Prof. Dr. M. Rapoport WS 2007/08 Dr. E. Viehmann
Gruppen, Ringe, Moduln 4. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 1.
Sei peine Primzahl. Zeigen Sie, daß jede Gruppe der Ordnungp2 abelsch ist.
Hinweis:Benutzen Sie die Bahnengleichung.
Aufgabe 2.
Sei Geine endliche Gruppe undpeine Primzahl.
a) Zeigen Sie, daß allep-Sylowgruppen vonGzueinander konjugiert sind.
b) Zeigen Sie, daß die Anzahl der p-Sylowgruppen die Gruppenordnung |G| teilt und daß sie
≡1 (modp) ist.
Aufgabe 3.
In welchem der folgenden F¨alle handelt es sich um Ringe (Begr¨undung)?
a) Sei R⊂Qdie Menge der Br¨uche ab, wobei b nicht durch 11 teilbar ist, zusammen mit den vonQinduzierten Operationen.
b) SeiRdie Menge der Matrizen −b aa b
mita, b∈Rmit den gew¨ohnlichen Matrizenoperationen.
Aufgabe 4.
F¨urd∈Zmit √
d6∈QsetzeZ[√
d] :={a+b√
d; a, b∈Z} ⊂C.
a) Zeigen Sie, dassZ[√
d] der kleinste Unterring vonCist, welcher Zund√
denth¨alt.
b) Zeigen Sie die Wohldefiniertheit der Abbildung N :Z[√
d]→Z a+b√
d7→a2−b2d und die GleichheitN(x·y) =N(x)·N(y) f¨ur allex, y∈Z[√
d].
c) Beweisen Sie die Gleichheit Z[√
d]× ={x∈Z[√
d]; N(x)∈Z×}. Bestimmen Sie f¨urd <0 die MengeZ[√
d]× explizit. Finden Sie f¨urd= 2 Elemente unend- licher Ordnung inZ[√
d]×. Abgabe: Montag, 12. November 2007.
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