Hans Walser, [20091223a]
Goldener Schnitt mit drei Kreisen und Dreiecken Idee und Anregung: J. N. (vgl. [Prinz 2009], S. 20, Abb. 19)
1 Konstruktion mit drei Kreisen
Die folgende Konstruktion wurde von K. Hofstetter gefunden [Hofstetter 2002]. Wir beginnen mit zwei Kreisen gemäß Figur. Der Mittelpunkt des einen Kreises ist jeweils auf der Kreislinie des anderen.
Zwei Kreise
Nun setzen wir einen dritten, gleich großen Kreis berührend auf.
Dritter Kreis
In dieser Situation liegen der Mittelpunkt dieses dritten Kreises und die beiden Schnitt- punkte der ersten beiden Kreise im Verhältnis des goldenen Schnittes.
Beweis: Der Radius der Kreise sei 1. Der längere Abschnitt, zwischen den beiden Schnittpunkten der ersten beiden Kreise, hat die Länge 3. Für den kürzeren Abschnitt erhalten wir:
22 −
( )
12 2 − 12 −( )
12 2 = 12(
15− 3)
= 3 52−1Hans Walser: Goldener Schnitt mit drei Kreisen und Dreiecken 2/2
Damit ergibt sich das Längenverhältnis des goldenen Schnittes:
3 52−1
3 = 52−1
2 Variante mit Dreiecken
Auf derselben Basis bauen wir ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel doppelt so lang sind wie die Basis, ein gleichseitiges Dreieck mit Spitze nach oben und ein gleichseitiges Dreieck mit Spitze nach unten.
Dreiecke
Die drei Spitzen liegen dann im Verhältnis des goldenen Schnittes. Beweis analog.
Literatur
[Hofstetter 2002] Hofstetter, Kurt: A Simple Construction of the Golden Section.
Forum Geometricorum, 2 (2002), p. 65-66.
[Prinz 2009] Prinz, Ina: Jo Niemeyer im Arithmeum. Berlin: Nicolai 2009.
ISBN 978-3-89479-904-4
