SS 2014 16. Juli 2014 Übungen zur Vorlesung Logik

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SS 2014 16. Juli 2014 Übungen zur Vorlesung Logik

Blatt 7

Jun.-Prof. Dr. Roland Meyer Abgabe bis 25. Juli 2014, 12:00 Uhr Aufgabe 7.1 [Prädikatenlogische Tableaus]

a) Zeigen Sie mittels eines Tableaus, dass die Formel

´

@x@yp ppx, yq Ñ ppy, xqq ^ @xDyppx, yq

¯

Ñ @xDyppy, xq allgemeinültig ist.

b) Zeigen Sie mittels eines Tableaus, dass die Formel ˆ

@x “

ppxq Ñ ppf pxqq ‰

Ñ @x “

ppxq Ñ ppf pf pxqqq ‰

˙

unerfüllbar ist.

Aufgabe 7.2 [Unifikation]

Berechnen Sie einen allgemeinsten Unifikator für die folgende Menge an Literalen:

tqpx, zq, qphpy, zq, f paqq, qphpfpbq, zq, zqu.

Aufgabe 7.3 [Tableaus]

Für eine Formelmenge Σ Ď FOpSq und eine Formel A P FOpSq schreiben wir Σ $ τ A, falls es ein abgeschlossenes Tableau zu Σ Y t Au gibt.

Es seien Σ Ď FOpSq eine Formelmenge und A, B P FOpSq Formeln mit Σ $ τ A und Σ $ τ A Ñ B . Beweisen Sie, dass dann auch Σ $ τ B . Hinweis: Sie können annehmen, dass A und B atomar sind.

Aufgabe 7.4 [Vollständige Theorien]

Wie auf Präsenzblatt 6 erwähnt, nennt man zwei Strukturen M und M ¹ elementar äquivalent, falls T M “ T M

¹

.

Es sei T eine konsistente Theorie. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

a) Wenn T vollständig ist, dann sind je zwei Modelle von T elementar äquivalent.

b) Wenn je zwei Modelle von T elementar äquivalent sind, dann ist T vollständig. Hin- weis: Verwenden Sie Präsenzaufgabe 6.2.

Abgabe: bis 25. Juli 2014, 12:00 Uhr im Kasten neben Raum 34/401.4

SS 2014 16. Juli 2014 Übungen zur Vorlesung Logik

SS 2014 16. Juli 2014 Übungen zur Vorlesung Logik

Blatt 7

Jun.-Prof. Dr. Roland Meyer Abgabe bis 25. Juli 2014, 12:00 Uhr Aufgabe 7.1 [Prädikatenlogische Tableaus]

a) Zeigen Sie mittels eines Tableaus, dass die Formel

´

@x@yp ppx, yq Ñ ppy, xqq ^ @xDyppx, yq

¯

Ñ @xDyppy, xq allgemeinültig ist.

b) Zeigen Sie mittels eines Tableaus, dass die Formel ˆ

@x “

ppxq Ñ ppf pxqq ‰

Ñ @x “

ppxq Ñ ppf pf pxqqq ‰

˙

unerfüllbar ist.

Aufgabe 7.2 [Unifikation]

Berechnen Sie einen allgemeinsten Unifikator für die folgende Menge an Literalen:

tqpx, zq, qphpy, zq, f paqq, qphpfpbq, zq, zqu.

Aufgabe 7.3 [Tableaus]

Für eine Formelmenge Σ Ď FOpSq und eine Formel A P FOpSq schreiben wir Σ $ τ A, falls es ein abgeschlossenes Tableau zu Σ Y t Au gibt.

Es seien Σ Ď FOpSq eine Formelmenge und A, B P FOpSq Formeln mit Σ $ τ A und Σ $ τ A Ñ B . Beweisen Sie, dass dann auch Σ $ τ B . Hinweis: Sie können annehmen, dass A und B atomar sind.

Aufgabe 7.4 [Vollständige Theorien]

Wie auf Präsenzblatt 6 erwähnt, nennt man zwei Strukturen M und M 1 elementar äquivalent, falls T M “ T M

.

Es sei T eine konsistente Theorie. Beweisen Sie die folgenden Aussagen.

a) Wenn T vollständig ist, dann sind je zwei Modelle von T elementar äquivalent.

b) Wenn je zwei Modelle von T elementar äquivalent sind, dann ist T vollständig. Hin- weis: Verwenden Sie Präsenzaufgabe 6.2.

Abgabe: bis 25. Juli 2014, 12:00 Uhr im Kasten neben Raum 34/401.4

Wie auf Präsenzblatt 6 erwähnt, nennt man zwei Strukturen M und M ¹ elementar äquivalent, falls T M “ T M