Martin-Luther-Universit ¨at Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Institut f ¨ur Numerische Mathematik Prof. Dr. M. Arnold und Dr. A. Gerisch Wintersemester 2004/05
1. ¨ Ubungblatt zum Modul M2
” Theorie und Numerik gew ¨ ohnlicher Differentialgleichungen“
Abgabe der L ¨osungen: 26.10.2004 am Ende der Vorlesung
Weitere Infos im Netz:www.mathematik.uni-halle.de/∼arnold/courses/WiS04.m2/
Aufgabe 1. [ ¨Uberpr ¨ufen von L¨osungen]
Zeigen Sie, dass
(a) f¨ur reelles cdie Funktiony(x) = −ln(cos(x) +c)f¨urx ∈ R mitcos(x) +c > 0eine L¨osung vony0(x) =ey(x)·sin(x)ist;
(b) f¨ur reellescdie Funktiony(x) =−tan(x+c)f¨urx∈Rmitcos(x) +c6= 0eine L¨osung von[y(x)]2+y0(x) + 1 = 0ist;
(c) die Funktion
E(t) = N
1 +
N E0 −1
e−kt das Anfangswertproblem
E0(t) = k
NE(t)(N −E(t)), E(t0) =E0
l¨ost.
Aufgabe 2. [Anfangs- und Randbedingungen]
Wir betrachten die gew¨ohnliche Differentialgleichung 2. Ordnungx(t) + 16¨ ·x(t) = 0 (rei- bungsfreie Schwingung).
(a) Zeigen Sie, dass alle Funktionen der Form
x(t) =c1·cos(4t) +c2·sin(4t), c1, c2 ∈R
L¨osungen der Gleichung sind.
(b) Bestimmen Sie diejenige L¨osung, die die Anfangsbedingungenx(0) = 0undx(0) = 2˙ erf¨ullt.
(c) Bestimmen Sie diejenige L¨osung, die die Randbedingungen x(1) = 0 und x(2) = 1 erf¨ullt.
Aufgabe 3. [Geometrische Veranschaulichung von Differentialgleichungen]
Zeichnen Sie die Isoklinen folgender Differentialgleichungen f¨ury0 = −1,−0.5,0,0.5,1und skizzieren Sie unter Verwendung des Richtungsfeldes einige L¨osungskurven:
(a) y0 =x2+y2−1, (b) y0 = 1−y2und (c) y0 = 5y−x.
Aufgabe 4. [Trennung der Variablen]
Bestimmen Sie die allgemeinen L¨osungen folgender Differentialgleichungen.
(a)
y0(x) =−x y
Welche spezielle L¨osung ergibt sich zu gegebenem positiven Anfangswerty(1) =y0>0 und welche zu gegebenem negativen Anfangswerty(1) =y0 <0?
(b)
y0(x) = siny
x , x >0 Hinweis: Verwenden Sie die Substitutionz = tan(y/2).
Welche spezielle L¨osung ergibt sich f¨ur den Anfangswerty(1/2) = π2? (c)
y0(x) =ey(x)sinx
Welche spezielle L¨osung ergibt sich f¨ur den Anfangswerty(0) = 0?
Aufgabe 5. [Matrizen und Eigenwerte]
F¨ur die Matrizen
M1 =
4 −3 3
1 0 1
−1 1 0
und M2 =
1 0 0 1 1 0 0 0 2
bestimmen man jeweils alle Eigenwerte sowie ein System linear unabh¨angiger Eigenvektoren maximaler Dimension.
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