Blatt 7/8 Aufgabe 3

(1)

(2)

Blatt 7/8 Aufgabe ³

Vollständig

^:

§ vollständig gdw ^für ^alle ^HELAL

HEE ^oder IHEOI

Konsistent

^.^.

§ ^Kong

^:

^sten gdw

^es

gibt ^kein HELAL

-+

mit H

,

THE ¥

i ) ^Geh

^:

TAUT ^ist ^Konsistent ^aber ^nicht vollständig

Bew

: ^.

Sei HE SATITAUT ^IH ^ist erfüllbar

,

aber

keine Tautologie

^.

D. _h

_.

HETAUT und alte ^TAUT

,

d.h. TAUT

ist nicht vollständig

•

Da TAUT

⁼

¢ ^"

, also gilt ^mit Korrektheit ssate

TAUT

^" ⁼

# REIFF

⁼

^TAUT ^also

(

korrekte _:p 50k

( Abgeschlossenheit ⁾

TAUTYETAUT

^.

Sowieso TAUTETAUF

_,

d. h

.

TAUFE TAUT

°

Sei ^HE TAUT

_,

dann ist alt unerfüllbar

_,

d. h

>

H ¢ ^TAUT

.

Da TAUT

⁼

^TAUT

^'^-

sind schon alle

Formeln untersucht

^.

(3)

IC ) ^lieh

^:

^SAT ^ist ^nicht ^konsistent

^,

^aber vollständig

Bew

: ^.

Da ^SAT

^E

SATT _gilt

,

folgt ^mit ^HESATITAUT

auch IH

^E

SAT

,

d. h

.

H

,

IH

E

SAT und damit

H

, ^>H E

SAT

^"

nicht konsistent

°

Jede Formel ist entweder erfüllt

^a-

oder nicht erfüllbar

.

d. h

^.

entweder ^H

^E

SAT oder

>

H

^c-

SAT vollständig

Lü ) ^Deo

^:

^ONE ^REP

⁼

^{

^×, ,

xz

, ^.^.^.

}

^#

( zz.ONEREP-t-ONtke.rs )

Also ONEREP

^'

:-( ^{ %

,

xz

_. ^.^.^.

FF

C- kurz

. ^.^.

.EE

( Korrektheit

ssate

)

=

{ _Xy

_,

Xz

, ^.^-

{

⁼

^ONEREP

Sowieso ONEREPEONEREP

^"

,

d. h

^.

ONEREÖEONERED

DI ÔNE ^RED îst ^konsistent ûnd vollständig

•

Sei H

e-

ONEREP f) 1,1

^, ^.^:

1) ^-1 f) 1,1

^,

-1kV

IH _¢ UNEREP

Ua ^ONEREP

⁼

^ONEREP

^"

_gilt sind schon alle

Formeln

_aus

ONE RENT ^betrachtet

^.

^ONEREP ist

konsistent

(4)

°

Es gilt ^HEONEREP ^gdw ^Ht ^¢ ^ONEREP

,

d. ^h

^.

ONEREP _ist vollständig

(5)

Blatt 9 Aufgabe ¹

i )

^zz^:

^IH

^e-

Ä gdw HEI

,

Ä ^ist ^voll sündig

^u^.

^Konsistent

Dew

^:

Da OI vollständig ^ist

,

gilt HEÄ ^oder

ⁿ

HEÄ

^.

Wegen ^de

^-

^Konsistenz

^von

Ä gilt ^dann ^entweder HE FEE ode-nttc-F-I.znsa.ae

^. ^e-

^gibt ^sich

→

HEÄ _gdw HEI

^.

Ii )

^zz

( Hsv Hat Ecfgdw ^H

^,

^EÄ ^oder HZEÄ

„

"

sei LH

_,

UH

_,

) EÄ

^,

^dann ^können ^zwei

Fälle unterschieden werde

^-

Falle

^:

^H _,

^C-

§

^,

^dann ^ist Behauptung ^gezeigt

^.

Fallt

_:

H

,

EE

^.

^Da ¢ vollständig ^ist gilt ^alt

_,

EÄIÄ

^.

Da IH

,

vlt ) EE gilt ^mit ^nodus Pneus

Hze #

⁼

^E

^.

"

⇐ ^" _Wenn H

, c-

E

^-

^Ä

^"

^oder HZEÄ -5ft

,

dann gilt

mit der Einführung ^de

^-

Alternativen ( Hsv ^Hz ⁾ EÄIÄ

(6)

iii ) ⁽ Hs

^{^}

^Hc ⁾ EÄ _gdw ^Hs EÄ ^und ^Hz

^c-

^Ä

^.

"

Sei IH

_, ¹

Hz ⁾

^e-

Ä

⁼

¥

^,

^dann ^gilt ^mit ^de

^-

^Regal

„

Auflösung ^do

^-

Konjunktion

^"

^H

_, ^C-

¥

⁼

^Ä ^und ^Hz EÄIÄ

„

⇐

"

sei H

,

EÄÄ ^und Hee # It

,

dann ergibt ^sich

mit de

^-

Regel

, ,

Einführung ^der Konjunktion

^"

( Hanke ⁾ EÄ I

Blatt 9 Aufgabe ²

22

:

§ ^Konsistent ^und ^H unerfüllbar

,

dann gilt HEE

Gew

:

feine

^,

^dann HEÄIÄ

^.

^Da ^H unerfüllbar

Annahme

ist

,

maß IH

_c-

TAUT gelten

^.

^Mit ^vorletzten Übung

und Korrektheit satz gilt 0/1-74

^.

Also H

_,

^alte # ^Ä ^nicht konsistent

.

Blatt 7/8 Aufgabe 3

Blatt 7/8 Aufgabe 3

Vollständig

§ vollständig gdw für alle HELAL

HEE oder IHEOI

Konsistent

§ Kong

sten gdw

gibt kein HELAL

mit H

THE ¥

i ) Geh

TAUT ist Konsistent aber nicht vollständig

Bew

Sei HE SATITAUT IH ist erfüllbar

aber

keine Tautologie

D. h

HETAUT und alte TAUT

d.h. TAUT

ist nicht vollständig

Da TAUT

¢ "

, also gilt mit Korrektheit ssate

TAUT

# REIFF

TAUT also

korrekte :p 50k

( Abgeschlossenheit )

TAUTYETAUT

Sowieso TAUTETAUF

d. h

TAUFE TAUT

Sei HE TAUT

dann ist alt unerfüllbar

d. h

H ¢ TAUT

Da TAUT

TAUT

sind schon alle

Formeln untersucht

IC ) lieh

SAT ist nicht konsistent

aber vollständig

Bew

Da SAT

SATT gilt

folgt mit HESATITAUT

auch IH

SAT

d. h

H

IH

SAT und damit

H

SAT

nicht konsistent

Jede Formel ist entweder erfüllt

oder nicht erfüllbar

d. h

entweder H

SAT oder

H

SAT vollständig

Lü ) Deo

ONE REP

{

xz

}

( zz.ONEREP-t-ONtke.rs )

Also ONEREP

:-( { %

xz

FF

C- kurz

.EE

( Korrektheit

)

{ Xy

Xz

Blatt 7/8 Aufgabe ³

§ vollständig gdw ^für ^alle ^HELAL

HEE ^oder IHEOI

§ ^Kong

^sten gdw

gibt ^kein HELAL

i ) ^Geh

TAUT ^ist ^Konsistent ^aber ^nicht vollständig

Sei HE SATITAUT ^IH ^ist erfüllbar

D. _h

HETAUT und alte ^TAUT

¢ ^"

, also gilt ^mit Korrektheit ssate

^TAUT ^also

korrekte _:p 50k

( Abgeschlossenheit ⁾

Sei ^HE TAUT

H ¢ ^TAUT

^TAUT

IC ) ^lieh

^SAT ^ist ^nicht ^konsistent

^aber vollständig

Da ^SAT

SATT _gilt

folgt ^mit ^HESATITAUT

entweder ^H

Lü ) ^Deo

^ONE ^REP

^{

:-( ^{ %

{ _Xy

^ONEREP

DI ÔNE ^RED îst ^konsistent ûnd vollständig

1) ^-1 f) 1,1

IH _¢ UNEREP

Ua ^ONEREP

^ONEREP

_gilt sind schon alle

ONE RENT ^betrachtet

^ONEREP ist

Es gilt ^HEONEREP ^gdw ^Ht ^¢ ^ONEREP

d. ^h

ONEREP _ist vollständig

Blatt 9 Aufgabe ¹

^IH

Ä ^ist ^voll sündig

^Konsistent

Da OI vollständig ^ist

gilt HEÄ ^oder

Wegen ^de

^Konsistenz

Ä gilt ^dann ^entweder HE FEE ode-nttc-F-I.znsa.ae

^gibt ^sich

HEÄ _gdw HEI

( Hsv Hat Ecfgdw ^H

^EÄ ^oder HZEÄ

^dann ^können ^zwei

^H _,

^dann ^ist Behauptung ^gezeigt

^Da ¢ vollständig ^ist gilt ^alt

vlt ) EE gilt ^mit ^nodus Pneus

^E

⇐ ^" _Wenn H

^Ä

^oder HZEÄ -5ft

mit der Einführung ^de

Alternativen ( Hsv ^Hz ⁾ EÄIÄ

iii ) ⁽ Hs

^Hc ⁾ EÄ _gdw ^Hs EÄ ^und ^Hz

^Ä

Hz ⁾