) 26 Potenzen berechnen (2)

27 Scientific Notation – Wissenschaftliche Schreibweise von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Potenzgesetze für natürliche Exponenten 28 Potenzgesetz für die Multiplikation von

Potenzen mit gleicher Basis und natürlichen Exponenten

29 Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleicher Basis und natürlichen Exponen- ten

30 Potenzgesetz für die Multiplikation von Po- tenzen mit gleichen natürlichen Exponenten 31 Potenzgesetz für die Division von Potenzen

mit gleichen natürlichen Exponenten 32 Potenzgesetz für das Potenzieren einer

Potenz mit natürlichen Exponenten

33 Vermischte Übungen zu den Potenzgesetzen für Potenzen mit natürlichen Exponenten

Potenzgesetze für ganzzahlige Exponenten 34 Definition von Potenzen mit ganzzahligen

Exponenten

35 Berechnung von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten

36 Scientific Notation – Wissenschaftliche Schreibweise von Potenzen mit ganzzah- ligen Exponenten

37 Potenzgesetz für die Multiplikation von Po- tenzen mit gleicher Basis und ganzzahligen Exponenten

38 Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleicher Basis und ganzzahligen Expo- nenten

39 Potenzgesetz für die Multiplikation von Po- tenzen mit gleichen ganzzahligen Exponen- ten

40 Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleichen ganzzahligen Exponenten 41 Potenzgesetz für das Potenzieren einer Po-

tenz mit ganzzahligen Exponenten

42 Vermischte Übungen zu den Potenzgesetzen für Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Potenzgesetze für rationale Exponenten 43 Kubikwurzel bzw. 3. Wurzel

44 n-te Wurzel

45 Definition von Potenzen mit rationalen Expo- nenten

46 Berechnung von Potenzen mit rationalen Exponenten

47 Potenzgesetze für die Multiplikation und das Potenzieren von Potenzen mit rationalen Exponenten

48 Potenzgesetze für die Division von Potenzen mit rationalen Exponenten

49 Vermischte Übungen zu den Potenz- gesetzen (1)

50 Vermischte Übungen zu den Potenz- gesetzen (2)

51 Lernzielkontrolle (1) 52 Lernzielkontrolle (2) 53 Potenzmemory (1) 54 Potenzmemory (2)

ab Seite 55 Lösungen

Inhaltsverzeichnis

Grundwissen Wurzeln und Potenzen

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1

Was sind Quadratwurzeln?

Aufgabe 1

Das abgebildete quadratförmige Grundstück hat einen Flächeninhalt von 289 m². Wie lang ist eine Seitenlänge x? Erinnere dich an die Flächen- inhaltsformel für das Quadrat und löse die Aufgabe durch Probieren.

Aufgabe 2

Bestimme die Quadratwurzeln.

a) 4 = _____ b) 25 = _____ c) ₁₀₀ = _____ d) 64 = _____

e) ₀ = _____ f) −25 = _____ g) ₄₀₀ = _____ h) 1 = _____

Aufgabe 3

Schreibe als Wurzel.

a) 6 = b) 9 = c) 12 = d) 1 =

e) 625 = f) 4 = g) 11 = h) 225 =

x 289 m

x

Info

In der obigen Aufgabe muss aus 289 cm² die Quadratwurzel gezogen werden.

Abkürzend schreibt man dafür: _{289 cm}².

Was genau ist eine Quadratwurzel? Unter der Quadratwurzel aus einer Zahl a versteht man diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat a ergibt. Also _a² =a.

Die Zahl unter dem Wurzelzeichen wir als Radikand bezeichnet.

Das Ermitteln der Quadratwurzel heißt Wurzelziehen.

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Michael Körner: Grundwissen Wurzeln und Potenzen

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2

Übungen zur Quadratwurzelberechnung (1)

Aufgabe 1

Ziehe die Wurzeln ohne Taschenrechner.

a) ₂₅ = ________ b) 121 = ________ c) ₃₂₄ = ________

d) ₁₉₆ = ________ e) ₁₆₀₀ = ________ f) ₃₆₀₀ = ________

g) 625 = ________ h) 12 100 = ________ i) 1 690 000 = ________

Aufgabe 2

Bestimme die gesuchte Zahl.

a) Wenn ich meine ausgedachte Zahl quadriere, erhalte ich 8100. Wie heißt meine Zahl?

b) Wenn ich meine ausgedachte Zahl quadriere, erhalte ich 576. Wie heißt meine Zahl?

Aufgabe 3

Ziehe die Wurzeln ohne Taschenrechner.

a) 4

9 = ________ b)

25

100 = ________ c)

49

81 = ________

d) 225

256= ________ e) 0,16 = ________ f) 0, 81 = ________

g) 0, 09 = ________ h) 1, 44 = ________ i) 2, 89 = ________

j) 0, 0036 = ________ k) 0, 0004 = ________ l)

16

121 = ________

m) 64

441 = ________ n)

100

289 = ________ o)

169

900 = ________

p) 0, 0256 = ________ q) 4, 84 = ________ r) 6,25 = ________

s) 0, 01 = ________ t) 0, 0001 = ________ u) 0, 000001 = ________

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3

Übungen zur Quadratwurzelberechnung (2)

Aufgabe 1

Bestimme die einzelnen Seitenlängen der Quadrate im Heft.

a) b) c) d)

Aufgabe 2

Löse die Gleichung im Heft. Achte darauf, dass hier manchmal zwei Lösungen vorkommen (siehe Beispiel).

a) x² = 16 b) x² = 144 c) x² = 1,69 d) x² = 0 e) x² =

4

9 f) x² = 0,0004

Aufgabe 3

Welche Rechnungen sind falsch? Löse ohne Taschenrechner.

Tipp: Schaue auf die letzte Ziffer der jeweiligen Zahlen.

a) 6,35² = 40,3224 b) 69² = 4761 c) 3,8² = 14,44 d) 174² = 30 275

Aufgabe 4

Welche Zahlen sind gleich? Markiere diese mit der gleichen Farbe.

4² 4 4 2² 16 2 · 2 16 4 · 4 2

Aufgabe 5

Ein Würfel hat eine Oberfläche von 150 cm². Berechne sein Volumen.

A₁ = 1600 m²

A₂ = 2,56 m² A₃ = 676 m²

A₄ = 900 m²

Beispiel:

x² = 4

x₁ = 2 und x₂ = –2

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4

Übungen zur Quadratwurzelberechnung (3)

Aufgabe

Löse das Kreuzzahlrätsel mit dem Taschenrechner.

1 2

3 4

5 6

7

8

9

10

11 12

13

14

15

Waagrecht: Senkrecht:

1 24 964 2 27 071 209 3 14 440 000 4 734 449 5 5 841889 5 8 497 225 7 24 890 121 6 3 268 864 8 1 979 649 9 80 656

9 42 025 10 10 816

10 19 044 12 133 956

11 18 088 009 13 29 584 13 21 609

14 14 197 824 15 4 937 284

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5

Heron-Verfahren

Aufgabe 1

Ziehe die Wurzel durch Einschachteln wie im Beispiel bis auf 5 Stellen hinter dem Komma.

a) 5 b) 11 c) 19 d) 200

Aufgabe 2

Ziehe die Wurzel mit dem Heron-Verfahren bis auf 3 Stellen nach dem Komma.

a) 6 b) 10 c) 23 d) 111 e) 987

Aufgabe 3

Berechne die Wurzeln der Primzahlen zwischen 30 und 70 bis auf drei Stellen nach dem Komma.

Benutze dazu ein Tabellenkalkulationsprogramm und das Heron-Verfahren. Lege eine Tabelle an wie im Beispiel.

Primzahlen:

31 67

Beispiel

Bestimmen von 7 durch Einschachteln.

Näherungszahl x x² Vergleich Folgerung

3 9 9 > 7 7 < 3

2,6 6,76 6,76 < 7 2,6 < 7 < 3

2,7 7,29 7,29 > 7 2,6 < 7 < 2,7

2,65 7,0225 7,0225 > 7 2,6 < 7 < 2,65

2,64 6,9696 6,9696 < 7 2,64 < 7 < 2,65

…

Beispiel

Bestimmen von 8 mit dem Heron-Verfahren.

Wert 1 Wert 2 Vergleich Neuer Wert 1

2 8 : 2 = 4 2 < 8 < 4

(2+4)

2 = 3 3 8 : 3 ≈ 2,67 2,67 < 8 < 3

(3+2, 67)

2 = 2,835 2,835 8 : 2,835 ≈ 2,822 2,822 < 8 < 2,835

(2, 835+2, 822)

2 = 2,8285

2,8285 … … …

Mit jedem Schritt kommt man 8 ≈ 2,828427 … näher.

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6

Quadrieren einer Quadratwurzel (1)

Aufgabe 1

Führe die angegebenen Rechenanweisungen durch.

a) Quadriere ( ) die Zahlen und ziehe dann aus dem Ergebnis die Wurzel (√).

4 25

b) Ziehe jeweils die Wurzel aus den Zahlen und quadriere dann das Ergebnis.

4 25

c) Beschreibe, was dir bei den Aufgaben auffällt.

d) Formuliere für a) und b) jeweils eine Regel:

a) b)

Aufgabe 2

Führe die angegebenen Rechenanweisungen durch.

a) Quadriere jeweils die Zahlen und ziehe dann aus dem Ergebnis die Wurzel.

Beispiel: 9² = 81 81 = 9 1,44

1

9 0 –4 –16

b) Ziehe jeweils die Wurzel aus den Zahlen und quadriere dann das Ergebnis.

Beispiel: 9 = 3 3² = 9 1,44

1

9 0 –4 –16

c) Beschreibe, was dir bei diesen Aufgaben – zusätzlich zu Aufgabe 1 – noch auffällt.

d) Gib den Zahlenbereich an, für den die Regeln aus Aufgabe 1 gelten.

a) Die Regel gilt für folgenden Zahlenbereich:

b) Die Regel gilt für folgenden Zahlenbereich:

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7

Quadrieren einer Quadratwurzel (2)

Aufgabe 1

Fülle die Lücken aus, sofern es möglich ist.

a) –4 b) –4 c) –25 d) –7

Aufgabe 2

Berechne die lösbaren Wurzelterme und vergleiche die Ergebnisse.

a) (−9)² = −9² = ( −9)² = b) (−0, 36)² = −0, 36² = ( −0, 36)² = c)

−49 81

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

=

− 49 81

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

=

−49 81

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

=

Beim Vergleich der Ergebnisse fällt auf:

Aufgabe 3

Berechne ohne Taschenrechner.

a) ( 5)² = b) 0, 4² = c) (−6)²² =

d) 16 = e)

81

256 = f) ( 7²)² = g) − 0,25² = h) (2 3)² = i) (−5 9)² =

Aufgabe 4

Gib die einschränkende Bedingung an.

a) 4+x b) 4−x c) 2x+6

Beachte:

–2² = –4; (–2)² = 4

Beispiel:

2a⋅ 8a= 16a² =4a Einschränkende Bedingung:

x – 5 muss größer oder gleich 0 sein, also x – 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 5

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8

Wurzelgesetz für die Multiplikation (1)

Aufgabe 1

Berechne und vergleiche die Ergebnisse.

a) 9⋅ 25 = · = 9⋅25 = = 9⋅ 16 = · = 9⋅16 = = b) 9+ 25 = + = 9+25 = ≈

9+ 16 = + = 9+16 = = Beim Vergleich der Aufgaben fällt auf:

Aufgabe 2

Formuliere aufgrund deiner Beobachtungen von Aufgabe 1 eine Regel für die Multiplikation von Wurzeln.

Aufgabe 3

Berechne ohne Taschenrechner im Heft.

a) 3⋅ 12 b) 5⋅ 20 c) 8⋅ 18 d) 3⋅ 108 e) 2,5⋅ 1000 f) 0, 8⋅ 3,2 g) 2, 4⋅ 60 h) 0,5⋅ 4,5 i) 5⋅ 8⋅ 10

Aufgabe 4

Berechne ohne Taschenrechner im Heft.

a) 16⋅49 b) 36⋅144 c) 0, 04⋅1, 44 d) 2,25⋅6,25 Beispiel:

20⋅ 45

= 20⋅45

= 900

= 30

Beispiel :

121⋅169= 121⋅ 169=11⋅13=143

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9

Wurzelgesetz für die Multiplikation (2)

Aufgabe 1

Fülle die Lücken aus.

a) ⋅ 48=12 b) 9⋅ =15 c) 3⋅ =18

d) 50⋅ =30 e) ⋅ 64=40 f) ⋅ 125=100

Aufgabe 2

Berechne die Wurzel, indem du die Zahlen zuerst in ein Produkt aus kleineren Quadratzahlen zerlegst.

a) 576 ⁼ __________________________________________________

b) 676 = __________________________________________________

c) 1296 = __________________________________________________

d) 2025 = __________________________________________________

Aufgabe 3

Vereinfache.

a) 16a² = ____ ___ b) 25x⁴ = ____ ___ c) 64x²z²= ____ ___

d) p²q⁴r⁶ = ____ ___ e) 0, 49z⁴ = ____ ___

Aufgabe 4

Vereinfache. Gib auch die einschränkende Bedingung an.

a) b⋅ b³ = b) 3x⋅ 27x³ = c) 5ac²⋅ 45a³ = d) 0, 02u⋅ 0,5u⁵ =

Beispiel:

324

= 4⋅81

= 4⋅ 81

= 2 · 9

= 18

Beispiel:

2a⋅ 8a= 16a² =4a Einschränkende Bedingung:

a muss größer oder gleich 0 sein, also 2a ≥ 0 und 8a ≥ 0

⇒ a ≥ 0

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10

Wurzelgesetz für die Division (1)

Aufgabe 1

Berechne und vergleiche die Ergebnisse.

a) 144 : 9 = : = 144 : 9 = =

100 : 25 = : = 100 : 25 = =

b) 144− 9 = – = 144−9 = ≈

100− 25 = – = 100−25 = ≈

Beim Vergleich der Aufgaben a) und b) fällt auf:

Aufgabe 2

Formuliere aufgrund deiner Beobachtungen von Aufgabe 1 eine Regel für die Division von Wurzeln.

Aufgabe 3

Berechne ohne Taschenrechner.

a) 125 : 5 = _______________ b) 147 : 3 = _______________

c) 640 : 10 = _______________ d) 80 : 5 = _______________

e) 0, 8 : 0,2 = _______________ f) 48 : 3 = _______________

Aufgabe 4

Berechne.

a) 9

49 = _______ b)

25

144 = _______ c)

1

36 = _______

d) 4

81 = _______ e)

18

50 = _______ f)

810

1000 = _______

Beispiel:

4 9= 4

9 =2 3

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11

Wurzelgesetz für die Division (2)

Aufgabe 1

Fülle die Lücken aus.

a) 225 : =5 b) : 16 =9 c) 64 : =4

d) : 144=2 e) 200 : =10 f) : 6=6

Aufgabe 2

Vereinfache. Notiere jeweils auch die Zwischenschritte.

a) a³: a = _______________ b) b⁵: b³ = _______________

c) c : c³ = _______________ d) x : x = _______________

e) x³y⁵ : xy = _______________ f) 36p³: 25p = _______________

g) a²

b : b = _______________ h)

a b: b

a = _______________

i) 64a²

169b² = _______________ j)

72p⁸q¹⁰

8p⁴q⁶ = _______________

Aufgabe 3

Vereinfache soweit wie möglich. Gib auch die einschränkende Bedingung an.

a) 4

b³ = _________________ b)

d³

9 = _________________

c) a²

b⁵ = _________________ d)

c²d

d³ = _________________

e) 162x³: 2x = _________________ f)

16p²q⁴

25r⁴s⁶ = _________________

g) 180x³y³: 5xy = _________________ h)

24a⁴b⁶

27ab³ = _________________

Beispiel: _x⁴ _{: x}² = x⁴: x² = x² =x

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Wurzelgesetz zum teilweisen 12

Wurzelziehen (1)

Aufgabe 1

Ziehe teilweise die Wurzel.

a) 20 = ____________ b) 12 = ____________

c) 150 = ____________ d) 32 = ____________

e) 300 = ____________ f) 432 = ____________

g) 320 = ____________ h) 2700 = ____________

i) 0, 03 = ___________ j) 4,5 = ____________

Aufgabe 2

Vereinfache die Wurzelterme.

a) 4a = _________ b) 5a² = _________ c) x²y = _________

d) 27b³ = _________ e)

5

16 = _________ f)

13

x² = _________

Aufgabe 3

Bringe den Faktor unter das Wurzelzeichen.

a) 2 3 = _________ b) 3 5 = _________ c) 4 6 = _________

d) 5 7 = _________ e) 0,5 2 = _________ f) 2, 4 2 = _________

g) 1

3 11 = _________ h)

2

5 7 = _________ i)

1

2 1,1 = _________

Aufgabe 4

Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen. Gib auch die einschränkende Bedingung an.

a) 49b = _________ b) 27ab² = _________ c)

9x²

5 = _________

Beispiel:

8

= 4⋅2

= 4⋅ 2

= 2 2

Beispiel: _{3 2= 9⋅ 2= 18}

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