Physikalische Anwendungen – Kinematik

(1)

Zum Mathematik-Lehrbuch „Notwendig und zunächst hinreichend“ (Shaker Ver- lag, Aachen) gibt es mehrere PDF-Dokumente mit ergänzenden Beispielen und Aufgaben, die die Anwendung der mathematischen Grundlagen in ingenieurrele- vanten Bereichen zeigen.

Im vorliegenden Dokument finden Sie eine Sammlung von Beispielen und Aufga- ben aus dem Bereich der Kinematik:

Punktkinematik (Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor, Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung) – Uhrenzeiger –

Starrkörperbewegung, Eulersche Formel – Rollendes Rad – Winkelrahmen mit Rädern – Relativkinematik (Relativgeschwindigkeit und -beschleunigung, Füh-

rungsgeschwindigkeit und -beschleunigung, Coriolisbeschleunigung) – Relativbewegung auf rotierender Kreisscheibe

(2)

Ein Punkt P, der sich durch den dreidimensionalen Raum bewegt, hat im raumfesten kartesischen xyz-Koordinatensystem den zeitabhängigen Ortsvektor

OP



(t) = x(t)

e_x +y(t)

e_y+z(t) e_z.

Die Zeitableitung dieses Vektors ist der Geschwindigkeitsvektor v(t) = d OP



(t)

dt = d x(t) dt

e_x + d y(t) dt

e_y+ d z(t) dt

e_z v(t) = OP



^.

(t) = x(t) 

e_x +y(t) 

e_y +z(t)  e_z

und die Zeitableitung des Geschwindigkeitsvektors ist der Beschleunigungsvek- tor des Punktes P:

a(t) = d v(t)

dt = d²OP



(t)

dt² = d²x(t) dt²

e_x + d²y(t) dt²

e_y+ d²z(t) dt²

e_z a(t) = v(t) = OP



^..

(t) = x(t) 

e_x +y(t)

e_y +z(t) e_z

Verwendet man zur Beschreibung der Lage eines Punktes P Zylinderkoordinaten r,ϕ,z mit den ortsabhängigen Basisvektoren

e_r(ϕ) = cos(ϕ)

e_x +sin(ϕ) e_y e_ϕ(ϕ) = −sin(ϕ)

e_x +cos(ϕ) e_y

(3)

und den Eigenschaften d

e_r(ϕ) dϕ = 

e_ϕ(ϕ), d e_ϕ(ϕ)

dϕ = − e_r(ϕ),

so gilt, wenn ϕ eine Funktion der Zeit t ist:

d e_r(ϕ(t))

dt = d e_r(ϕ) dϕ

dϕ(t)

dt =ϕ(t) e_ϕ(ϕ(t)) d

e_ϕ(ϕ(t)) dt = d

e_ϕ(ϕ) dϕ

dϕ(t)

dt = −ϕ(t) e_r(ϕ(t))

in Kurzform:

e_r =ϕ  e_ϕ e_ϕ = −ϕ  e_r

Mit dem Ortsvektor

OP



(t) = r(t)

e_r(ϕ(t))+z(t) e_z erhält man dann den Geschwindigkeitsvektor

v(t) = r(t) 

e_r(ϕ(t))+r(t)ϕ(t) 

e_ϕ(ϕ(t))+z(t)  e_z

oder übersichtlicher formuliert, indem man den ständigen Hinweis auf die Zeit- abhängigkeit der Koordinaten weglässt:

v = r

e_r +rϕ 

e_ϕ +z  e_z .

Der Beschleunigungsvektor lautet in Zylinderkoordinaten.

a = v = r

e_r +re_r

( )

⁺

(

^r^^ϕ^ê^^ϕ ⁺^r^ϕ^ê^^ϕ ⁺^r^ϕ^ê^^ϕ

)

⁺^^z^e^^z

a = r

e_r +rϕ  e_ϕ

( )

⁺

(

^r^^ϕ^^e^^ϕ ⁺^r^ϕ^^e^^ϕ ⁺^r^{ϕ ⋅ −}^

⁽

^ϕ^^e^^r

⁾ )

⁺^^z^e^^z

a =

(

r−rϕ²

)

^e^^r ⁺

⁽

^r^ϕ^⁺^2^r^ϕ^

⁾

^e^^ϕ ⁺^z^^e^^z

Bewegt sich der Punkt P auf einem Kreis mit dem Radius r = R= const in einer Ebene z = H = const um die z-Achse, so gilt

(4)

OP



(t) = R

e_r(ϕ(t))+H e_z r ≡0, r ≡ 0, z ≡0, z ≡ 0

v = Rϕ  e_ϕ a = −Rϕ² 

e_r +Rϕ e_ϕ

Für diese Kreisbewegung sind also die Zylinderkoordinaten optimal.

Man nennt ϕ Winkelgeschwindigkeit und ϕ Winkelbeschleunigung.

 ––––––––––––––––––––––––––––

Die Spitzen der beiden Zeiger einer Uhr bewegen sich auf konzentrischen Krei- sen.

Die Stellungen der beiden Zeiger einer Uhr kann man mit den Winkeln ϕ_G und ϕ_K beschreiben. Die zeitlichen Änderungen dieser Winkel sind jeweils konstant.

Es gilt für den großen Zeiger, der in einer Stunde einen Winkel von 360° = 2π durchläuft

ϕ_G = 360°

Stunde = 360⋅ π 180

Stunde = 2π Stunde

und für den kleinen Zeiger, der nur den Winkel 30° =2π 12 überstreicht

(5)

ϕ_K = 30°

Stunde = 30⋅ π 180

Stunde =

( )

π 6 Stunde

Sind zum Zeitpunkt t = 0 beide Winkel null, so sind sie zum Zeitpunkt t >0 ϕ_G(t)=ϕ_Gt, ϕ_K(t) =ϕ_Kt.

Lässt man die Winkelzählung für den großen Zeiger nach einer Stunde wieder bei null beginnen, so gilt:

ϕ_G(t) =

2π

Stundet für 0 Stunden ≤t <1 Stunde 2π

Stundet−1⋅2π für 1 Stunde ≤t <2 Stunden 2π

Stundet −2⋅2π für 2 Stunden ≤t <3 Stunden u.s.w.

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

Die Zeitpunkte t = T_ü, zu denen der große Zeiger den langsameren kleinen über- holt, ergeben sich aus den Gleichungen:

π 6

( )

StundeT_ü(1) = 2π

StundeT_ü(1) −2π → T_ü(1) = 2π 2π − π

6

Stunden =12

11Stunden π 6

( )

StundeT_ü(2) = 2π

StundeT_ü(2) −4π → T_ü(2) = 4π 2π − π

6

Stunden= 24

11Stunden π 6

( )

StundeT_ü(3) = 2π

StundeT_ü(3) −6π → T_ü(3) = 6π 2π − π

6

Stunden = 36

11Stunden

(6)

Zu den Zeigerspitzen gehören die Geschwindigkeitsvektoren v_K = R_Kϕ_K

e_ϕ(ϕ_K),

v_G = R_Gϕ_G e_ϕ(ϕ_G), und die Beschleunigungsvektoren

a_K = −R_K

( )

ϕ_K ²^e^r(ϕ_K), 

a_G = −R_G

( )

ϕ_G ²^e^r(ϕ_G),

 ––––––––––––––––––––––––––––

Ein starrer Körper ist das mathematische Idealmodell für einen materiellen Körper, der sich nur unter intensivem Kraftaufwand deformieren lässt. Die Bewe- gungsmöglichkeiten eines starren Körpers sind durch die Bedingung, dass sich die Abstände zwischen materiellen Punkten des Körpers definitionsgemäß nicht verändern, stark eingeschränkt.

Will man die Bewegung einer starren Scheibe in der raumfesten xy-Ebene be- schreiben, so ist neben der raumfesten Basis eine körperfeste Basis erforderlich:

raumfest:  e_x,

e_y, e_z

{ }

mit dem starren Körper fest verbunden:  e₁,

e₂,  e₃ = 

e₁×  e₂ = 

e_z

( )

{ }

e₁ = 

e₁(ϕ(t))= cos(ϕ(t))

e_x +sin(ϕ(t)) e_y e₂ = 

e₂(ϕ(t))= −sin(ϕ(t))

e_x +cos(ϕ(t)) e_y

(7)

Für diese körperfesten Basisvektoren gilt e₁ = d

e₁ dϕ ϕ = 

e₂ϕ =ϕ  e₃ × 

e₁ e₂ = d e₂

dϕ ϕ = −

e₁ϕ =ϕ  e₃ × 

e₂

Mit dem Winkelgeschwindigkeitsvektor der starren körperfesten Basis, also auch des Körpers bei der ebenen Bewegung

ω :=ϕ  e₃

erhält man die Schlüsselformel der Starrkörperbewegung:

e₁ =ω × 

e₁ e₂ =ω ×  e₂

Ausgehend vom Ortsvektor eines Körperpunktes P

OP



= OA

  

+

 

AP

= x_A(t)

e_x +y_A(t) e_y

( )

⁺

⁽

^L^cos(α⁾^e^¹^(ϕ(t))⁺ ^L^sin(α⁾^e^²^(ϕ(t))

⁾

erhält man den Geschwindigkeitsvektor v_P = OP



^.

v_P = x_A

e_x +y_A e_y

( )

v_A

+ Lcos(α)ω × 

e₁+Lsin(α)ω ×  e₂

( )

ω × AP^→



v_P = 

v_A +ω ×

 

AP

Diese EULERsche Formel der Kinematik starrer Körper gilt auch bei beliebiger dreidimensionaler Bewegung des Körpers, bei der jedoch der Winkelgeschwindig- keitsvektor ω komplizierter aufgebaut ist, denn für die Beschreibung der dreidimensionalen Drehung sind drei Winkel erforderlich.

Im allgemeinen hat bei der starren Bewegung jeder Körperpunkt einen speziellen Geschwindigkeitsvektor; deshalb spricht man auch vom Geschwindigkeitsvektor- feld des starren Körpers, das durch die EULERsche Formel beschrieben wird.

Sonderfälle sind die Translationsbewegung ω ≡ 

0 → 

v_P = 

v_A für alle Körperpunkte

und die Rotationsbewegung des starren Körpers um einen raum- und körper- festen Punkt A

v_A ≡ 

0 → 

v_P =ω ×

 

AP

(8)

AP

)

a_P = 

a_A +ω ×

 

AP

+ω × (ω ×

 

AP

)

(9)

Weil bei der ebenen Bewegung

ω =ϕ 

e₃ ω =ϕ e₃ und

e₃ ×  e₃ × 

e₁

( )

⁼ ^e^3 ×  e₂

( )

⁼ ⁻^e^1  e₃ × 

e₃ ×  e₂

( )

⁼ ^e^3 × − e₁

( )

⁼ ⁻^e^2

v_B = 

0 (Man denke an den Abdruck eines Reifenprofils in einem weichen Boden; wenn der Kontaktpunkt eine Geschwindigkeit hätte, wäre kein Profil zu erkennen).

Der Mittelpunkt A des Rades hat die Geschwindigkeit 

v_A = v_A e_x.

(10)

Mit der EULERschen Formel für das momentane Geschwindigkeitsvektorfeld eines starren Körpers, die auch in einer raumfesten Basis ausgewertet werden kann, gilt

v_B = 

v_A +ω ×

 

AB



= v_A

e_x +ω 

e_z × −r  e_y

( )

⁼

⁽

^v^A ⁺^rω

⁾

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ × r e_x

( )

^=vA

e_x −v_A e_y

Wenn das Rad mit konstanter Geschwindigkeit v^A rollt, ist auch die Winkelge- schwindigkeit ω konstant. In der Formel für das Beschleunigungsvektorfeld eines starren Körpers bei ebener Bewegung

a_P = 

a_A +ω 

e₃ ×

 

AP

−ω²

 

AP ist dann

(11)

 a_A ≡ 

0 ω ≡ 0 Dem entsprechend gilt

a_B = −ω² −r e_y

( )

⁼ ^vÂ_r² ê^^yâ^^C ⁼ ^−ω²

⁽

^−r^e^^x

⁾

⁼ ^v^A_r² ^e^^x

a_D = −ω² r e_y

( )

⁼ ⁻^vÂ_r² ê^^yâ^Ê ⁼ ^−ω²

^{( )}

^rê^^x ⁼ ⁻^vÂ_r² ê^^x

Der momentane Geschwindigkeitszustand des Rades ist darstellbar als Überlage- rung der Translationsbewegung mit der Geschwindigkeit 

v_A und der Rotations- bewegung mit der Winkelgeschwindigkeit

ω = −v_A r

e_z im Uhrzeigersinn um den Radmittelpunkt.

(12)

 ––––––––––––––––––––––––––––

(13)

Wenn ein starrer Winkelrahmen, der sich um einen raumfesten Punkt O mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ dreht und in den Punkten A und B Räder mit dem Ra- dius r führt, die jeweils auf einer Kreisbahn mit dem Radius R > r abrollen, so sind die Winkelgeschwindigkeiten dieser Räder Funktionen von ϕ.

Mit den Geschwindigkeitsvektoren der Radmittelpunkte v_A =(R+r)ϕ 

e₂ 

v_B = −(R−r)ϕ  e₁ und den Winkelgeschwindigkeitsvektoren der Räder

ω( )_A ⁼^α^^e^^z ^ω^( )^B ⁼ ⁻^β^^e^^z

ergeben sich für die Kontaktpunkte der Räder mit der kreisförmigen Abrollbahn die Geschwindigkeitsvektoren

(14)

v_C = 

v_A +ω( )_A ^×

 

^AC



_

v_D = 

v_B+ω( )_B ^×^BD

  

die beide die Rollbedingung

v_C = 

0 

v_D =  0 erfüllen müssen

v_A +α 

e_z × −r e₁

( )

⁼ ⁰^ ^v^B+ −β  e_z

( )

^×

^{( )}

^r^e^² ⁼ ⁰^

(R+r)ϕ 

e₂ −rα  e₂ = 

0 −(R−r)ϕ 

e₁+rβ  e₁ = 

0 Daraus folgt

α = R r +1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ϕ β = R r −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ϕ

Sind in der Stellung ϕ =0 auch die Drehwinkel α = β = 0 gesetzt, so gilt α(t) = R

r +1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ϕ(t) β(t) = R r −1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ϕ(t)

 ––––––––––––––––––––––––––––

Nicht immer beobachtet man die Bewegung eines Punktes von einem ruhenden Bezugssystem aus. Sitzt der Beobachter auf einem Fahrzeug, das sich in der xy- Ebene in bekannter Weise bewegt, so sind die kinematischen Größen Geschwin- digkeit und Beschleunigung eines unabhängig vom Fahrzeug in der xy-Ebene bewegten Punktes P für einen ruhenden und einen mit dem Fahrzeug bewegten Beobachter völlig verschieden. Die Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes P, die der ruhende Beobachter registriert, wird „absolut“ genannt und die vom bewegten Beobachter gesehenen „relativ“. Die Bewegung des Beobachter- fahrzeugs ist die als bekannt vorausgesetzte „Führungsbewegung“.

Die Bewegung des Fahrzeugs in der xy-Ebene wird durch die Lage und Orientie- rung ϕ(t) einer mit dem Fahrzeug fest verbundenen Basis 

e₁(t), e₃(t),

e₃ =  e_z

{ }

^im

Punkt A mit den absoluten Koordinaten

{

x_A(t),y_A(t),z_A = 0

}

beschrieben.

OA

  

= x_A(t)

e_x +y_A(t) e_y e₁(t) =cos(ϕ(t))

e_x +sin(ϕ(t)) e_y e₂(t) = −sin(ϕ(t))

e_x +cos(ϕ(t))

e_y e₁(t) =ϕ  e₂ e₂(t) = −ϕ  e₁

(15)

Mit der Führungswinkelgeschwindigkeit ω_Fü :=ϕ 

e_z kann geschrieben werden:

e₁ =ω_Fü × 

e₁ e₂ =ω_Fü ×  e₂

Wird die Bewegung eines Punktes P in der xy-Ebene von einem raumfesten Be- zugssystem aus beschrieben, so erhält man aus dem Ortsvektor

OP



(t) = x_P(t)

e_x +y_P(t) e_y den absoluten Geschwindigkeitsvektor

v_{P abs}:=OP



^.

= x_P 

e_x +y_P  e_y und den absoluten Beschleunigungsvektor

a_{P abs}:=OP



^..

= x_P 

e_x +y_P  e_y

des Punktes P. Zum Punkt A des Fahrzeugs gehört der Ortsvektor OA

  

(t) = x_A(t)

e_x +y_A(t) e_y und

(16)

v_{A abs}:= OA

  

^.

= x_A 

e_x +y_A 

e_y 

a_{A abs}:= OA

 

^..



= x_A 

e_x +y_A  e_y

sind die absoluten Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren des Punktes Fahrzeugpunktes A.

Ein Beobachter auf dem Fahrzeug verwendet „seine“  e₁(t),

e₃(t), e₃ = 

e_z

{ }

^-Basis

zur Beschreibung der Lage des Punktes A, indem er den Vektor AP

 

(t) = s₁(t)

e₁(t)+s₂(t) e₂(t)

benutzt und die Basisvektoren als für ihn zeitlich unveränderlich behandelt. So entsteht für ihn der Relativgeschwindigkeitsvektor

v_{P rel} := s₁

e₁+s₂  e₂ und der Relativbeschleunigungsvektor des Punktes P

a_{P rel} := s₁

e₁+s₂  e₂

Die Beziehung zwischen den absoluten und den relativen kinematischen Begrif- fen ergibt sich, wenn man die Ortsvektordarstellung vollständig differenziert.

Ausgehend von

OP



(t) =OA

  

(t)+

 

AP (t) x_P(t)

e_x +y_P(t) e_y

( )

⁼

(

^xÂ^(t)ê^^x ⁺^yÂ^(t)ê^^y

)

⁺

⁽

^s¹^(t)^e^¹^(t)⁺^s²^(t)^e^²^(t)

⁾

erhält man zunächst

 x_P 

e_x +y_P  e_y

( )

v_{P abs}

 = x_A 

e_x +y_A  e_y

( )

v_{A abs}

+ s₁

e₁+s₂  e₂

( )

v_{P rel}

+

(

s₁e₁+s₂e₂

)

und weil für die Basisvektoren im Fahrzeug e₁ =ω_Fü× 

e₁ e₂ =ω_Fü×  e₂ gilt, kann geschrieben werden

v_{P abs} = 

v_{A abs}+ 

v_{P rel} +ω_Fü × s₁

e₁+s₂  e₂

( )

 AP

 v_{P abs} = 

v_{A abs}+ω_Fü ×

 

AP

v_{P Fü}

+  v_{P rel}

(17)

v_{P Fü} := 

v_{A abs}+ω_Fü ×

 

AP

ist die Führungsgeschwindigkeit des Punktes P; das ist die Geschwindigkeit, die der Punkt P hätte, wenn er mit dem Fahrzeug starr verbunden wäre. Insgesamt gilt

v_{P abs} = 

v_{P Fü} +  v_{P rel}

⁺^ω^Fü×

(

s₁e₁+s₂e₂

)

Die Terme können übersichtlicher formuliert werden

⁼^ω^Fü×

 

AP ω_Fü × s₁

e₁+s₂  e₂

( )

⁼^ω^Fü× 

v_{P rel} ω_Fü ×

(

s₁e₁+s₂e₂

)

⁼^ω^^Fü^×⁽^ω^^Fü^×

^{ }

^AP⁾

und ergeben

a_{P abs} = 

a_{A abs}+ω_Fü×

 

AP

+ω_Fü×(ω_Fü×

 

AP )

a_{P Fü}

+2ω_F ×  v_{P rel}

a_{P Cor}

  +  a_{P rel}

Die absolute Beschleunigung des Punktes P besteht aus der Führungsbeschleu- nigung

a_{P Fü} := 

a_{A abs}+ω_Fü ×

 

AP

+ω_Fü×(ω_Fü×

 

AP ) der CORIOLISbeschleunigung

(18)

a_{P Cor}:=2ω_Fü×  v_{P rel} und der Relativbeschleunigung

a_{P rel} := s₁

e₁+s₂  e₂ a_{P abs} = 

a_{P Fü} + 

a_{P Cor} +  a_{P rel} ω_Fü =ϕ

e_z nennt man Führungswinkelbeschleunigung.

Wenn der Punkt P mit dem Fahrzeug starr verbunden ist, wird

v_{P rel} ≡ 

0 

a_{P rel} ≡  0 und

a_{P abs} =  a_{P Fü}

 ––––––––––––––––––––––––––––

(19)

Wenn sich ein Punkt P auf einer um den raumfesten Punkt A rotierenden Kreis- scheibe bewegt, ist die „relative“ Beschreibung der Bewegung meistens einfacher als die „absolute“.

Bewegt sich beispielsweise der Punkt P auf einer Geraden in Richtung 

e₁ durch den Drehpunkt A nach dem Gesetz einer harmonischen Schwingung mit der Amplitude L und der Schwingungsdauer T

s₁(t) = Lsin(2π t T) so wird

v_{P rel} = s₁(t)

e₁ = 2π L

Tcos(2π t T)

e₁ a_{P rel} = s₁(t)

e₁ = −

( )

2π ² ^L

T²sin(2π t T)

e₁ Mit

v_{A abs} ≡ 

0 

a_{A abs} ≡ 

0 ω_Fü =ϕ 

e_z =ϕ  e₃ v_{P Fü} =ω_Fü×

 

AP

=ϕ 

e₃ ×s₁

e₁ = s₁ϕ  e₂ v_{P abs} = 

v_{P Fü} +  v_{P rel} v_{P abs} = s₁ϕ 

e₂ +s₁ e₁

^e^y

Bei der Beschreibung der Beschleunigung wird es noch deutlicher:

a_{P Fü} =ω_Fü×

 

AP

+ω_Fü×(ω_Fü×

 

AP ) a_{P Fü} =ϕ

e₃ ×s₁ e₁ +ϕ 

e₃ ×(ϕ 

e₃ ×s₁

e₁) = s₁ϕ

e₂ −s₁ϕ² e₁ a_{P Cor} = 2ω_Fü × 

v_{P rel} a_{P Cor} = 2ϕ 

e₃ ×s₁

e₁ = 2ϕs₁ e₂ a_{P rel} = s₁

e₁ a_{P abs} = 

a_{P Fü} + 

a_{P Cor} +  a_{P rel} a_{P abs} = s₁ϕ

e₂ −s₁ϕ² e₁

( )

⁺

⁽

²^ϕ^^s^¹^e^²

⁾

⁺

^{( )}

^^s¹^e^¹

a_{P abs} =

(

s₁−s₁ϕ²

)

^e^¹⁺

⁽

^s¹^ϕ^⁺²^ϕ^^s^¹

⁾

^e^²

^s¹^ϕ^⁺²^ϕ^^s^¹

⁾

^sin(ϕ)

}

^e^^x ⁺

+

{ (

s₁−s₁ϕ²

)

^sin(ϕ)⁺

⁽

^s¹^ϕ^⁺²^ϕ^^s^¹

⁾

^cos(ϕ)

}

^e^^y

Die absolute Bahnkurve des Punktes P kann sehr kompliziert sein, auch wenn ϕ(t) bloß eine lineare Funktion der Zeit ist. Für den speziellen Fall

x^A = y_A = 0 s₁ = Lsin(2π t

T), ϕ =α2π t T L = 4, T = 2, α = 2 hat die absolute Bahnkurve die Gestalt

(21)

–4 –2 0 2 4 –4

–2 0 2 4

und für α = 2,5

–4 –2 0 2

–4 –2 0 2 4

 ––––––––––––––––––––––––––––