Teilaufgabe 1.1 (6 BE) Berechnen Sie die Werte des Parameters k, für die die gegebenen Punkte eine dreiseitige Pyramide aufspannen

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Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2011 Mathematik 12 Technik - B II - Lösung

Teilaufgabe 1.0

In einem kartesischen Koordinatenystem des IR³ sind die Punkte P 1 0(  0), Q 0 1(  0), R 0 0(  1) und Sk k k(  k) mit k ∈ IR \ {0} gegeben.

Teilaufgabe 1.1 (6 BE)

Berechnen Sie die Werte des Parameters k, für die die gegebenen Punkte eine dreiseitige Pyramide aufspannen.

Gegeben sind folgende Ortsvektoren:

OP 1 0 0







  OQ

0 1 0







  OR

0 0 1







  OS k( ) k k k







 

Verbindungsvektoren:

PQ OQOP

1 1 0







 

 PR OROP

1 0 1







 

 PS k( ) OS k( ) OP

k1 k k







 



Spatprodukt gleich Null:

PQ PR

( )PS k( )=0 3 k

  1=0

 auflösen k 1

 3

Für k 1

 3 spannen die Punkte eine Pyramide auf.

Bestimmen Sie, für welche Werte des Parameters k die Pyramide ein reguläres Tetraeder, also eine gleichseitige Pyramide ist.

Alle Seitenkanten sind gleich lang, also Berechnung der Länge der einzelnen Verbindungsvektoren:

PQ  2 PR  2 OROP  2

Bedingung: PQ = PS k( )  2=  k1 ² 2 k ²

zwei Lösungen 2=(k1)² k² k² vereinfachen 2=3 k ²2 k  1auflösen k

1 1

3











___________________________

AP 2011, Mathematik Technik 12. Klasse, B II - Lösung Seite 1 von 4

(2)

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Teilaufgabe 2.0

Methan CH4 ist eine Kohlenwasserstoffverbindung. Das Molekül hat die Form eines regulären Tetraeders, in dessen Ecken sich die H-Atome befinden. Das C-Atom liegt im Punkt C, gleich weit von allen H-Atomen entfernt. Der Punkt C teilt die Höhen des Tetraeders im Verhältnis 3:1.

Die Ecken des Teraeders, also die Lage der H-atome, seien die Punkte aus 1.0 mit k = 1, also P 1 0(  0), Q 0 1(  0), R 0 0(  1) und S1 1 1(  1).

Die Punkte P, Q und S₁ liegen in einer Ebene F. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform.

[ Mögliches Ergebnis: F: x1 x2  x3 1=0 ]

Richtungsvektoren: PQ

1 1 0







  PS 1( )

0 1 1







 

Normalenvektor: nE PQ PS 1( ) nE 1 1

1







 

Ebene F:

x1 x2 x3









 OP









nE=0x1 x2 x31=0

Bestimmen Sie das Volumen des Tetraeders PQS₁R.

V 1

6 (PQPS 1( ))PR

 V 1

 3 0.333 Teilaufgabe 2.3 (4 BE)

Der Punkt T ist der Fußpunkt des vom Punkt R auf die Ebene F gefällten Lotes. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes T.

[ Ergebnis: T 2 3

2

3 1

3







^]

Hilfsgerade l ⊥ F durch R:

xl( )τ 0 0 1







 ^τ

1 1

1







 





l ∩ F: τ τ (1 τ) 1=0vereinfachen 3τ 2=0 auflösenτ 2

 3

___________________________

(3)

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Ortsvektor zum Lotfußpunkt: Lotfußpunkt:

OT xl 2 3









2 3 2 3 1 3















 T OT^T 2

3 2 3

1 3







 



R

P

F S₁

Q C

T

___________________________

(4)

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Berechnen Sie die Koordinaten des C-Atoms.

[ Ergebnis: C 1 2

1

2 1

2







^]

Ortsvektor zum Punkt C: OC



 OT



 1

4 TR







=

Verbindungsvektor TR



 :

TR OR OT

2

3 2

3 2 3















 Ortsvektor OT





: OT

2 3 2 3 1 3















einsetzen: OC

2 3 2 3 1 3













1 4

2

3 2

3 2 3

















1 2 1 2 1 2

















Koordinaten des C-Atoms: COC^T C 1 2

1 2







 

Bestimmen Sie den Winkel φ zwischen zwei C-H-Bindungen, also z. B. den Winkel PCS₁.

cos( )φ

CP



 CS1





CP





CS1



 

= cos( )φ

1 2 1

2 1

2













1 2 1 2 1 2















3 4

3

 4

 cos( )φ 1

3



φ acos 1

3







  φ109.5 °

___________________________