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Linksseitiger Grenzwertlimx%2f(x): wir nähern2 von unten durchx1= 1.9, x2= 1.99 und x3 = 1.999 an

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Academic year: 2021

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Lösung zu Seite 85 Übung:

Sei f(x) = (10−x2

x+1 , fürx <2

√2√

x, fürx≥2.Prüfef auf Stetigkeit.

Lösung:Bemerke zunächstDf ={x∈R|x6=−1}. Die Stetigkeit vonf ist an allen Stellen im Definitionsbereich klar, außer bei x= 2. Berechne alsolimx→2f(x).

Linksseitiger Grenzwertlimx%2f(x): wir nähern2 von unten durchx1= 1.9, x2= 1.99 und x3 = 1.999 an. Es gelten f(x1) = 2.2, f(x2) = 2.02 undf(x3) = 2.002, womit limx%2f(x) = 2folgt.

Rechtsseitiger Grenzwertlimx&2f(x): wir nähern2von oben durchx1= 2.1, x2= 2.01undx3= 2.001an. Es geltenf(x1) = 2.04, f(x2) = 2.004undf(x3) = 2.0005, womit limx&2f(x) = 2folgt.

Der links- und rechtsseitige Grenzwert stimmen somit überein, also

x→2limf(x) = 2 =√ 2√

2 =f(2).

Damit ist f auch stetig in x= 2.

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