1 Differential und Differentiationsregeln (Erinnerung)

(1)

Analysis I

11. ¨ Ubungsstunde

Steven Battilana

stevenb student.ethz.ch battilana.uk/teaching

May 11, 2020

(2)

1 Differential und Differentiationsregeln (Erinnerung)

Sei in diesem Kapitel immer Ω ⊂ R offen, f : Ω → R, x0 ∈ Ω, sofern nicht anders definiert.

Definition 1.1: (Struwe 5.1.1)

(i) f heisst differenzierbar an der Stellex₀, falls der Grenzwert

x→xlim0, x6=x0

f(x)−f(x0) x−x0

=:f⁰(x0) =: df dx(x0)

existiert. In diesem Fall heisst f⁰(x0) die Ableitung (das Differential) von f an der Stelle x₀.

(ii) Analog heisstf = (f1, ..., f_n) : Ω→Rⁿ an der Stellex₀ differenzierbar, falls jede der Komponentenfunktionen f_i an der Stelle x₀ differenzierbar ist undf⁰(x0) = (f₁⁰(x0), ..., f_n⁰(x0)).

f : Ω→Rⁿ heisst auf Ω differenzierbar, fallsf an jeder Stelle x₀ ∈Ω differenzierbar ist.

Satz 1: (Struwe 5.1.1)

Ist f : Ω → R differenzierbar an der Stelle x₀ ∈ Ω, so ist f an der Stelle x₀ auch stetig.

Seien f, g : Ω → R an der Stelle x₀ ∈ Ω differenzierbar. Dann sind die Funktionen f+g,f·g und, falls g(x0)6= 0, nach die Funktion f /gan der Stelle x₀ differenzierbar und es gilt

(i) Linearit¨at:

(f+g)⁰(x0) =f⁰(x0) +g⁰(x0) (ii) Produkteregel:

(f g)⁰(x0) =f⁰(x0)g(x0) +f(x0)g⁰(x0) (iii) Quotientenregel:

(f /g)⁰(x0) = f⁰(x0)g(x0)−f(x0)g⁰(x0) g²(x0) .

(3)

Satz 3: (Kettenregel; Struwe 5.1.3)

Sei f : Ω→ R an der Stelle x₀ ∈ Ω differenzierbar und sei g : R→ R an der Stelle y₀ = f(x0) differenzierbar. Dann ist die Funktion f ◦g : Ω → R an der Stelle x₀ differenzierbar und es gilt

(g◦f)⁰(x0) = g⁰(f(x0))f⁰(x0).

Beispiel 1.1. Berechne die Ableitung von |sin(x)|^cos(x). L¨osung:

Wir schreiben den Ausdruck um:

|sin(x)|^cos(x) =e^log(^|sin(x)|^cos(x))

=e^{cos(x) log}^|^sin(x)|

Verwende nun die Ketten- und Produkteregel:

d

dx|sin(x)|^cos(x) = d

dxe^{cos(x) log}^|^sin(x)|

=e^{cos(x) log}^|^sin(x)| d

dx(cos(x) log|sin(x)|)

=e^{cos(x) log}^|^sin(x)|

−sin(x) log|sin(x)|+ cos(x)· d

dxlog|sin(x)|

Betrachten wir die Ableitung vom Logarithmus ein bisschen genauer:

d

dxlog(f(x)) = ( _d

dxlog(f(x)) = _f_(x)¹ ·f⁰(x) = ^f_f⁰_(x)^(x), f(x)>0

d

dxlog(−f(x)) = _−f¹_(x)·(−f⁰(x)) = ^f_f(x)⁰^(x), f(x)<0

⇐⇒ d

dxlog(f(x)) = f⁰(x) f(x). Also ist das folgende unsere L¨osung:

d

dx|sin(x)|^cos(x)=e^{cos(x) log}^|sin(x)|

−sin(x) log|sin(x)|+ cos(x)· cos(x) sin(x)

=|sin(x)|^cos(x)

−sin(x) log|sin(x)|+ cos²(x) sin(x)

.

Satz 4: (K¨onigsberger Differenzierbarkeitssatz S.165)

Es sei f : Ω → C stetig und fast überall differenzierbar. Die (fast überall in Ω existierende) Ableitung f⁰ besitze in einem Punkt x₀ ∈ Ω eine stetige Ergänzung (Fortsetzung). Dann ist f in x₀ differenzierbar, und es giltf⁰(xo) = limx→x₀f⁰(x).

Bemerkung.

arctan⁰(x) = 1 x²+ 1. Bemerkung.

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2 Integration

Eine Funktion F ⊂C¹([a, b]) hiesst Stammfunktion zu f falls gilt:

F⁰(x) = f(x) ∀x∈[a, b].

Definition 2.2

(i) Eine Partition (Zerlegung) vom kompakten Interval I = [a, b] mita < b ist eine endliche Teilmenge P ⊂ I mit P = {a = x0, x1, ..., xn = b} mit x0 < ... < xn. Die Menge aller Partitionen vonI bezeichnen wir mit

P(I) :={P ⊂I | a, b∈P, P ist endlich}.

(ii) Die Feinheit der Zerlegung ist definiert durch δ(P) := max

1≤i≤n{|x_i−xi−1|} mit n(P) := n=|P| −1.

Bemerkung: δ(P) ist die L¨ange des gr¨ossten IntervalsI_i = [xi−1, x_i] mit 1≤i≤ n.

(iii) Seien ξi ∈ Ii Zwischenpunkte (St¨utzstellen) mit xi−1 ≤ ξi ≤ xi. Jede Summe der Form

S(f, P, ξ) :=

n

X

i=1

f(ξi)(xi−xi−1)

heisst Riemannsche Summe der Zerlegung P und ξ ∈ {ξ₁, ..., ξ_n}.

f monoton ⇒ f ist integrierbar.

f stetig ⇒ f ist integrierbar.

Definition 2.3: (Obersumme) S(f, P) :=

n

X

i=1

sup

ξ∈[xi−1,xi]

f(ξi)(xi−xi−1)

(5)

Definition 2.4: (Untersumme) S(f, P) :=

n

X

i=1

ξ∈[xinfi−1,xi]f(ξi)(xi−xi−1)

Definition 2.5: (Oberes Riemann-Integral) Z b

a

f(x)dx:= inf{S(f, P) | P ∈ P(I)}.

Definition 2.6: (Unteres Riemann-Integral) Z b

a

f(x)dx:= sup{S(f, P) | P ∈ P(I)}.

Korollar 2.1: (Struwe 6.2.3)

Sei f : [a, b]→R eine beschr¨ankte und integrierbare Funktion. Sei{P⁽ⁿ⁾} eine Folge von Partitionen des kompakten Intervals [a, b] mit δ(P⁽ⁿ⁾) −−−→^n→∞ 0 und {ξ⁽ⁿ⁾} eine feste Wahl von Zwischenpunkten zur Partition P⁽ⁿ⁾. Dann ist

Z b

a

f(x)dx= lim

n→∞S(f, P⁽ⁿ⁾, ξ⁽ⁿ⁾).

Bemerkung.

Falls Korollar 6.2.3 erf¨ullt ist, wirdf alsRiemann-integrierbar auf [a, b] bezeichnet.

Bemerkung.

Uniforme Partitionen P⁽ⁿ⁾ ={a =x0, x1, ..., xn} mit xi = a+ ^i(b−a)_n und xi −xi−1 = ^b−a_n ist eine Folge von Partitionen mit δ(P⁽ⁿ⁾) = ^b−a_n −−−→^n→∞ 0.

Beispiel 2.1. Berechne das Integral

1

R

0

(x³ −2x)dx explizit mit Hilfe von Riemannschen Summen.

L¨osung:

Wir unterteilen das Integrationsinterval [0,1] in n gleich grosse Teilintervalle der L¨ange

∆x = _n¹ mit x_k = ^k_n, k = 1, ..., n. Die Feinheit dieser Zerlegung ist δ(P) = ¹_n. Es gilt

n→∞lim δ(P) = 0. Damit ist die Funktion f(x) =x³−2x Riemann-integrierbar und gem¨ass

(6)

der Definition des Riemann-Integrals (wir w¨ahlen ξ_k =x_k) gilt:

Z 1

0

f(x)dx= Z 1

0

(x³−2x)dx= lim

n→∞

n

X

k=1

f(ξk)(xk−xk−1)

= lim

n→∞

n

X

k=1

f k

n 1

n

= lim

n→∞

1 n

n

X

k=1

f k

n

= lim

n→∞

1 n

n

X

k=1

k n

3

−2· k n

!

= lim

n→∞

1 n

n

X

k=1

k³

n³ −2· k n

(∗)= lim

n→∞

1 n⁴

n

X

k=1

k³− 2 n²

n

X

k=1

k

= lim

n→∞

1 n⁴

n(n+ 1) 2

2

− 2 n²

n(n+ 1) 2

= lim

n→∞

n²(n+ 1)²

4n⁴ − n(n+ 1) n²

= lim

n→∞

(n+ 1)²

4n² − n(n+ 1) n²

= lim

n→∞

n²+ 2n+ 1

4n² − n²+n n²

= 1 4 −1

=−3 4. (∗): Wir haben die folgenden Formeln benuntzt:

n

X

k=1

k³ =

n(n+ 1) 2

2 n

X

k=1

k= n(n+ 1) 2 Bemerkung.

Die Kettenregel lautet:

(f ◦g)⁰(x) = f⁰(g(x))g⁰(x).

Damit ist (f ◦g)(x) = f(g(x)) eine Stammfunktion von f⁰(g(x))g⁰(x).

Beispiel 2.2. Bestimme die Stammfunktion von R arctan⁵(x) 1+x² dx.

L¨osung:

Z arctan⁵(x) 1 +x² dx=

Z

arctan⁵(x)

| {z }

f(g(x))

· 1 1 +x²

| {z }

g⁰(x)

dx

= 1

6arctan⁶(x) +C, ∀C ∈R.

(7)

Beispiel 2.3. Bestimme die Stammfunktion von R ₃

√x+1

√x+1dx.

L¨osung:

Z 3^√^x+1

√x+ 1dx=

Z e^log(3)

√x+1

√x+ 1

= 2

Z e^log(3)

√x+1

2√

x+ 1 dx

= 2 Z

e^log(3)

√x+1

| {z }

f(g(x))

· 1 2√

x+ 1

| {z }

g(x)

dx

= 2

log(3) ·e^log(3)

√x+1+C, ∀C ∈R

= 2

log(3) ·3

√x+1

+C, ∀C ∈R.

Satz 7: Hauptsatz der Differential und Integralrechung (Version A) Sei f ∈C⁰([a, b]). Setze F(x) =

x

R

a

f(t)dt, x∈[a, b].

Dann gilt F ∈C¹((a, b)) mit F⁰(x) = f(x).

Satz 8: Hauptsatz der Differential und Integralrechung (Version B) Sei f ∈C⁰([a, b]), F eine Stammfunktion zu f.

Dann gilt:

Z b

a

f(x)dx=F(b)−F(a).

Beispiel 2.4. Sei A(x) :=

cos(x)

R

−1

e^arccos(t)dt. Berechen A⁰(x).

L¨osung:

F(x) :=

Z x

−1

e^arccos(t)dt Φ(x) := cos(x)

⇒ A(x) = (F ◦Φ)(x)

⇒ A⁰(x) =F⁰(Φ(x))·Φ⁰(x)

=earccos(cos(x))·(−sin(x))

=−sin(x)·e^x Satz 9: (Substitution; Struwe 6.1.5)

(8)

C¹([α, β]), sowie t₀ ≤t₁ in [α, β], so dassg([t0, t₁])⊂[a, b]. Dann gilt:

Z t1

t0

F⁰(g(t))g⁰(t)dt= Z t1

t0

f(g(t))g⁰(t)dt= Z g(t1)

g(t0)

f(x)dx.

Satz 10: (Substitution; Burger 5.4.6)

Sei a < b, φ : [a, b] → R stetig differenzierbar, I ⊂ R ein Intervall mit φ([a, b]) ⊂ I und f :I →R eine stetige Funktion. Dann gilt:

Z φ(b)

φ(a)

f(x)dx= Z b

a

f(φ(t))φ⁰(t)dt.

Beispiel 2.5. Berechne

π2

R4

0

cos(√ x)dx.

L¨osung:

Wir w¨ahlen die folgende Substitution:

u=√ x

Gem¨ass Substitutionsregel f¨uhren wir die Variablensubstitution im Integranden durch, dazu brauchen wir noch folgendes:

g(x) :=u=√ x

⇒ d

dx(u) = 1 2√ x

⇔ du= 1 2√

x dx

⇔ 2√

x du=dx

⇔ 2u du=dx

Jetzt k¨onnen wir einsetzen:

Z ^π

2 4

0

cos √ x

dx= Z g

π2 4

g(0)

2ucos(u)du

= Z

q

π2 4

0

2ucos(y)du

= Z ^π₂

0

2ucos(y)du

(9)

Nun k¨onnen wir das Integral mit der partiellen Integration l¨osen:

2 Z ^π₂

0

ucos(u)du^PI= 2 h

usin(u)i^π₂

0

− Z ^π₂

0

sin(u)du

!

= 2 π

2 sinπ 2

−(−cos(u))

π 2

0

= 2 π

2 ·1 + cos(u)

π 2

0

= 2π

2 + cosπ 2

−cos(0)

= 2π

2 + 0−1

= 2· π 2 −2

=π−2