H4.2 Geod¨ aten der Schwarzschildmetrik

Allgemeine Relativit¨ atstheorie

SoSe 16 Marlene Doert (mdoert@tp4.rub.de), Mario H¨orbe (mario@tp4.rub.de),

Fabian Bos (fb@tp4.rub.de), Mike Kroll (mike.kroll@rub.de)

Ubungsblatt H4 ¨

Abgabe: 28.06. im Zettelkasten, NB7 Nord

H4.1 Gravitationswellen

Zeige, dass sich Gravitationswellen mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen. Nutze dazu die aus der Vorlesung bekannte Wellengleichung f¨ur den St¨orterm der Metrik

h_µν = 0 mit h_µν =A_µνexp (ik_σx^σ) ; A_µν = const. (1) Hinweis: Finde dazu eine Indexschreibweise des D’Alembert-Operators.

H4.2 Geod¨ aten der Schwarzschildmetrik

Die Schwarzschildmetrik l¨ost die Feldgleichungen in sph¨arischer Geometrie und ist daher von beson- derer astrophysikalischer Bedeutung. Sie ist gegeben durch:

ds² =c²

1−R_s r

dt²−

1−R_s

r −1

dr²−r²dθ²−r²sin²θdφ² . (2) Die Gr¨oßeRs= ^2GM_c2 wird auch Schwarzschildradius genannt. Die Schwarzschildmetrik beschreibt die Kr¨ummung der Raumzeit durch ein punktf¨ormiges Objekt der MasseM.

(a) Stelle die Geod¨atengleichungen der Schwarzschildmetrik auf und deute die analytischen Her- ausforderungen, die deren L¨osung darstellt. Die nicht-verschwindenden Christoffelsymbole der Schwarzschildmetrik lauten (zzgl. aller symmetrischen Symbole!)

Γ⁰₀₁=−Γ¹₁₁= _r(−2GM+c^GM 2r) Γ¹₀₀= ^GM_c2r³ −2GM+c²r

Γ¹₂₂= ^2G_c2M−r Γ¹₃₃= ^sin_c²2^(θ) 2GM−c²r Γ²₁₂= ¹_r Γ²₃₃=−¹₂sin (2θ) Γ³₁₃= ¹_r Γ³₂₃= _{tan (θ)}¹

Das in Aufgabe (a) aufgestellte Problem kann teil-interpretiert werden, indem insbesondere das radiale Verhalten eines Testobjektes in der Schwarzschildmetrik betrachtet wird. Gehe dazu wie folgt vor:

(b) Zeige unabh¨angig von einer speziellen Metrik, dass die Gr¨oße

δ =g_µνU^µU^ν mit δ =







c² wenn U zeitartig 0 wenn U lichtartig

−c² wenn U raumartig

(3)

eine Erhaltungsgr¨oße ist indem du beweist, dass deren kovariante Richtungsableitung verschwindet.

(c) Expandiere den Ausdruck aus Gleichung (3) in der Schwarzschildmetrik. W¨ahle dabei einen fixen, analytisch vorteilhaften Winkelθ.

In sph¨arischer Symmetrie sind die GesamtenergieE und der DrehimpulsL Erhaltungsgr¨oßen. Unter Zuhilfenahme der sph¨arischen Killing-Vektoren kann in der Schwarzschildmetrik gezeigt werden, dass

E =c²

1−Rs

r dt

dτ und L=r²dφ

dτ . (4)

(d) Vereinfache den Ausdruck aus (c) mit den Gleichungen aus (4) und bringe dein Ergebnis in die quasi-newtonsche Form

1 2

dr dτ

2

+V (r) =ε mit ε= E²

2c² . (5)

Welcher Ausdruck ergibt sich f¨ur V (r)? Wie sind V (r) und ε physikalisch zu interpretieren?

Warum gibt es in dieser Gleichung nirgends ein “m”, wie es im newtonschen Analogon zu erwarten w¨are?

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