TU Darmstadt Fachbereich Mathematik Jakob Creutzig SS 2004 20.04.04

TU Darmstadt Fachbereich Mathematik

Jakob Creutzig

SS 2004 20.04.04

Musterl¨osung zum 1. Aufgabenblatt

”Stochastische Analysis“

Gruppenaufgabe:Wir betrachten den folgenden stochastischen Prozeß auf [0,∞[: Es sei (ε_i)i∈N eine Bernoullifolge (also i.i.d. mitP(ε_i = +1) =P(ε_i =

−1) = 1/2). F¨urt ∈[n, n+ 1[ setzen wir Xt:=

n

X

i=1

2⁻ⁱεi .

1. Skizzieren Sie eine ,typische’ Trajektorie von X, und untersuchen Sie den Prozeß auf Stetigkeitseigenschaften. Was hat limt→∞Xt f¨ur eine Verteilung?

L¨osungsvorschlag:X ist ein cadlag–Prozeß, ist aber nicht linksstetig.

Sei t >0, t∈[n, n+ 1[. Weil f¨ur s > t gilt:

|X_t(ω)−X_s(ω)| ≤

∞

X

i=n+1

2⁻ⁱ|ε_i(ω)|= 2⁻ⁿ≤2^−t+1,

ist Xt(ω) P–f.s. konvergent. Weiter ist die Verteilung von limt→∞Xt

die Gleichverteilung auf [−1,1]; um dies zu sehen, betrachten wir Y = (X+ 1)/2:

(X_t+ 1)/2 =

n

X

i=1

2⁻ⁱ(1 +ε_i)/2.

Nun ist f¨ur ein dyadisches Intervall ]k/2ⁿ,(k+ 1)/2ⁿ] mit 0 ≤k ≤ 2ⁿ leicht nachzurechnen, daß

t→∞lim Y_t∈ ]k/2ⁿ,(k+ 1)/2ⁿ]⇔

n

X

i=1

2⁻ⁱ(1 +ε_i)/2∈]k/2ⁿ,(k+ 1)/2ⁿ] und damit folgt sofort, daßP(lim_tY_t∈]k/2ⁿ,(k+ 1)/2ⁿ]) = 1/2ⁿ; wei- ter ist P(limY_t = 0) =P(ε_i = 0 immer) = 0 (Borel–Cantelli). Folglich stimmt die Verteilung von limtYt auf der Menge der dyadischen Inter- valle mit der Gleichverteilung ¨uberein, und damit auch auf B([0,1]) (schnittstabiles Erzeugendensystem).

2. Bestimmen Sie die kanonische Filtration F^X_t .

L¨osungsvorschlag: F¨ur t ∈ [n, n + 1[ ist F^X_t = σ({ε_i : i ≤ n}).

Denn einerseits ist Xt eine meßbare Funktion der εi, andererseits ist X_t−Xt−1 = 2⁻ⁿε_n.

3. Pr¨ufen Sie, welche der folgenden Prozesse adaptiert sind bez¨uglich F^X_t : (a) ¯X_t =Pn

i=12⁻ⁱε_i f¨urt ∈[n/2,(n+ 1)/2[.

L¨osungsvorschlag:Nicht adaptiert, die Filtration w¨achst zu schnell.

(b) ˆX_t =Pn

i=12⁻ⁱε_i f¨urt ∈[2n,2n+ 1[, X_t = 0 sonst.

L¨osungsvorschlag:Adaptiert.

(c) ˇXt =Pn

i=12⁻ⁱξi f¨urt ∈[n, n+ 1[ mit (ξi)i∈N einer i.i.d. standard- normalverteilten Folge.

L¨osungsvorschlag:Nicht adaptiert; die σ–algebren von ˇXt sind offenbar ¨uberabz¨ahlbar, nicht endlich wie f¨ur X_t.

(d) ˘X_t =Qn

i=1exp{(log(1 +π_i)^2+εi} f¨urt ∈[n, n+ 1[ mitπ_i als i–ter Stelle der 27–adischen Entwicklung von π.

L¨osungsvorschlag: Adaptiert; X_t h¨angt meßbar von ε₁, . . . , ε_n ab.

(e) ˜X_t :=Pn

i=12⁻ⁱε˜_if¨urt ∈[n, n+1[, mit ˜ε_ieiner vonε_iunabh¨angigen Bernoullifolge.

L¨osungsvorschlag:Nicht adaptiert, z.B. istσ(˜ε₁)6⊆σ(ε₁). Denn diese σ–Algebren sind nach Voraussetzung unabh¨angig, und der Schnitt zweier unabh¨angiger σ–Algebren besteht stets nur aus Mengen des Maßes 0 oder 1 (da diese Mengen ja von sich selbst unabh¨angig sein m¨ussen).

Aufgabe 1:

1. Es seien X, Y stochastische Prozesse auf [0,∞); beide Prozesse m¨ogen rechtsstetige Pfade haben.

Zeigen Sie: Y ist eine Modifikation von X ⇔ X, Y ununterscheidbar.

L¨osungsvorschlag: “ ⇐ “ ist trivial, “ ⇒ “ : Es sei D ⊆ T eine abz¨ahlbare, dichte Teilmenge. Wegen der Rechtsstetigkeit von X −Y gilt: X_t−Y_t = 0 f¨ur alle t ∈T ⇔ X_t−Y_t = 0 f¨ur alle t ∈D. Nun ist aber

P(X_t−Y_t= 0 ∀t ∈D) =P \

t∈D

{X_t−Y_t = 0}

= 1,

und also auchP(X_t−Y_t = 0 ∀t∈T) = 1 (man beachte, daß hier das Ereignis “X_t−Y_t= 0 ∀t∈T“ sogar meßbar ist).

2. Geben Sie ein Beispiel f¨ur zwei ProzesseX,Y auf [0,1] an, welche zwar Modifikationen voneinander sind, aber nicht unterscheidbar.

L¨osungsvorschlag: Sei τ eine auf [0,1] gleichverteilte Zufallsgr¨oße, und setze X_t= 0, und

Y_t=

(1, t =τ, 0 t 6=τ .

Dann ist f¨ur jedes feste toffenbar P(X_t=Y_t) = P(τ 6=t) = 1; anderer- seits gibt es f¨ur jedes ω ein t(ω) = τ(ω), an welchem Y_t(ω)(ω) = 1 ist;

also folgt sogar sicher, daß Xt6=Yt f¨ur ein t ∈T.

Aufgabe 2:Es sei (ξ_t)t∈Reine Familie von unabh¨angigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit P(ξ0 = c) < 1 f¨ur alle c ∈ R. Zeigen Sie, daß der stochastische Prozeß X_t:=ξ_t P–f.s. in keinem Punkt t ∈Rstetig ist.

Hinweis: Zeigen Sie mit Hilfe des Borel–Cantelli–Lemmas: Es gibt ε₀ > 0, sodaß f¨ur jedes δ >0 P–f.s. gilt:

sup

t,s∈[kδ,(k+1)δ[

|X_t−X_s|> ε ∀k ∈Z.

L¨osungsvorschlag: Sei ε0 > 0 so klein, daß P(Xt − Xs > ε0) > 0 f¨ur alle t, s ∈ R. Sei nun k ∈ Z gegeben. Aus dem Lemma von Borell–Cantelli folgt, daß f¨ur jede Folge von verschiedenen Indicest₁, s₁, t₂, s₂, . . . mit t_i, s_i ∈

[kδ,(k + 1)δ[ gilt: P(|X_ti −X_si| < ε₀ u.o.) = 0, insbesondere P(sup_i|X_ti − X_si|< ε₀) = 0. Also gilt f.s. supt,s∈[kδ,(k+1)δ|X_t−X_s|> ε₀, und also existiert eine meßbare Menge Ωε0,δ vom Maß 1, sodaß

∀ω∈Ω_ε0,δ ∀k ∈Z sup

t,s∈[kδ,(k+1)δ[

|X_t−X_s|> ε₀ . Wir bilden nun Ω₀ := T

m∈NΩ_ε0,2^−m und behaupten, daß auf Ω₀ jeder Pfad von X unstetig in jedem Punkte ist. G¨abe es n¨amlich ein ω ∈ Ω₀, sodaß X·(ω) in einem Punkte r stetig w¨are, so g¨abe es ein δ > 0, sodaß f¨ur alle s mit |r−s|< δ gelten w¨urde |X_t−X_s|< ε₀/2. Dann w¨urde aber folgen:

sup

t,s∈[kδ,(k+1)δ

|X_t(ω)−X_s(ω)| ≤ sup

t∈[kδ,(k+1)δ

|X_t(ω)−X_r(ω)|+ sup

t∈kδ,(k+1)δ

|X_r(ω)−X_s(ω)|; was im Widerspruch zur Definition von Ω₀ st¨unde.

Aufgabe 3:Beweisen oder widerlegen Sie: Falls ein stochastischer ProzeßX auf [0,∞[ stetige Pfade besitzt, so ist seine kanonische Filtration F^X_t rechts- stetig.

L¨osungsvorschlag:Die Behauptung ist falsch; eine Gegenbeispiel ist z.B. fol- gender Prozeß: Sei Ω ={h, r},A=P(Ω), und setzeX_t(h) :=t,X_t(r) :=−t.

Offenbar ist X stetig, und F^X₀ = {∅,Ω}, w¨ahrend f¨ur jedes t > 0 gilt, daß F^X_t =P(Ω).

Aufgabe 4:

(a) SeiI 6=∅und (S,S) ein Meßraum. Dieσ–AlgebraS^Iist die kleinsteσ–

Algebra aufS^I, bez¨uglich der alle Projektionenπ_s :S^I →S,f 7→f(s), meßbar sind. Zeigen Sie, daß eine Abbildung U : (Ω⁰,A⁰) → (S^I,S^I) meßbar ist genau dann, wenn alle Abbildungen π_s ◦ U : (Ω⁰,A⁰) → (S,S) meßbar sind.

L¨osungsvorschlag:Sei zun¨achstU meßbar bez¨uglichA⁰,S^I. Weil die Projektionenπ_s S^I–S–meßbar sind, sind die Kompositionenπ_s◦U of- fenbarA⁰–S–meßbar. Sei nun umgekehrt f¨ur jedes s∈I die Abbildung π_s◦U eine A⁰–S–meßbare Abbildung. Wir betrachten nun

T:=n

A⊆S^I : U⁻¹(A)∈A⁰o . Dies ist eine σ–Algebra, weil U⁻¹(S

iA_i) =S

iU⁻¹(A_i), U⁻¹(T

iA_i) = T

i(U⁻¹A_i) und U⁻¹(A^c) = [U⁻¹(A)]^c. Nun sind die σ–Algebren σ(π_s)

Teilmengen von T: F¨ur A ∈σ(π_s), A = π⁻¹_s (B), B ∈ S ist U⁻¹(A) = (π_s ◦U)⁻¹(B) ∈ A⁰ nach Voraussetzung. Da S^I aber die kleinste σ–

Algebra ist, welche alle σ–Algebren σ(πs) enth¨alt, folgt S^I ⊆ T, und damit ist U meßbar.

(b) Es sei X ein stochastischer Prozeß auf [0,∞[ von dem Wahrscheinlich- keitsraum (Ω,A, P) in den Zustandsraum (S,S). Folgern Sie aus (a) f¨ur die Abbildung U : Ω→S^[0,t], U(ω) = (X_s(ω))s≤t daß σ(U) =F^X_t . L¨osungsvorschlag: Nach Teil (a) ist f¨ur jede σ–Algebra A⁰ die Ab- bildung U A⁰–S^[0,t]–meßbar genau dann, wenn die Abbildungen (π_s◦ U)(ω) = Xs(ω) alle A⁰–S–meßbar sind. Die kleinste σ–Algebra σ(U), bez¨uglich derU σ(U)–S^[0,t]–meßbar ist, ist also die kleinsteσ–Algebra, bez¨uglich der alle Zufallsvariablen X_s, s ≤t, meßbar sind, und das ist nach Definition gerade F^X_t .