Aufgabe 4.1 – Ladungsoperator des Diracfeldes (5 Punkte)

Quantenfeldtheorie I WS 14/15 Prof. Jan Plefka Ubungsblatt 4 ¨

Abgabe Mittwoch 10.12 nach der Vorlesung – Besprechung am Freitag 12.12

Aufgabe 4.1 – Ladungsoperator des Diracfeldes (5 Punkte)

Zeigen Sie, dass sich der Operator der elektromagnetischen Ladung des Diracfeldes Q :=

Z

d ³ x : ψ ^† (~ x)ψ(~ x) : in Erzeugern und Vernichtern wie

Q =

Z d ³ p (2π) ²

X

s=1,2

( a ^s _{~ p} ^† a ^s _{~ p} − b ^s _{~ p} ^† b ^s _{~ p} )

schreiben l¨ asst. Was folgt f¨ ur den Kommutator [Q, ψ(~ x)] ? Aufgabe 4.2 – Majoranaspinoren (10 Punkte)

Ungeachtet unserer Beobachtung in der Vorlesung, dass sich f¨ ur einen chiralen Dirac- spinor ψ _L alleine kein relativistisch invarianter Massenterm anschreiben l¨ aßt, gibt es dennoch eine M¨ oglichkeit massive, zweikomponentige Weylspinoren einzuf¨ uhren. Hierzu betrachten wir den Weylspinor χ _α (mit α = 1,2), der wir ein linksh¨ andiger Diracspinor transformieren soll

χ → e ⁻

^{( ~ β+i~ θ) ~ σ} χ

mit dem Rotationsvektor β ~ und dem Boostvektor ~ σ (vergl. Vorlesung).

a) Zeigen Sie nun, dass sich iσ ² χ ^∗ wie ein rechtsh¨ andiger Diracspinor ψ _R transformiert.

(Tip: Zeigen Sie zun¨ achst, dass σ ^{i ∗} = −σ ² σ ⁱ σ ² ist)

b) Ein Majoranaspinor ist dann ein Diracspinor, der sich aus χ mittels dieser Konstruk- tion ergibt:

ψ _M = χ

i σ ² χ ^∗

Leiten Sie die relativistisch invariante Bewegungsgleichung f¨ ur χ ab, indem Sie die Diracgleichung f¨ ur ψ M in links- und rechtsh¨ andige Komponenten zerlegen. Sie sollten zwei zu

i(∂ ₀ − ~ σ ~ ∇)χ − im σ ² χ ^∗ = 0 (1)

¨ aquivalente Gleichungen erhalten. Argumentieren Sie, warum die obere Gleichung relativistisch kovariant ist.

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c) Leiten Sie nun aus Ihrer Kenntnis der Diracwirkung ¹ die Lagrangedichte eines Majo- ranafermions ab:

L _Majorana = 2i χ ^† σ ¯ · ∂χ + im(χ ^T σ ² χ − χ ^† σ ² χ ^∗ ) Ist S = R

d ⁴ x L Majorana reell? ¨ Uberzeugen Sie sich ferner, dass der obige Massenterm nur Sinn macht, falls χ _α Werte in einer Grassmannalgebra einnimmt, d.h. das χ _α antikommutierende c-Zahlen darstellt.

d) Wie lautet die allgemeine L¨ osung des Majoranafeldes? Gehen Sie hierf¨ ur von der allgemeinsten L¨ osung f¨ ur ein linksh¨ andiges Diracfeld ψ _L aus und implementieren Sie die Bedingung ψ _R = iσ ² ψ ^∗ _L .

e) Ist χ → e ^iα χ eine Symmetrie der massiven Majoranawirkung? Diskutieren Sie die Konsequenz ihrer Erkenntnis f¨ ur die elektromagnetische Ladung eines Majoranafer- mions.

Aufgabe 4.3 – P,T und C Transformationen (5 Punkte)

Wie lauten die Transformationseigenschaften unter Parit¨ at (P ), Zeitumkehr (T ) und Ladungskonjugation (C) der bilinearen Ausdr¨ ucke

ψψ, ¯ ψγ ¯ ⁵ ψ, ψγ ¯ ^µ ψ ? Verwenden Sie hier die Transformationseigenschaften

P ψ(t,~ x)P = γ ⁰ ψ(t,−~ x) T ψ(t,~ x)T = −γ ¹ γ ³ ψ(−t,~ x) Cψ(t,~ x)C = −i( ¯ ψ (t,~ x)γ ⁰ γ ² ) ^T wobei zu beachten ist, dass T ein anti-linearer Operator im Sinne von

T (c-Zahl) = (c-Zahl) ^∗ T ist.

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Wir hatten L

= ¯ ψ(iγ · ∂ − m)ψ.

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