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Seien L, M, N Moduln ¨ uber einem Ring R. Verwenden Sie die universelle Eigenschaft des Tensor- produkts, um zu zeigen, daß es einen kanonischen Isomorphismus

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Academic year: 2021

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Prof. Dr. M. Rapoport WS 2007/08 Dr. E. Viehmann

Gruppen, Ringe, Moduln 11. ¨ Ubungsblatt

Aufgabe 1.

Seien L, M, N Moduln ¨ uber einem Ring R. Verwenden Sie die universelle Eigenschaft des Tensor- produkts, um zu zeigen, daß es einen kanonischen Isomorphismus

L ⊗

R

(M ⊗

R

N ) ∼ = (L ⊗

R

M) ⊗

R

N gibt.

Aufgabe 2.

Seien m, n ∈ Z positiv. Zeigen Sie, daß Z/mZ ⊗ Z/nZ ∼ = Z/(ggT(m, n)Z).

Aufgabe 3.

Sei M ein endlich erzeugter Modul ¨ uber einem Hauptidealring R.

a) Zeigen Sie, daß

0 → T (M ) → M → M ⊗ Quot(R) eine exakte Sequenz ist.

b) Sei i : M

0

, → M die Inklusion eines Untermoduls. Zeigen Sie, daß i ⊗ id : M

0

⊗ Quot(R) → M ⊗ Quot(R) wieder injektiv ist.

Aufgabe 4.

a) Zeigen Sie, daß Q / Z ⊗

Z

F

p

= 0 f¨ ur jede Primzahl p. Zeigen Sie, daß Q / Z ⊗

Z

Q = 0.

b) Geben Sie Z -Moduln L, M, N und eine injektive Abbildung f : M → N an, f¨ ur die f ⊗ id : M ⊗ L → N ⊗ L nicht injektiv ist.

Abgabe: Montag, 14. Januar 2008.

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