Die 5 platonischen Körper
Eine Lernwerkstatt zu den vollkommenen Polyedern
Semesterarbeit Mathematik Sekundarstufe I
Fachhochschule Nordwestschweiz Pädagogische Hochschule
Perriard Sabine
Die 5 platonischen Körper
1. E INLEITUNG
Die platonischen Körper sind eine Unterkategorie der Polyeder. Ein Polyeder ist ein Körper mit vier oder mehr ebenen Seitenflächen. Die Besonderheit eines platonischen Körpers ist diejenige, dass er aus regelmässigen Seitenflächen besteht, die deckungsgleich sind. Später werde ich auf die einzelnen platonischen Körper und deren Seitenflächen eingehen. Diese regulären Polyeder werden „platonische Körper“ genannt, da der griechische Philosoph Platon versuchte, den Aufbau des ganzen Universums damit zu erklären. Platon hat aber überhaupt nichts mit deren Entdeckung zu tun.
Polyeder, und damit auch die fünf platonischen Körper, gehören zum Bereich der Stereometrie.
Stereometrie wird oft dem Niveau der Sekundarstufe II zugeschrieben. Trotzdem erachte ich es für wichtig, dass das räumliche Denken und Sehen bereits in der Sekundarstufe I geschult wird.
Deshalb habe ich in meiner Arbeit versucht, dieses komplexe Thema so anzupassen, dass es auch in
der ersten Sekundarstufe eingeführt werden kann. Dazu habe ich eine Werkstatt entwickelt, in der die Schüler und Schülerinnen das Thema selbstständig und in ihrem eigenen Tempo erarbeiten können. Darin sind sowohl spielerische als auch geometrische Übungen enthalten.
2. D IE 5 PLATONISCHEN K ÖRPER
2.1 Kurzer geschichtlicher Überblick
So ziemlich die ältesten regulären (oder halbregulären) Körper wurden in Schottland gefunden. Dort fand man Steinkugeln, die graviert sind und
unzählige Knoten aufweisen. Sie sind ungefähr 70mm gross und sollen über 4000 Jahre alt sein.
Dessen Verwendung und Bedeutung ist jedoch noch ungeklärt.
Auch bei den Ägyptern tauchten regelmässige Körper auf.
Ihre Pyramiden mit der quadratischen Grundfläche sind im Grunde die Hälfte eins Oktaeders.
Die Römer konstruierten Dodekaeder, wovon in der Schweiz 92 gefunden wurden. Auch bei diesen ist man sich nicht sicher, wofür sie verwendet wurden. Vielleicht waren diese Waffen, Spielzeuge, Kerzenhalter, religiöse Symbole oder irgendetwas anders.
PLATON (ca. 428 - ca. 348 v. Chr.), schrieb jedem platonischen Körper ein Element zu. Er versuchte, den ganzen Kosmos damit zu erklären. So war der Würfel das Element Erde, das Ikosaeder war das Wasser, das Tetraeder Feuer und das Oktaeder war die Luft. Die Oberflächen der Körper waren so konstruiert, dass jede Oberfläche jeweils aus verschieden grossen und vielen Dreiecken besteht. So konnten diese Elemente miteinander reagieren durch die Umlagerung von Dreiecken. Das Dodekaeder war der Himmelsäther (quinta essentia), wobei jede Seitenfläche ein Sternbild darstellte. Die platonischen Körper wurden daher nach Platon benannt.
Auch EUKLID (ca. 300 v. Chr.) beschäftigte sich mit den platonischen Körpern. So behandelte er deren Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Er schrieb die Körper in Umkugeln ein und zeigte, dass eine Beziehung zwischen den Umkugeln und den Kantenlängen besteht. Ausserdem begründete er, warum es höchstens fünf davon geben kann.
KEPLER (1571 – 1630) entwickelte ein Planetenmodell, mit dem die Radienverhältnisse der Planeten dargestellt werden soll. So sind die fünf Körper mit ihrer jeweilige In- und Umkugel ineinander geschachtelt. Dabei ist eine Umkugel die Inkugel des nächstgrösseren Körpers.
Noch heute sind die platonischen Körper ein faszinierendes Thema für viele Mathematiker. Wahrscheinlich ist deren vollständige Entdeckung aus
2.2 Die 5 Körper
Wie bereits erwähnt, sind die fünf platonischen Körper reguläre Polyeder. Die Bezeichnung Polyeder stammt aus dem Griechischen. Der zweite Wortteil -eder bedeutet „Fläche“ und poly heisst „viel“. Wörtlich ist ein Polyeder ein „Vielflach“, das heisst ein Körper, der von ebenen Flächen begrenzt wird. Auch die Namen für die platonischen Körper kommen vom Griechischen.
Dabei wird der Name aus einer Vorsilbe und dem Wortteil „-eder“ zusammengesetzt. Die Vorsilbe deutet darauf hin, wie viele Seiten ein jeweiliger Körper besitzt. Zum Beispiel das Tetraeder hat 4 Seitenflächen, wobei tetra mit vier übersetzt werden kann.
Die platonischen Körper sind so aufgebaut, dass sie jeweils eine räumliche Erweiterung zu den regelmässigen Vielecken sind. Alle Oberflächen eines platonischen Körpers sind regelmässige, das heisst gleichseitige und gleichwinklige, Vielecke, die kongruent sind. Das heisst, wenn diese Vielecke aufeinander gelegt werden, sind die Flächen immer deckungsgleich.
Ausserdem kommen an jeder Ecke gleich viele Kanten zusammen.
Häufig werden die platonischen Körper als vollkommen regelmässig (symmetrisch) bezeichnet. Es gibt nur diese fünf vollkommen symmetrischen Polyeder. Für eine Ecke im Raum benötigt es mindestens 3 Flächen, deren Winkelsumme kleiner als 360° sein muss. Dies trifft nur bei den fünf platonischen Körpern zu.
Wie die regelmässigen Vielecke einen In- und Umkreis haben, besitzen auch die platonischen Körper jeweils eine Inkugel und Umkugel. Die Inkugel wird dem Körper einbeschrieben. Sie berührt alle Flächenmittelpunkte des Körpers. Die Umkugel hingegen berührt alle Ecken und umhüllt den Körper. Zusätzlich gibt es die Kantenkugel, die alle Kanten genau in deren Mitte berührt. Im Gegensatz zu den ersten beiden zerschneidet diese dritte Kugel den Körper jedoch.
2.2.1 Das Tetraeder
Das Tetraeder besteht aus vier (=tetra) regelmässigen Dreiecken als Seitenflächen. Es hat vier Ecken und insgesamt sechs Kanten. Die Winkelsumme einer Ecke des
Tetraeders beträgt 180°, da drei gleichseitige Dreiecke zusammenkommen.
Das heisst, es ist vollkommen symmetrisch.
2.2.2 Das Hexaeder
Das Hexaeder ist eher bekannt als Würfel. Der Würfel hat sechs (=hexa)
270°. Würden vier oder mehr Seitenflächen zusammenstosse, wäre die Winkelsumme 360° oder grösser, und somit nicht mehr vollkommen.
2.2.3 Das Oktaeder
Das Oktaeder wird aus acht (=okta) gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen zusammengesetzt. Die Eckenanzahl beträgt sechs und die Kantenanzahl ebenfalls zwölf. Die Winkelsumme einer Ecke, an der vier regelmässige
Dreiecke aufeinander treffen, beträgt 240°, also noch deutlich unter der 360°-Grenze.
2.2.4 Das Ikosaeder
Auch das Ikosaeder besteht aus gleichseitigen Dreiecken. Es hat 20 (=ikosa) Seitenflächen, zwölf Ecken und 30 Kanten. Auch hier liegt die Winkelsumme noch unter 360°. An einer Ecke kommen fünf
der Seitenflächen zusammen, was die Summe von 300°
ausmacht. Deshalb ist auch das Ikosaeder vollkommen. Es existiert kein vollkommenes Polyeder mit einer Ecke, die aus sechs gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt wird.
2.2.5 Das Dodekaeder
Das Dodekaeder hat zwölf (=dodeka) regelmässige Fünfecke als Seitenflächen. Deshalb wird es auch als Pentagon-Dodekaeder bezeichnet.
Insgesamt hat es 20 Ecken und 30 Kanten. Auch das Dodekaeder ist vollkommen. Die Winkelsumme einer Ecke, die aus 3 Fünfecken gebildet wird, ist 324° und deshalb ist auch das Dodekaeder vollkommen.
3. I NFORMATIONEN ZUR W ERKSTATT
3.1 Einleitung
Die platonischen Körper sind ein sehr umfassendes Thema. Sie kommen nicht nur in der Mathematik vor, sondern auch in der Kunst, in Bastelbüchern und sogar in der Kunst und Natur.
Deshalb ist es auch sehr spannend, diese besonderen Körper einmal genauer in Augenschein zu nehmen. Die Werkstatt bietet eine Möglichkeit, diese Körper in der Sekundarstufe I zu behandeln.
3.2 Niveau
Die platonischen Körper gehören zur Stereometrie. Stereometrie ist die Lehre des Raumes.
Dazu braucht es ein gutes Vorstellungsvermögen, da auf den ersten Blick Körper auf Papier zweidimensional wirken. Oft wird Stereometrie erst in der Sekundarstufe II behandelt. Doch je eher die dritte Dimension geübt wird, umso einfacher wird es später. Trotzdem wird bei den platonischen Körpern viel Vorwissen benötigt. Zum Beispiel könnten in einem weiteren Schritt, zusätzlich zur Werkstatt, Seiten, Winkel und Flächen berechnet werden. Deshalb ist diese Werkstatt eher für das Niveau P1 geeignet.
3.3 Umsetzung
Die Werkstatt ist so aufgebaut, dass nicht nur Rechnungen, sondern auch Theorie und spielerische Umsetzung enthalten sind. Diese verschiedenen Lernformen sollen dazu beitragen, die Werkstatt attraktiv, interessant und vielseitig zu gestalten. Natürlich sind einige Posten schwieriger und komplizierter als andere. Der erste Posten mit dem Theorieeintrag könnte eventuell in der Klasse erarbeitet werden. Für einige Posten ist es nötig, die Theorie bereits zu kennen. Die Schüler und Schülerinnen sollen die Möglichkeit erhalten, dieses Thema selbständig zu entdecken. Mit einer Werkstatt erhalten die Schüler auch die Gelegenheit, in ihrem individuellen Lerntempo vorzugehen. Dabei wird stark an die Eigenverantwortung der Schüler appelliert. Die Lehrperson steht eher im Hintergrund, gibt aber Hilfestellung, wenn nötig.
Bei einigen Posten ist es möglich, dass die Lösungen selbstständig überprüft werden können.
Das Lösungsblatt zur Selbstkontrolle sollte aber stets bei der Lehrperson sein und nur abgegeben werden, wenn die Schüler ihre eigenen Lösungen vorweisen. Oft kommen Schüler und Schülerinnen in die Versuchung, zuerst die Lösungen durchzugehen, bevor sie etwas
4. W ERKSTATT
Schüleranleitung
Du wirst nun in die Welt der platonischen Körper eintauchen. Dafür musst du eine Werkstatt durchlaufen und einzelne Posten bearbeiten. Du musst nicht nur Theorie betreiben, sondern wirst auch Basteln und Knobeln.
Beachte dabei folgende Regeln:
Das laminierte Postenblatt bleibt immer beim Posten und wird nicht mit nach Hause genommen. Wenn du es trotzdem brauchst, kopiere ich es für dich.
Von den Aufgabenblättern, Anleitungen oder Schablonen darfst du jeweils eines behalten.
Bevor du einfach mit dem Lösen beginnst, lies sorgfältig das Postenblatt durch.
Wenn du Fragen hast, frage zuerst deine Mitschüler. Vielleicht können sie dir helfen.
Wenn auch sie nicht weiter wissen, können wir der Frage in einer kleinen Gruppe oder in der ganzen Klasse nachgehen.
Die obligatorischen Posten müssen gelöst werden. Wenn du zu wenig Zeit in der Stunde hast, beendest du die Aufgabe zu Hause.
Nach dem Beenden eines Postens, kommst du zu mir und zeigst mir deine Lösungen.
Dann gebe ich dir (wo nötig) ein Lösungsblatt und du kannst den fertigen Posten in der Lernüberprüfung abhaken. Die Lernziele sollen dir dabei helfen, was du nach der Werkstatt wissen solltest.
Klebe als erstes den Theorieeintrag in dein Heft. Danach klebst du die Arbeitsblätter, sobald du sie gelöst hast, auch in dein Heft.
Zeichenerklärung:
Ziele Material
Auftrag Zeit
Viel Spass!!!
Lernüberprüfung
Was Lernziel Arbeitsform Fertig
P1
Theorie Ich kenne die 5 platonischen Körper und kann deren
Eigenschaften aufzählen.
EA
P2
Beweis Ich weiss, dass es nur fünf
vollkommene Körper gibt und kann dies begründen.
EA PA
P3Abwicklung Ich kenne die Abwicklungsmodelle
und somit den Aufbau der Körper.
PA EA
P4Tabelle Ich kenne genauere Eigenschaften
der fünf Körper und weiss den Zusammenhang zwischen Ecken-, Kanten-, und Flächenzahl.
EA
P5
Symmetrien Ich kenne einige Symmetrien in den Körpern und kann für jeden Körper 2 aufzählen.
EA PA
P6Umwelt Ich weiss, dass die platonischen
Körper nicht nur in der
Mathematik vorkommen und kann vier Erscheinungen in der Umwelt aufzählen.
PA
P7
Flechten Ich kann mindestens einen Körper aus Flechtstreifen machen.
EA
P8Bausteine Ich kann mindestens einen Körper
aus Steckteilen basteln.
EA PA
P9Fussball Ich weiss, dass der Fussball kein
platonischer Körper ist, aber diesen sehr ähnlich.
PA
P10
Quiz Repetition EA
Legende
EA = Einzelarbeit PA = Partner- oder Gruppenarbeit AB = Arbeitsblatt LB = Lösungsblatt
= obligatorisch = freiwillig
Posten 1: Theorieeintrag
Du lernst nun die einzelnen platonischen Körper und deren Eigenschaften kennen.
Kopie der Theorie Schreibzeug
Farbstifte
Lies sorgfältig die Theorie durch!
Male danach die sichtbaren Teile der Körper dünn an. Nimm dazu für jeden Körper eine andere Farbe.
Ich werde den zusätzlichen Auftrag korrigieren.
15 Minuten
Theorieeintrag: Die fünf platonischen Körper
Die fünf platonischen Körper gehören zu den Polyedern und sind regelmässig. Ein Polyeder ist genau dann regelmässig, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
Die Oberfläche ist aus lauter gleichen Vielecken zusammengesetzt. Diese Vielecke sind regelmässig!
An jeder Ecke stossen genau gleich viele Seitenflächen und Kanten aufeinander.
Alle Ecken liegen auf einer Kugeloberfläche.
Oft werden die fünf platonischen Körper auch als vollkommen bezeichnet.
Wie dem dritten Punkt entnommen werden kann, besitzen die platonischen Körper eine Umkugel. Sie haben aber auch eine Inkugel, die alle Mittelpunkte der Seitenflächen von innen berührt.
Wie du bereits weisst, ist ein Vieleck genau dann regelmässig, wenn
alle Seiten gleich lang (=gleichseitig) und alle Winkel gleich gross
(=gleichwinklig) sind.
Vorstellungsrunde
Tetraeder:
Das Tetraeder ist aus vier gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt.
Oktaeder:
Das Oktaeder ist aus acht gleichseitigen Dreiecken zusammengesetzt.
Hexaeder = Würfel:
Der Würfel besteht aus 6 Quadraten, also regelmässigen Vierecken.
Ikosaeder:
Das Ikosaeder wird aus 20 regelmässigen Dreiecken zusammengesetzt.
Das Dodekaeder:
Das Dodekaeder besteht aus zwölf regelmässigen
Fünfecken (Pentagone).
Auftrag:
Male nun die sichtbaren Flächen der Körper dünn an. Benutze für jeden Körper eine neue Farbe.
Zusatzaufgabe:
Fällt dir etwas an den Namen der Körper auf?
Wie stehen sie im Zusammenhang mit der Anzahl der Seitenflächen?
Notiere deine Erkenntnisse:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Was denkst du, bedeutet der Wortteil „-eder“?
____________________________________________________________
Posten 2: Beweis
Hier erfährst du, warum es nur diese fünf vollkommenen Körper geben kann.
Arbeitsblatt Schreibzeug
Laminierte Vielecke
Folge genau dem Arbeitsblatt und ergänze die fehlenden Lücken. Dabei führst du die Versuche aus.
Bring mir danach dein Arbeitsblatt zur Korrektur.
15 Minuten
AB: Beweisführung
Betrachte zu Beginn erst mal eine Zimmerecke.
Der Winkel einer Zimmerecke (Wand-Boden) beträgt genau _____ ° und es treffen ___ Flächen aufeinander.
Damit überhaupt eine Ecke entsteht, muss die Summe aller Winkel kleiner als ______ ° sein. Wäre der Winkel nun gleich ______ ° hätten wir eine ________. Wäre der Winkel sogar grösser, wäre die Ecke nach aussen „gebogen“ und somit keine Zimmerecke mehr.
Bei den platonischen Körpern verhält es sich genau gleich. Wir möchten einen in sich geschlossenen Körper erhalten, deshalb darf keine Ecke grösser als 360° sein und es müssen mindestens 3 Flächen zusammenkommen.
Wie du in der Theorie bereits erfahren hast, sind die platonischen Körper ______________________ Polyeder.
Das bedeutet, sie haben folgende Eigenschaften:
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
Versuch mit Dreiecken:
Nimm als erstes die regelmässigen Dreiecke als Seitenflächen. Wir setzen nun 3, 4, 5 und 6 Dreiecke aneinander, um zu sehen wie gross der Winkel ist. Überlege dir dabei, wie gross ein Winkel eines
gleichseitigen Dreiecks ist!
Berechne folgende Winkel:
Daraus folgt, dass höchstens _____ Dreiecke aufeinandertreffen dürfen, damit wir eine Ecke erhalten.
Versuch mit Quadraten:
Wie viele Quadrate benötigt es für eine Ecke? ____
Lege 3 Quadrate aneinander. Der Winkel ist _____ °.
Lege 4 Quadrate aneinander. Der Winkel ist _____ ° und somit keine Ecke mehr, sondern eine ___________.
Versuch mit Fünfecken:
Als nächstes legst du 3 und 4 Fünfecke aneinander.
Rechne dann den Winkel aus:
3 Fünfecke ______ ° 4 Fünfecke ______ °
Also gibt es nur ein Polyeder mit ____ Fünfecken als Seitenfläche und nicht mehr.
Versuch mit Sechsecken oder mehr:
Auch hier liegt die Winkelsumme mit 3 Sechsecken, Siebenecken
oder mehr bereits bei 360° oder drüber. Deshalb können keine Ecken
gebildet werden. Wenn keine Ecken gebildet werden können, erhalten
wir auch keinen Körper.
Posten 3: Abwicklungsmodelle
Bei diesem Posten lernst du den Aufbau der platonischen Körper näher kennen.
Modelle der Körper Abwicklungsmodelle Schere
Klebestift
Ordne die Abwicklungsmodelle dem richtigen Körper zu!
Schneide zwei Modelle aus. Falte sie und klebe sie zusammen, wenn sie die Form des Körpers haben.
Fett Schwarz = Schneidelinien Grau = Klebelaschen
Die anderen machst du zu Hause.
20 Minuten
Modell 1
Modell 2
Modell 3
Modell 4
Modell 5
Posten 4: Tabelle
Hier findest du selbstständig die wichtigsten Daten der platonischen Körper heraus.
Modelle der Körper
Arbeitsblatt mit Tabelle Schreibzeug
Setze dich mit den fünf Körpern genauer auseinander und fülle die Tabelle aus!
Die Lösungen zur Korrektur kannst du bei mir holen.
15 Minuten
AB: Eckdaten der platonischen Körper
Ecken Kanten Flächen Bild Tetraeder
Oktaeder
Würfel
Ikosaeder
Dodekaeder
Zusatzaufgabe:
Erkennst du eine Regelmässigkeit in den Zahlen?
Posten 6: Platonische Körper aus der Natur
Bei diesem Posten wirst du lernen, dass die platonischen Körper nicht nur in der Mathematik vorkommen, sondern auch in der Umwelt, Architektur oder Kunst.
Arbeitsblatt Schreibzeug
Nimm ein Arbeitsblatt.
Welchen Körper stellen die Bilder dar?
Begründe kurz deine Wahl!
Das Lösungsblatt zur Korrektur kannst du bei mir holen.
10 Minuten
AB: Platonische Körper aus der Umwelt
Kristalle:
Virus:
Algen:
Gemälde:
Bauten:
Posten 10: Quiz
Beim letzten Posten repetierst du noch einmal das Wichtigste zu den platonischen Körpern.
Arbeitsblatt: Quiz Schreibzeug
Versuche das Kreuzworträtsel so weit als möglich ohne Hilfe auszufüllen.
Wenn du nicht mehr weiter weisst, nimm die Unterlagen zu Hilfe.
Die Lösungen dazu kannst du bei mir holen.
15 Minuten
AB: Quiz
Waagrecht:
1 Alle Ecken eines platonischen Körpers liegen auf einer … 3 Wenn alle Seiten gleich gross sind wird dies … genannt.
6 Das Dodekaeder hat … als Seitenflächen.
7 Es braucht mindestens … Flächen, damit eine Ecke gebildet werden kann.
11 Wie werden die platonischen Körper oft auch bezeichnet?
12 So wird der Würfel in der mathematischen Sprache genannt.
14 Die platonischen Körper gehören zu den …
15 Die
… eines platonischen Körper ist aus lauter gleichen Vieleckenzusammengesetzt.
16 Ich habe 6 Ecken.
Senkrecht:
2 Wenn alle Winkel gleich gross sind, wird dies … genannt.
4 Ich habe 4 Dreiecke als Seitenflächen.
5 Der Name eines platonischen Körpers steht im Zusammenhang mit der Anzahl der …
8 Das Dodekaeder und das Ikosaeder haben dreissig … 9 Ich bestehe aus zwanzig Dreiecken als Seitenflächen.
10 Was bedeutet der Wortteil „-eder“?
13 Das Dodekaeder hat … Ecken.
L ITERATUR - UND I NTERNETSEITENVERZEICHNIS
Formeln und Tafeln
DMK/DPK, Orell Füssli Verlag AG, Zürich 1977, 10.Auflage 2003
Platonische Körper, Verwandtschaften, Metamorphosen, Umstülpungen Renatus Ziegler, Kooperative Dürnau, 1998
Platonische Körper, Skript von H.Walser, aus der Vorlesung Mathematik auf der Sekundarstufe I, Uni Basel 2009
Time Life – Lebendiges Wissen. Mathematik
Time-Life Books B.Vv, Amsterdam 2000, 2. Auflage
http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/~rockstroh/Platon.htm Letzer Zugriff am: 28. Dezember 2009
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http://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper Letzer Zugriff am: 28. Dezember 2009
http://www.hbmeyer.de/flechten/
Letzter Zugriff am: 29. Dezember 2009
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