¨Ubungsblatt 5 Abgabe bis 14.12, Besprechung 19.12.06 Aufgabe 1: Ladungsoperator des Diracfeldes

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Quantenfeldtheorie I WS 06/07 Prof. Jan Plefka

Ubungsblatt 5 ¨

Abgabe bis 14.12, Besprechung 19.12.06

Aufgabe 1: Ladungsoperator des Diracfeldes (7 Punkte)

Zeigen Sie, dass sich der Operator der elektromagnetischen Ladung des Diracfeldes Q :=: R

d

³

x ψ

^†

: in Erzeugern und Vernichtern wie

Q =

Z d

³

p (2π)

²

X

s=1,2

( a

^s_~_p^†

a

^s_p_~

− b

^s_~_p^†

b

^s_~_p

)

schreiben l¨ aßt.

Aufgabe 2: Lokale Invarianz in der QED (7 Punkte) Gegeben sei die Lagrangefunktion der Quantenelektrodynamik

L

_QED

= ¯ ψ (iγ

^µ

D

_µ

− m)ψ − 1

4 F

_µν

F

^µν

,

mit F

_µν

= ∂

_µ

A

_ν

− ∂

_ν

A

_µ

und der kovarianten Ableitung D

_µ

= ∂

_µ

− i e A

_µ

. Uberpr¨ ¨ ufen Sie die lokale Invarianz der Wirkung unter den Eichtransforma- tionen

δψ = iα(x) ψ δA

_µ

= 1

e ∂

_µ

α(x) α ∈ R.

Konstruieren Sie weiterhin eine analoge lokal eichinvariante Wirkung, die die Kopplung eines geladenen,komplexen, massiven Bosons φ an das elektromag- netische Feld darstellt. D.h. “eichen” Sie die Wirkung

L = ∂

_µ

φ ∂

^µ

φ

^∗

− m

²

φ φ

^∗

,

um die “skalare QED” zu erhalten.

Aufgabe 3: Kopplungen in allgemeinen Dimensionen (6 Punkte) Wir wollen die Dimensionalit¨ aten von Feldern und Kopplungen in allgemeinen Raumzeitdimensionen untersuchen. ¨ Uberlegen Sie sich hierzu zun¨ achst welche Dimensionen ein Skalarfeld φ, ein Fermion ψ und ein Eichfeld A

_µ

in

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eine d dimensionalen Raumzeit besitzt. Hierzu geht man von der jeweils freien massenlosen Theorie aus:

Z

d

^d

x ∂

_µ

φ∂

^µ

φ , Z

d

^d

x ψ∂ ¯

_µ

ψ , Z

d

^d

x (F

_µν

)

²

.

Bestimmen Sie nun die Dimensionalit¨ at der Kopplungskonstanten f¨ ur die allgemeinen Wechselwirkungsterme

L

^(n,m)_{W W}

= µ

_n,m

( ¯ ψψ)

ⁿ

φ

^m

wobei n, m = 0, 1, 2, 3, . . .. Geben Sie nun explizit die Werte von n, m in einer Tabelle an f¨ ur die diese Wechselwirkungen in d = 2, 3, 5 Dimensionen renormierbar sind. K¨ onnen Sie Aussagen f¨ ur allgemeines d > 1 machen?

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