SS2011,11.¨Ubungsblatt Einf¨uhrungindieQuantenfeldtheorie

PD Dr. M. Buballa Institut f¨ ur Kernphysik

Einf¨ uhrung in die Quantenfeldtheorie

SS 2011, 11. ¨ Ubungsblatt

1. Juli 2011 Aufgabe 24:

Eine vereinfachtes Modell zur Beschreibung z.B. der Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung ist die Yukawa-Theorie. Sie definiert eine Wechselwirkung zwischen einem skalaren Feld φ (Mas- se m _φ ) und Fermionen Ψ (Masse m):

H Yukawa = H Klein-Gordon + H Dirac + Z

d ³ x g ΨΨφ . ¯

Betrachten Sie in dieser Theorie die Streuung zweier Fermionen mit Impulsen p und k in zwei Fermionen mit Impulsen p ^′ und k ^′ .

a) Welche Diagramme tragen in f¨ uhrender Ordnung zu der Streuung bei?

b) Bestimmen Sie das S-Matrix-Element _a h~ p ^′ , ~k ^′ |S|~ p, ~ki _a in f¨ uhrender Ordnung O(H _WW ² ) und das zugeh¨orige invariante Matrixelement M.

Hinweis: Gehen Sie analog zur in der Vorlesung diskutierten φ ⁴ -Theorie vor (Wick- Theorem, Normalordnung, . . . ) und verwenden Sie bekannte Ergebnisse.

c) Extrahieren Sie aus den Ergebnissen von b) die Feynman-Regeln im Impulsraum f¨ ur die Yukawa-Theorie.

d) Aus dem obigen Prozess l¨asst sich unter Annahme von unterscheidbaren Fermionen (z.B. Neutron und Proton) im nichtrelativistischen Grenzfall das Yukawa-Potential V (r) im Ortsraum ableiten. Vergleichen Sie hierzu den nichtrelativistischen Grenzfall des invarianten Matrix-Elements mit der Born-N¨aherung

hp ^′ |iT |pi = −i V ˜ (~ q) (2π)δ(E p − E _p

) mit ~ q = ~ p ^′ − ~ p . Hinweise:

Betrachten Sie den nichtrelativistischen Limes mit Impulsen bis zur Ordnung ~ p ² . Bei der relativistischen Normierung der Spinoren tritt ein zus¨atzlicher Faktor 2m auf, der bei dem Vergleich mit der Born-N¨aherung (nicht-relativistisch) weggelassen werden muss.

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