Wärmelehre II
Eine Dampfturbine ist eine Wärmekraftmaschine. Der heute am weitesten reichende Einsatzbereich von Dampfturbinen findet sich in der Stromerzeugung in Kraftwerken für fossile Brennstoffe oder
in Kernkraftwerken. Eine Dampfturbine wird durch einen thermodynamischen Kreisprozess beschrieben und ihr Wirkungsgrad ist durch den Carnot-Wirkungsgrad limitiert.
1. Thermische Ausdehnung von Festkörpern
Die Temperatur eines Körpers kennzeichnet die Möglichkeit, innere Energie in Form von Wärme abzugeben. Die Temperatur kann durch die Ausdehnung von Materialien gemessen werden.
Die Einheit der Celsius-Temperatur ϑ ist der hundertste Teil des Temperaturunterschieds zwischen dem Schmelzpunkt von Eis und den Siedepunkt von Wasser bei Normaldruck. Der Nullpunkt der Skala liegt beim Schmelzpunkt von Eis. Die Einheit heisst Grad Celsius °C.
Längenausdehnung
Was geschieht, wenn die Temperatur eines Festkörpers erhöht wird?
Einige qualitative Experimente
Längenausdehnung: Erhöht sich die Temperatur eines Festkörpers, so wird seine Länge grösser. Die Änderung der Länge Δ ist näherungsweise ……… zur
……… und zur
……….. Es gilt also:
……… wobei α ………
Ein quantitatives Experiment
Bestimmung des Längenausdehnungskoeffizienten α
Der Längenausdehnungskoeffizient α ist eine ………
…….…….…….…….…….…….. Er gibt die
……… Längenänderung pro Kelvin an.
Aufgabe 1: Rohrleitungen, die über grosse Strecken verlegt werden, verlaufen oft nicht geradlinig, sondern werden mit solchen Schleifen versehen. Erklären Sie, welchen Zweck das hat.
Aufgabe 2: Schienen werden in einer Länge von 120 m gewalzt. Wie gross ist die Längenausdehnung einer Eisenbahnschiene zwischen Sommer und Winter?
Die Temperatur der Schiene variiere zwischen –20 °C und 50 °C.
Aufgabe 3: Ein Metallrohr besitzt bei einer Temperatur von 21.5 °C eine Länge von 50 cm. Bei der Erwärmung auf 98 °C verlängert es sich auf 50.046 cm. Berechne den Längenausdehnungskoeffizienten α. Um welches Metall könnte es sich handeln?
Material α [10–6 K–1]
Aluminium 23.8 Eisen 12 Glas 8.5 Glaskeramik 0 ± 0.1
Invar 0.2 – 1.6
Stahl 11 Wolfram 4.3 Zink 26.3
Aufgabe 4: Was kann man über den Durchhang von Fernleitungen aussagen?
a. Im Sommer (hohe Temperatur) hängen sie mehr durch als im Winter (tiefe Temperatur).
b. Der Durchhang ist im Sommer und Winter gleich.
c. Im Winter hängen sie mehr durch als im Sommer.
Aufgabe 5: Damit die Fahrleitung bei der Bahn immer gleich stark durchhängt, baut man Spannvorrich- tungen. Eine solche Spannvorrichtung ist in der Skizze dargestellt. Der Abstand der Masten ist 35 m. Die Fahrleitung besteht aus Kupfer. Um wie viel °C hat sich die Leitung erwärmt, wenn sich der Körper um die Höhe h = 9.0 mm abgesenkt hat?
Aufgabe 6: Eine Eisenstange ist im Gleichgewicht aufgehängt. Nun wird das Rohr auf der linken Seite erhitzt. Was geschieht?
a) Die linke Seite sinkt nach unten.
b) Die linke Seite steigt nach oben.
c) Die linke Seite wird schwerer.
d) Schwerpunkt verschiebt sich nach rechts.
e) Schwerpunkt verschiebt sich nach links.
Aufgabe 7: Ein Bimetall ist ein Metallstreifen aus zwei Schichten unterschiedlicher Metalle, die miteinander verbunden sind. Charakteristisch ist die Veränderung der Form bei Temperaturänderung. Diese äussert sich als Verbiegung. Ursache ist der unterschiedliche
Wärmeausdehnungskoeffizient der verwendeten Metalle.
Diese Metalle können zum Beispiel Zink und Stahl.
Was geschieht beim Erwärmen dieser Bimetalle?
Welche Aussagen sind richtig?
a) Der Cu-Al-Streifen biegt nach oben.
b) Der Cu-Al-Streifen biegt nach unten.
c) Der Al-Fe-Streifen biegt nach oben.
d) Der Al-Fe-Streifen biegt nach unten.
f) Der Cu-Fe-Streifen biegt nach oben.
g) Der Cu-Fe-Streifen biegt nach unten.
Aufgabe 8: Welche Anwendungen könnten Bimetallstreifen haben? Nennen mehrere solche Anwendungen. Für was dient die nebenstehend abgebildete Vorrichtung?
Aufgabe 9: Präzisionsmesswerkzeuge für mechanische Werkstätten werden üblicherweise bei 20 °C geeicht. Die Bearbeitungstoleranz bei der spanabhebenden Bearbeitung von Werkstücken liegt oftmals bei
1/100 mm.
a) Ein Messingstab hat bei 20 °C eine Länge von 50.00 mm. Auf welche Temperatur darf er maximal erwärmt werden, damit er sich um nicht mehr als 1/100 mm ausdehnt?
b) Eine bei 20 °C geeichte Schublehre aus V2A-Stahl ist versehentlich auf einem Heizkörper liegen geblieben und dadurch auf 40 °C erwärmt worden. Wie lang ist ein Werkstück tatsächlich, wenn eine Messung mit dieser Schublehre den Wert 163.35 mm ergeben hat?
c) Weshalb ist es besser solche Werkzeuge aus Invar herzustellen?
Aufgabe 10: Die Ganggeschwindigkeit einer Pendeluhr hängt von der Pendellänge ab: Lange Pendel schwingen langsamer als kurze. Bei steigender Temperatur wird das Pendel länger und damit die Uhr langsamer. Temperaturschwankungen stören also die Genauigkeit.
Durch Verwendung verschiedener geeigneter Metalle und spezieller Konstruktionsweisen kann jedoch erreicht werden, dass sich die temperaturbedingten Veränderungen gegenseitig aufheben und die Pendelstange gleich lang bleibt. So kann der Temperaturfehler korrigiert werden. Die Erfindung geht auf John Harrison (um 1725) zurück. Die Skizze zeigt schematisch den Aufbau eines solchen Kompensationspendels: Zwischen zwei Eisenstäben der Länge l1
befindet sich ein Zinkstab der Länge l2. In welchem Verhältnis müssen die beiden Längen stehen, damit die Gesamtlänge s bei einer Temperaturänderung erhalten bleibt?
Volumenausdehnung
Bei der Volumenausdehnung eines Festkörpers lässt sich die Volumenänderung ΔV näherungsweise berechnen: ……… wobei der Volumenausdehnungskoeffizient γ ≈ ………
Aufgabe 11: Ein Kupferwürfel (Seitenlänge s = 10 cm) wird um Δϑ = 70 °C erwärmt.
Berechne die Volumenänderung.
s
Zink (Zn) Eisen (Fe) Eisen (Fe)
l1
l1 l2
2. Thermische Ausdehnung von Flüssigkeiten
Flüssigkeiten dehnen sich in alle Richtungen gleichermassen, d.h. isotrop aus. Die Angabe eines Längenausdehnungskoeffizienten macht deshalb wenig Sinn. Wir beschreiben die thermische Ausdehnung also durch die Volumenausdehnung:
Bei der Volumenausdehnung einer Flüssigkeit lässt sich die Volumenänderung ΔV näherungsweise berechnen: ……… wobei γ der Volumenausdehnungskoeffizient ist.
Flüssigkeiten haben in der Regel einen deutlich grösseren Ausdehnungskoeffizienten als Feststoffe. Deshalb sind die Angaben in der nebenstehenden Tabelle in Tausendstel pro Kelvin gemacht, anstelle 10–6 K–1 wie bei für die Feststoffe.
Aufgabe 12: Wird von einer Klimaerwärmung von 2 °C und einem Meeresspiegelanstieg von 30 cm gesprochen, denkt jeder zuerst an die Gletscher und die Polareis- kappen, die wegschmelzen. Dass aber fast die Hälfte des Anstiegs allein auf die Ausdehnung des Meer- eswassers zurückzuführen ist, können Sie mit einer vereinfachenden Abschätzung selbst nachrechnen: Die Ozeane bedecken rund 70 % unserer Erdoberfläche.
Die Wasserschicht, die sich bei einer globalen Erwärm- ung erwärmen würde ist ca. 300 m dick. Tiefer
liegende Schichten bleiben aufgrund ihres Salz- gehaltes und der viel tieferen Temperaturen praktisch unbeeinflusst. Gehen Sie bei Ihrer Abschätzung von einem festen, rechteckigen Meeresbecken aus.
Aufgabe 13: Eine 40-W-Glühbirne im Sockel einer Lavalampe erwärmt grün gefärbten Benzylalkohol der Dichte 1045 kg/m3. Dieser steigt in grösseren oder kleineren Tropfen im klaren Salzwasser auf, das den Rest der Lampe ausfüllt. Nach einer gewissen Zeit jedoch sinkt es wieder in interessanten Gebilden auf den Grund. Erklären Sie, weshalb der Benzylalkohol die beobachtete Bewegung ausführt.
Aufgabe 14: Baden im See, das macht allen Spass! Doch haben Sie sich auch schon einmal gewundert, weshalb das kühlere Flusswasser nicht an der Seeoberfläche bleibt, sondern glücklicherweise absinkt? Das kalte Wasser muss eine grössere Dichte haben als das warme.
Das Flusswasser habe eine Temperatur von 14 °C, das Seewasser eine von 20 °C. In der Formelsammlung finden Sie leider nur die Dichte für Wasser bei 20 °C. Doch können Sie mit dem Volumenausdehnungskoeffizienten die Dichte des kälteren Wassers abschätzen. Welche Dichte hat das Flusswasser?
Material γ [10–3 K–1]
Ethanol 1.10 Quecksilber 0.182 Wasser 0.207 zum Vergleich
Eis 0.111
Die Anomalie von Wasser
Aufgabe 15: Wasser verhält sich nicht wie oben beschrieben, seine Volumen nimmt also nicht lineare mit der Temperatur zu. Es gibt sogar Temperaturen, bei denen sich Wasser mit zunehmender Temperatur zusammenzieht. Wasser verhält sich also anormal. Die nebenstehende Figur zeigt die Dichte von Wasser in Abhängigkeit der Temperatur. Das kleine Diagramm stellt eine Vergrösserung der Kurve zwischen 0 °C und 10 °C dar. In welchem Tem- peraturintervall zieht sich Wasser mit zu- nehmender Temperatur zusammen.
Aufgabe 16: Dass der See von oben her gefriert ist für das Überleben von Fischen und anderen Tieren und Pflanzen in Gewässern wichtig. Sie leben im Winter unter der Eisschicht im Wasser. Weshalb
gefriert der See von oben? Weshalb kann der See kaum ganz durchfreieren?
Aufgabe 17: Um das giftige Quecksilber zu ersetzen, werden Flüssigkeitsthermometer auch mit gefärbtem Alkohol gefüllt. Nennen Sie drei Gründe, weshalb nicht gefärbtes Wasser verwendet wird.
Aufgabe 18: Ein Biobauer pasteurisiert Apfelsaft in Ballon- flaschen (25 Liter). Bei 10 °C ist die Flasche randvoll, wenn das Heizgerät eingetaucht ist. Der Saft wird bis auf 78 °C aufgeheizt. Weil nun Saft überläuft, bekommt die Flasche einen „Kragen“ (siehe Bild).
Die Ausdehnung des Glases und das Volumen des Heizgerätes sollen im Folgenden vernachlässigt werden.
a) Mit welchem übergelaufenen Volumen – nach Abkühlung auf 10 °C – ist zu rechnen, wenn von einem konstanten Volumenausdehnungs-
koeffizienten von 0.21·10–3 K–1 (gültig bei 20 °C) ausgegangen wird?
b) Was folgt aus der Tatsache, dass deutlich mehr als in a) berechnet überläuft?
3. Grundgrössen
Der Druck
Ein Gas, in einem Behälter eingeschlossen ist, übt auf die Wände des Behälters eine Kraft aus. Diese Kraft steht überall senkrecht auf die Wand. Da ein Gas isotrop ist, ist die Kraft die das Gas auf ein Flächenstück ausübt überall gleich. Es ist daher zweckmässig den Quotienten aus Kraft F und der Fläche A als neue Grösse zu definieren:
Definition: ……… …………
Einheit: [p] = ………..
Aufgabe 19: In einem Drucktopf herrscht ein Überdruck von 1000 hPa. Der Deckel hat eine Fläche von 5dm². Welche Kraft wirkt von innen gegen den Deckel?
Aufgabe 20: Auf ein 5.0 cm2 grosses Stück der Innenwand eines Autoreifens wirkt die Kraft 90 N. Wie gross ist der Druck im Autoreifen in bar und in hPa?
In welche Richtung zeigt der Druck?
Aufgabe 21: Ein Gasometer ist ein meist zylinderförmiger Behälter zur Versorgung einer Stadt mit Stadtgas. Der Behälter weist einen beweglichen und dicht abschliessenden Deckel auf, der dafür sorgt, dass unabhängig vom Füllgrad des Gaso- meters der Gasdruck konstant bleibt. Der grösste Gasometer Europas wurde 1929 in Oberhausen gebaut. Der Behälter war 117.5 m hoch und fasste maximal 3.47⋅105 m3 Gas.
Zur Abdichtung zwischen Behälter und Deckel diente ein Ölfilm, der auch eine fast reibungslose Bewegung des 1207 t schweren Deckels gewährleistete. 1993 wurde das Gasometer stillgelegt und zu einem Kultur- und Touristikzentrum umgebaut.
a) Welche Grundfläche und welchen Durchmesser hatte der Gasometer von Oberhausen?
b) Unter welchem Überdruck stand das Gas in der Gasleitung von Oberhausen?
Teilchenzahl und Stoffmenge
Jedes thermodynamische System (ein Körper, eine Flüssigkeit oder ein eingeschlossenes Gas) besteht aus einer absoluten Anzahl Teilchen. Sie wird Teilchenzahl N genannt und hat die Einheit [N] = …………
Ein makroskopisches System enthält sehr viele Teilchen – typischerweise 1024 Teilchen. Diese Teilchenzahl lässt sich nur schätzungsweise bestimmen. Wie sollten auch so viel Teilchen auch gezählt werden? Es können aber die Anzahl Teilchen von zwei Systeme verglichen werden
(z.B. bei chemischen Reaktionen, da die einzelnen Teilchen mit ihren Reaktionspartnern reagieren).
Wir führen also eine weitere Einheit ein. Die SI-Einheit der Stoffmenge ist also wie folgt definiert:
Das Mol ist die Stoffmenge n eines Systems, das aus ebenso viel Einzelteilchen besteht, wie Atome in 0.012 kg = 12 g des Kohlenstoffnuklids 12C enthalten sind. Bei Benutzung des Mol müssen die Einzelteilchen spezifiziert sein und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen etc. sein.
Die Stoffmenge gibt indirekt die Teilchenzahl eines Systems an. Sie hat die Einheit [N] = ……
Die Anzahl Teilchen in einem Mol muss experimentell bestimmt werden.
Die Avogadro-Konstante NA gibt an, wie viele Teilchen (etwa Atome eines Elements oder Moleküle einer chemischen Verbindung) in einem Mol des jeweiligen Stoffes enthalten sind.
Die Avogadro-Konstante beträgt: NA = 6.02214126·1023 mol–1 Für Teilchenzahl N und Stoffmenge n gilt also: N = ………
Aufgabe 22: Ein Kristall ist ein Festkörper, dessen Bausteine – Atome, Ionen oder Moleküle – nicht zufällig, sondern regelmäßig in einer Kristallstruktur angeordnet sind.
Bekannte kristalline Materialien sind Kochsalz, Zucker, Minerale und Schnee – aber auch die Metalle. Mithilfe der Röntgenbeugung kann der Gitterabstand von Kristallen sehr genau bestimmt werden. Die Gitter- konstante (Abstand von zwei Gitterzellen) von Silicium, das eine kubische Kristallstruktur ausbildet, wurde mit sehr grosser Genauigkeit gemessen und beträgt 543.1020504 pm. Die genaue Vermessung wurde in Hinblick auf eine mögliche neue Festlegung des Kilogramms und des Mols durchgeführt. In jeder kubischen Gitterzelle sind 8 Atome. Wie viele Atome sind in einem Kubikzentimeter Silizium? Welche Stoff- menge ist das? Welche Masse hat ein Silizium-Atom.
Die Dichte von reinem Silizium beträgt 2330 kg/m3.
Auch die Masse von Atomen ist nicht einfach zu bestimmen. Die Masse von Atomen können aber mithilfe der Massenspektroskopie gut untereinander verglichen werden. Wir führen deshalb für Atome eine weitere Einheit für die Masse ein:
Die atomare Masseneinheit u (für unified atomic mass unit) ist eine Masseinheit der Masse.
Sie wird bei der Angabe von Atom- und Molekülmassen verwendet.
Ihr Wert ist auf 1⁄12 der Masse eines Atoms des Kohlenstoff-Isotops 12C festgelegt.
Sie beträgt 1 u = 1.660538782·10–27 kg.
Aufgabe 23: Welche Atommasse in u hat 12C?
Welche Masse in Gramm hat ein Mol
12C-Atome?
Die Atommasse eines Teilchens in …… ist gleich der Masse eines Mols dieser Teilchen in ……….
Aufgabe 24: Welche Masse hat a) 1mol Wasserstoff?
b) 1 mol Stickstoff?
c) 0.3 mol CO2? d) 2.5 mol C9H8O4
(Acetylsalicylsäure = Aspirin)?
Aufgabe 25: Das Bild zeigt ein Massen- spektrum von Luft. Welcher Peak rührt von welchem Bestandteil von Luft her?
4. Die Zustandsgleichung des idealen Gases
Gesetz von Gay-Lussac
Joseph Louis Gay-Lussac (*1778 in Saint-Léonard-de-Noblat; † 1850 in Paris) hat untersucht, wie sich das Volumen eines Gases verhält, wenn man die Temperatur bei konstantem Druck verändert.
Das Experiment
Skizze Resultate
Grafische Darstellung
Das Volumen nimmt mit der Temperatur ……… . Extrapolieren wir die Temperatur bis das Volumen ……… wird, so finden wir den absoluten Temperatur-Nullpunkt.
ϑ [°C] T [K] ΔV [cm3] V [cm3]
ϑ [°C]
0 °C –100 °C
–200 °C
V [cm3]
Die tiefst mögliche Temperatur beträgt ……… °C (absoluter Nullpunkt). Bei dieser Temperatur verschwindet das ……… eines ……… Gases
Die absolute Temperatur T hat dieselbe Skalen- teilung, wie die Celsius-Temperatur ϑ. Sie beginnt jedoch beim absoluten Nullpunkt:
T = ……… [T] = …………
Gesetz von Gay-Lussac: Bei konstantem Druck ist das Volumen V eines Gases ………
zur absoluten Temperatur T:
V konstant T =
falls p konstant (isobar) und n konstant.
Aufgabe 26: Eine Gasmenge nimmt bei –13 °C ein Volumen von 60 cm3 ein. Wie gross ist dasselbe bei unverändertem Druck, falls die Temperatur auf +117 °C gestiegen ist?
Aufgabe 27: In einem Zimmer (7m × 8m × 3.5m) wird die Luft von 15 °C auf 20 °C aufgeheizt.
Wieviel m3 Luft entweichen aus den Ritzen?
Aufgabe 28: Auf welche Temperatur muss man das Gas (27 °C) in einem Zylinder abkühlen, damit sein Volumen um 15 % abnimmt?
Aufgabe 29: Ein kugelförmiger Luftballon enthält Luft von 20.5 °C bei einem Druck von
1020 mbar. Der Durchmesser des Ballons beträgt 28.4 cm. Marco befestigt den Ballon an seinem Schlitten und geht damit ins Freie, wo eine Temperatur von –5.7 °C herrscht. Auf welchen Durchmesser wird der Ballon dabei schrumpfen?
Aufgabe 30: Ein Heissluftballon schwebt in Luft von 18 °C bei einem Luftdruck von 1013 mbar (Normdruck). Der Durch- messer des als kugelförmig anzunehmenden Ballons beträgt 18 m. Die Luft im Inneren des Ballons wird bei einer Temperatur von 82 °C gehalten,
a) Welche Masse hat die Luft im Inneren des Ballons?
b) Welche Luftmasse verdrängt der Ballon?
c) Welche Nutzlast trägt der Ballon, wenn Ballonhülle, Korb, Seile, Steuerung und Gasbrenner zusammen 0.4 t wiegen?
d) Die Temperatur im Inneren des Ballons werde um 1 °C erhöht. Wie viele Kilogramm mehr gegenüber vorher könnte der Ballon dadurch in der Schwebe tragen?
Gesetz von Bolye-Mariotte
Der französische Physiker Edme Mariotte entdeckte 1676 ein weiteres Gasgesetz unabhängig von Robert Boyle
*1626 in Lismore; † 1691 in London). Boyle (Bild) hat das Gesetz jedoch etwas früher im Jahre 1662 bereits pub- liziert. Das Gesetz von Boyle-Mariotte beschreibt Druck in Abhängigkeit der Temperatur bei konstantem Volumen
Das Experiment
Skizze
Resultate Grafische Darstellung
Bei konstanter ……….. ist der Druck ist ……… zum ………, d.h. bei halbem Volumen ist der Druck ……… so gross.
V [cm3] p [bar]
Gesetz von Boyle-Mariotte: Bei konstanter Temperatur ist der Druck ……… zum Volumen:
p V konstant⋅ =
falls T konstant (isotherm) und n konstant.
Nun muss noch untersucht werden, wie sich das Gas verhält, wenn die Temperatur bei konstantem Volumen erhöht wird. Das Gesetz von Amontons beschreibt dies:
Gesetz von Amontons: Bei konstantem Volumen V ist der Druck ……….. zur abs. Temperatur T:
p
konstant
T=
falls V konstant (isochor) und n konstant.
Aufgabe 31: Ein Taucher taucht bis auf 15 m Tiefe ab. Von seinem Atemgerät steigen Luftblasen (50 cm3) auf.
a) Welches Volumen hat die Blase bei Erreichen der Oberfläche, wenn der Luftdruck p = 960 hPa beträgt und pro Meter Wassertiefe der Druck um ca. 100 hPa zunimmt?
b) Welchen Durchmesser hat die Blase in 15 m Tiefe und welchen Durchmesser hat sie an der Oberfläche?
c) In der Aufgabe ist ein ungefährer Wert für die Druckzunahme bereits angegeben. Wie gross ist der Überdruck in dieser Tiefe bei 20 °C genau?
Aufgabe 32: Beim Boxenstopp in einem Formel-1-Rennen werden dem Boliden neue Reifen verpasst und der Benzintank aufgefüllt. Dies alles in einer Zeit von weniger als 10 Sekunden.
Damit die Gummimischung optimal haftet, müssen die Reifen eine Temperatur von 65 °C haben. Der ideale Überdruck in den Vorderreifen eines Formel-1-Rennwagens beträgt 3.80 bar. Die Reifen werden aber bei einer Temperatur von 25 °C und einem Luftdruck von 990 mbar aufgepumpt. Kurz bevor sie montiert werden, erwärmt man sie auf die ideale Temperatur. Auf welchen Überdruck müssen die „kalten“ Reifen aufgepumpt werden?
Aufgabe 33: Vielleicht kennen Sie das Problem: Beim Gefrierschrank lässt sich die Tür nach dem Schliessen für einige Zeit nicht öffnen. Nehmen Sie an, dass beirr Öffnen 180 Liter –22 °C kalte Luft aus dem Gefrierschrank abfliessen und durch 17 °C warme Luft ersetzt werden.
Ausserhalb herrscht ein Luftdruck vor 98 kPa. Bis auf welchen Wert sinkt der Druck im Innern nach dem Schliessen der Tür, wenn keine Luft in den Gefrierschrank eindringen kann? Wie gross ist die Kraft, die aufgrund des Druckunterschiedes auf die 70 x 180 cm grosse Tür wirkt?
Die allgemeine Gasgleichung
Bis anhin können wir eine Zustandsänderung eines Gases nur berechnen, wenn von den drei Grössen Druck p, Volumen V und Temperatur T eine konstant bleibt. In einigen Fällen reicht dies durchaus aus; im Allgemeinen ändern jedoch alle drei Grössen. Zum Beispiel wird beim
Velopumpen die Luft nicht nur komprimiert (d.h. zusammengedrückt), sondern auch erwärmt. Auch die Luftblasen, die im Wasser des Sees aufsteigen ändern Volumen, Druck aber auch die
Temperatur, da die Wassertemperatur mit der Tiefe ändert.
Herleitung der allgemeinen Gasgleichung
Wir verändern den Zustand eines Gases in zwei Schritten:
Erster Schritt: Isobare Expansion (p1 = konst.)
Zweiter Schritt: Isotherme Kompression (T2 = konst.)
Durch Einsetzen der ersten Gleichung in der zweiten und Sortieren der Zustandsvariablen Druck, Volumen und Temperatur finden wir die Gasgleichung:
Noch nicht berücksichtig wurde die Anzahl Teilchen N im Gefäss. Es ist plausibel, dass bei gegeben Temperatur und gegebenem Druck, die Anzahl Teilchen proportional zum Volumen ist.
Es gilt also:
Bei einem idealen Gas ist das Verhältnis k p V N T
= ⋅
⋅ konstant. k heisst Boltzmann-Konstante. Die Boltzmann-Konstante beträgt k = 1.38·10–23 J/K.
Für ein ideales Gas mit der Anzahl Teilchen N, dem Volumen V, dem Druck p und der Temperatur T gilt die allgemeine Zustandsgleichung: p·V = ………= ……… mit der Teilchen- zahl N, bzw. der Stoffmenge n und der universellen Gaskonstanten R = ………… = …………
Aufgabe 34: Ein Gas nimmt bei 250 K und 250'000 Pa einen Raum von 1 m3 ein.
Wieviel mol sind vorhanden?
Aufgabe 35: Wieviel kg Luft zu 0 °C lässt sich bei einem Druck von 10 MPa (100 bar) in ein Volumen von 20 l pressen?
Aufgabe 36: Welches Volumen beanspruchen 50 mg Sauerstoff bei Normdruck und –40 °C?
Aufgabe 37: Eine bestimmte Menge gasförmiges Kohlendioxid (CO2) nimmt bei 280 K und 1.12 bar ein Volumen von 50 l ein. Wie gross wird das Volumen bei 30 °C und 800 mbar?
Aufgabe 38: Welche Masse hat die Luft in einem Raum von 10 m Länge, 7 m Breite und 3 m Höhe bei 17 °C und einem Druck von 960 mbar?
Aufgabe 39: Frühmorgens (bei einer Temperatur von 0 °C) misst man einen Pneu-Überdruck von 2 bar. Nach einer raschen Fahrt ist die Temperatur des Pneus auf 50 °C angestiegen. Welchen Überdruck misst man jetzt? (Der Luftdruck beträgt 1 bar.)
Aufgabe 40: Polyvinylchlorid (PVC) ist ein thermoplastischer Kunststoff. Bekannt ist PVC durch seine Verwendung in Fussbodenbelägen, zu Fensterprofilen, Gummiboote, Rohren, für Kabelisolierungen und für Schallplatten. Erdöl und Kochsalz sind Ausgangsprodukte für die Herstellung von Polyvinylchlorid (PVC). Das Chlor wird aus dem Kochsalz auf elektrochemischem Weg gewonnen. Bei der Elektrolyse von Kochsalz entweichen an der Anode 2.08 g Chlorgas Cl2. Welches Volumen beansprucht das Gas bei einer Temperatur von 25.3 °C und einem Druck von 954 hPa?
Aufgabe 41: Bei der vollständigen Verbrennung von 12.0 g Kohlenstoff mit 32.0 g Sauerstoffgas entstehen bei einem Druck von 1120 mbar und einer Temperatur von 218 °C 44.0 g Kohlendioxid. Welches Volumen beansprucht das entstandene CO2-Gas?
Aufgabe 42: Ein Kompressor braucht man zur Herstellung von Druckluft. Der Behälter eines Kompressors fasst 100 Liter Pressluft bei einem Überdruck
von 15 bar und einer Temperatur von 20 °C. Wie viele Kilogramm Luft enthält der Behälter des Kompressors?
Aufgabe 43: Wie gross ist das Volumen von 1 mol eines idealen Gases bei Normbedingungen (0 °C, 101‘325 Pa)?
Fülle die Lücke aus!
Ein Mol von einem idealen Gas hat bei Normbedingungen (0 °C, 101‘325 Pa) ein Volumen von ……… Liter (Satz von Avogadro).
Aufgabe 44: Eine Sodawassermaschine kann aus Leitungswasser spru- delndes, kohlensäurehaltiges Sodawasser machen. Eine gebrauchte Kohlendioxidflasche enthält bei einem Volumen von 0.50 Liter noch 22 g CO2. Wie gross ist dann der Druck in der Flasche bei 20 °C?
Aufgabe 45: Es ist sehr gefährlich, „leere“ Spraydosen ins Feuer zu werfen. Sie enthalten oft noch wenig Restflüssigkeit, die durch die hohe Temperatur verdampft und dadurch den Druck in der Dose massiv erhöht. Eine 3.00 dl fassende Flasche enthält 9.00 cm3 Wasser und 291 cm3 Luft von 20.0 °C. Beim Luftdruck 1000 hPa wird die Flasche hermetisch verschlossen und im Feuer auf 300 °C erhitzt. Dabei verdampft das Wasser vollständig. Wie gross wird der Druck in der Flasche?
Aufgabe 46: Der Druck in einer Sauerstoff-Flasche für medizinische Zwecke beträgt 160 bar bei 20.2 °C.
a) Wie gross ist die Dichte des eingeschlossenen Sauerstoffgases?
b) Welche Gasmenge (in Gramm und in Mol) ist in der 2.00 Liter fassenden Flasche enthalten?
c) Ohne Temperaturänderung wird so viel Gas aus der Flasche entnommen, bis der Druck in der Flasche auf 150 bar gesunken ist. Wie viel Gas (Angabe in Gramm) ist entnommen worden?
d) Auf welchen Betrag steigt der Druck, wenn die Temperatur anschliessend durch Sonneneinstrahlung auf 50.0 °C steigt?
Spezialfälle
Durch konstant halten einer Grösse, kann jedes der drei Gasgesetze dargestellt werden:
Isotherm: Boyle-Mariotte
Isobar: Gay-Lussac
Isochor: Amontons
5. Kinetische Gastheorie
Das ideale Gas
Das Modell des idealen Gases hat folgende Eigenschaften:
Eine Vielzahl N von Teilchen in ständiger, isotroper Bewegung mit der mittleren Geschwindigkeit v sind in einem Volumen V eingeschlossen.
Die Teilchen sind ausdehnungslose Massenpunkte.
Die Teilchen stossen untereinander und mit den Wänden.
Die Stösse sind vollkommen elastisch.
Die Teilchen bewegen sich frei in dem Volumen, d.h. sie spüren keine Fernkräfte untereinander, d.h. sie bewegt sich zwischen den Stössen gradlinig mit konstanter Geschwindigkeit.
Das ideale Gas ist eine Modellvorstellung eines realen Gases. Unter den realen Gasen kommen die leichten Edelgase und Wasserstoff diesem Zustand am nächsten, insbesondere bei niedrigem Druck und hoher Temperatur. Je niedriger der Druck und je höher die Temperatur ist, desto stärker verhält sich ein reales Gas wie ein ideales.
Der Druck im idealen Gas
Ein ideales Gas mit N Teilchen ist in einem Volumen V eingeschlossen. Die mittlere Geschwindig- keit der Teilchen beträgt v . Wir berechnen nun den Druck auf die Gefässwände.
Aus der kinetischen Gastheorie des idealen Gases lassen sich folgende Beziehungen herleiten:
Der Druck des idealen Gases beträgt: p =
Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie: p·V = und damit das Gesetz von Boyle-Mariotte: p·V =
Aufgabe 47: Der Satz von Avogadro besagt, dass ein Mol von einem idealen Gas hat bei Norm- bedingungen (0 °C, 101‘325 Pa) ein Volumen von 22.4 Liter einnimmt.
a) Welche mittlere Geschwindigkeit haben also Wasserstoff-Moleküle bei Normbedingungen?
b) Und welche mittlere Geschwindigkeit hat Kohlendioxid bei Normbedingungen?
Die innere Energie des idealen Gases
Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie und die Zustandsgleichung des idealen Gases haben dieselbe Form.
Durch Gleichsetzen finden wir:
Die mittlere kinetische Energie Ekin eines Teilchen im (einatomigen) idealen Gas beträgt E = ………= ……… kin
und somit die innere Energie U U = ………
Aufgabe 48: Eine Gasblase steigt bei konstanter Temperatur vom Grunde eines Sees an die Wasseroberfläche. Wie verändern sich folgende Grössen des Gases?
a) Druck b) Volumen c) Dichte
d) mittlere Geschwindigkeit der Teilchen e) mittlere kinetische Energie der Teilchen f) innere Energie
Aufgabe 49: Sie stehen vor zwei gleich grossen
Gasflaschen, die mit Helium bzw. Neon gefüllt sind.
In beiden herrschen die gleiche Temperatur und der gleiche Druck. Sie fragen sich: Was ist bei beiden Gasportionen gleich, was ist wo grösser (mit kurzer Begründung)?
a) Teilchenzahl
b) Dichte
c) mittlere kinetische Energie eines Teilchens d) mittlere Teilchengeschwindigkeit
e) mittlerer Impuls eines Teilchens
Aufgabe 50: Sie halten eine „leere“ 1.5-Liter-PET-Flasche in den Händen. Die Flasche enthält Luft bei einer Temperatur von 20 °C und Normdruck.
a) Wie gross ist innere Energie der Luft in der Flasche?
b) Wie weit könnte das Gas in der Flasche mit der in a) berechneten Energie auf der Erde angehoben werden?
Aufgabe 51: Eine Chemikerin möchte in einem Gefäss ein Gas erhitzen. Sie benutzt dazu eine elektrische Heizung. Damit kann sie die zugeführte Energie gut messen. Im Gefäss mit konstantem Volumen von 800 ml befinden sich bei 20.0 °C und Normdruck 1.33 g Argon.
a) Wie gross ist die mittlere Geschwindigkeit der Gasteilchen vor der Energiezufuhr näherungsweise?
b) Wie gross ist die Temperatur nach der Zufuhr von 100 J Energie?
c) Wie gross ist die mittlere Geschwindigkeit der Gasteilchen nach der Zufuhr von 100 J Energie näherungsweise?
d) Wie gross wären Energiezufuhr und Temperatur im Falle einer Verdopplung der Teilchengeschwindigkeit?
Mehratomige Gase
Mit Freiheitsgrad f wird die Zahl der voneinander unabhängigen (und in diesem Sinne „frei wählbaren”) Bewegungsmöglichkeiten eines Systems bezeichnet.
Aufgabe 52: Wie viele Freiheitsgrade f haben diese Gelenke?
Drehgelenk Schraubgelenk Plattengelenk Drehschubgelenk Kugelgelenk
Aufgabe 53: Ein Körper kann Translations- (lineare Bewegung), Rotations- (Drehbewegung) und Vibrationsfreiheitsgrade (Schwingungen) haben.
a) Wie viele Translationsfreiheitsgrade hat ein Massenpunkt?
b) Wie viele Rotationsfreiheitsgrade hat ein Massenpunkt?
c) Wie viele Rotationsfreiheitsgrade hat ein starrer Körper?
d) Wie viele Vibrationsfreiheitsgrade hat ein Pendel?
Ein Körper hat …… Translationsfreiheitsgrade. Ein starrer Körper kann zusätzlich …. (linearer Körper) oder …… (gewinkelter Körper) Rotationsfreiheitsgrade haben. Jede Vibration (Schwingung) hat …… Freiheitsgrade (Amplitude und Periode).
Aufgabe 54: Wie viele Freiheitsgrade f haben diese Moleküle?
a) 1-atomiges Molekül b) 2-atomiges Molekül
c) 3-atomiges lineares Molekül d) 3-atomiges gewinkeltes Molekül Aufgabe 55: Wie viele
Freiheitsgrade f haben die Teilchen dieser Gase?
a) Stickstoff b) Helium c) Wasserdampf d) Kohlendioxid
Der Gleichverteilungssatz besagt, besagt, dass im thermodynamischen Gleichgewicht bei der Temperatur T im Mittel jeder Freiheitsgrad die gleiche Energie besitzt: E = ………
Die spezifische Wärmekapazität von Gasen
Herleitung
Wir berechnen nun die spezifische Wärmekapazität c von einem mehratomigen, idealen Gas.
Für die zugeführte Wärme Q gilt:
Q =
wobei m die Masse des Gases und ΔT die Temperaturänderung.
Wir ändern nun die innere Energie ΔU des Gases mit N Teilchen mit f Freiheitsgraden ΔU =
Die innere Energie wird geändert indem dem System Wärme Q zugeführt wird. Es wird jedoch keine Arbeit W = 0 am System verrichtet – das Volumen wird also konstant gehalten. Es gilt also:
Der Quotient von Masse m und Teilchenzahl N ist die ……… mM = m/N.
Die spezifische Wärmekapazität cv eines mehratomigen, idealen Gases bei konstantem Volumen ist cv = (f: Anzahl Freiheitsgrade, mA: Masse eines Teilchens)
Beispiele
Wasserstoff H2:
Kohledioxid CO2
Geschwindigkeitsverteilung in Gasen
Brown’sche Bewegung
Bereits 1785 beobachte und beschrieb der Niederländer Jan Ingenhousz die Bewegung von Holzkohlestaub auf Alkohol.
Der schottischen Botaniker Robert Brown beobachtete (1827) unter dem Mikroskop, wie Pollen in einem Wassertropfen unregelmäßig zuckende Bewegungen machten.
Ursprünglich und gleichzeitig irrtümlich nahm Brown an, dass dies ein Hinweis auf die Lebenskraft sei, die lange Zeit von Wissenschaftlern als existent vermutet wurde. Diesen Effekt konnte er aber letzten Endes in weiteren empirischen Experimenten auch an eindeutig unbelebten Staubkörnern beobachten. Eine beweisbare Erklärung liefern die Moleküle des Wassertropfens, die perma-
nent von allen Seiten gegen die grösseren, sichtbaren Pollen- teilchen stossen, wie 1860 durch die Maxwellsche Geschwindig- keitsverteilung auch mathematisch exakt beschrieben werden konnte.
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
Die Richtung der Geschwindigkeitsvektoren der Teilchen in einem Gas sind isotrop, d.h. in alle Richtungen gleich. Die Geschwindigkeitsbeträge sind jedoch statistisch verteilt – es gibt langsame und schnelle Teilchen im Gas.
Die Geschwindigkeiten der Teilchen in einem idealen Gas sind Maxwell-Boltzmann verteilt. Die Dichte Funktion der Maxwell- Boltzmann-Verteilung ist in der neben- stehenden Figur dargestellt. Die Fläche unter Kurve stellt die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen mit einer Geschwindigkeit im Intervall von v bis v+Δv anzutreffen.
Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit: ⋅ ⋅
W=
2 k T
v m
Die mittlere Geschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit):
π
= ⋅ ⋅
⋅ 8 k T
v m
Das Mittel der quadratischen Geschwindigkeiten: ⋅ ⋅
= 2 =
rms
3 k T
v v
m
Aufgabe 56: Weiter oben hast du Geschwindigkeit der Teilchen in Wasserstoff und in Kohlendioxid bei Normbedingungen berechnet. Um welche Geschwindigkeit (vW, v , vrms) handelt es sich?
Aufgabe 57: Leite die Formel für das Mittel der quadratischen Geschwindigkeiten vrms aus der kinetischen Energie eines Teilchens im idealen Gas her.
Aufgabe 58: Ergänze diese Ungleichung mit den fehlenden Geschwindigkeiten (vW, v , vrms):
…… < …… < ……
Aufgabe 59: Berechne die mittlere und die wahrscheinlichste Geschwindigkeit der Moleküle in von Stickstoff bei 20 °C.
Aufgabe 60: Diese Figuren stellen die Maxwell-Boltzmann-Verteilung für unterschiedliche Temperaturen und unterschiedliche Gase dar.
a) Schätze die wahrscheinlichste Geschwindigkeit i) der Helium-Atom bei 0 °C und
ii) der Stickstoffmoleküle bei 1000 °C.
b) Wie verändert sich die Geschwindigkeit der Teilchen im mittel, wenn i) die Teilchen massiver werden?
ii) die Temperatur grösser wird?
c) Schätze ab, wieviel Prozent aller H2-Moleküle bei 0 °C schneller als 2000 m/s sind.
Aufgabe 61: Wasser erreicht den Siedepunkt bei 100 °C und verdampft. Dennoch verdunstet Wasser in einer Schale bereits bei Zimmertemperatur. Erkläre dies anhand der Maxwell- Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung. Auch in der flüssigen Phase sind die
Geschwindigkeiten der Teilchen statistisch verteilt.
Aufgabe 62: Berechne die wahrscheinlichste und die mittlere Geschwindigkeit eines idealen Gases beim absoluten Nullpunkt.
Die absolute Temperatur ist ein Mass für die Geschwindigkeit der Teilchen in einem Gas. Am absolute Temperaturnullpunkt kommt die thermische Bewegung der Teilchen zum erliegen.
6. Wasser und Wasserdampf
Der Dampfdruck
In einem offenen Gefäss, verdunstet mit der Zeit die gesamte Flüssigkeit. In einem abgeschlosse- nen Behälter kondensieren bei genügend grossem Druck, gleichviel Teilchen, wie verdunsten und ein Gleichgewicht zwischen Verdunsten und Verdampfen stellt sich ein.
Der gesättigte Dampfdruck pS ist der Druck, der sich einstellt, wenn sich in einem ………
……… System Dampf mit der zugehörigen flüssigen Phase im thermo- dynamischen ……… befindet.
Der Dampfdruck nimmt mit steigender
Temperatur ………. . Beim kritischen Punkt (Wasser TC = 374 °C, pC = 221 bar) verschwindet der (Dichte-)Unterschied
zwischen der ……… und der
……… Phase.
Aufgabe 63: Welcher Dampfdruck hat der gesättigte Wasserdampf bei 100 °C. Der Luftdruck bei Normbedingungen (typischer Luftdruck) beträgt 101‘325 Pa. Weshalb ist das so?
Sieden ist, im Gegensatz zu der Verdunstung, eine schnelle Zustandsänderung vom Flüssigen zum Gasförmigen, bei der der Dampfdruck einer Flüssigkeit den
……… erreicht. Der Dampfdruck lässt Blasen unter Wasser entstehen, die aufsteigen.
Aufgabe 64: Bei welcher Temperatur kocht Wasser auf 2‘400 m Höhe über Meer?
Der Druck nimmt gemäss der barometrischen Höhenformel gegen oben exponentiell ab
= ⋅
h 5500m
0 1
p p 2 , wobei h die Höhe über Meer in Meter und p0 der Normdruck.
Die Luftfeuchtigkeit
Die Luftfeuchtigkeit gibt bezeichnet den Anteil des Wasserdampfs der Luft der Erdatmosphäre oder in Räumen. Sie ist eine wichtige Kenngrösse für zahlreiche technische und meteorologische Vorgänge sowie für Gesundheit und Behaglichkeit.
Die absolute Luftfeuchtigkeit ρLF gibt an, welche Masse m Wasserdampf sich in einer Volumeneinheit V befindet ρLF = ……… [ρLF]= ………
Die relative Luftfeuchtigkeit ϕLF ist das Verhältnis der absoluten Feuchtigkeit ρLF zu Sättigungs- feuchtigkeit ρS (Dichte des gesättigten Wasserdampfes): ϕLF = ………
Aufgabe 65: In den Tropen regnet es fast täglich. An einem Nachmittag beträgt die Temperatur 35 °C und die relative Feuchte 75 %. Gegen Abend wird der Sonnenstand tiefer und die Temperatur sinkt auf 26 °C. Ab welcher Temperatur beginnt es zu regnen?
Aufgabe 66: Ein Hygrometer misst die relative Luft- feuchtigkeit. Wieso interessiert man sich in der Meteorologie, der Fliegerei und im Alltag fast ausschliesslich für die relative, fast nie aber für die absolute Feuchte?
Aufgabe 67: Die Luft in enthält immer einen gewissen Anteil von Wasserdampf, der das Wetter wesentlich mitbestimmt. Wie gross ist der Partialdruck des Wasserdampfes im Verhältnis zum Gesamtdruck, wenn bei 10 °C und 70 % relativer Luftfeuchtigkeit ein Luftdruck von 965 mbar abgelesen wird?
Aufgabe 68: In der Schweiz kann es zu Föhnwinden
kommen. Bei Südföhn bläst ein Wind von Süden gegen die Alpen. Dabei steigt der Wind (24 °C, 80 % rel. LF) von 500 m über Meer bis auf 3000 m. Bemerkung:
Feuchte Luft kühlt sich auf 100 Höhenmeter ca. 0.6 °C ab. Trockene Luft hingegen um 1 °C auf 100 m.
a) Weshalb beginnt es an der Alpensüdseite zu regnen? Weshalb geht in den Tälern auf der Nord- seite ein starker, warmer und trockener Wind?
b) Auf welcher Höhe beginnt es zu regnen?
c) Welche Temperatur hat der Wind in den Tälern (500 m ü. M.) auf der Alpennordseite?
Aufgabe 69: Beim Verpacken von Computern werden Trockensäckchen mit Silikagel mit eingepackt. Silikagel ist stark hygroskopisch (wasseranziehend) und eignet sich als Trockenmittel um der Luft in der Schachtel ihre Feuchtigkeit zu entziehen. Wie gross ist die maximale Massenzunahme eines solchen Trockensäckchens, wenn die Schachtel 55 dm3 Luft enthält, welche beim Einpacken die Temperatur 25 °C und die relative Luftfeuchtigkeit 67 % hatte?
Aufgabe 70: Sie tragen eine Brille. Sie betreten im Winter von draussen einen Bus und Ihre Brillengläser beschla- gen sich sofort. Die Temperatur im Bus ist 20 °C, die relative Luftfeuchtigkeit 39%. Wie warm war es draussen höchstens?
Aufgabe 71: Im Restaurant neben der Skipiste misst Ihre multifunktionelle Armbanduhr eine relative Luft-
feuchtigkeit von 80 % und eine Temperatur von 20 °C.
Sie schätzen das Volumen des Saals auf 1500 m3. Welche Masse Wasserdampf enthält der Saal?
Aufgabe 72: Herberts Tiefkühltruhe hat ein Innenvolumen von 400 Litern. Die Kühltruhe wird im Durchschnitt zweimal pro Tag geöffnet, wobei die Innenluft (100 %
Luftfeuchtigkeit bei –10 °C) vollständig durch Aussenluft (70 % rel. LF bei 20 °C) ersetzt wird.
a) Warum muss die Tiefkühltruhe von Zeit zu Zeit abgetaut werden?
b) Nach wie vielen Tagen beträgt das abzutauende Eis 1.00 kg?
Aufgabe 73: Im Winter ist es trocken in der Wohnung (20 °C, 30 % rel. LF). Draussen ist jedoch kaltes, feuchtes Wetter (2 °C, 70 % rel. LF). Sie lüften kräftig, so dass alle Luft im Zimmer ausgewechselt wird. Nun wird diese Luft von der Heizung wieder auf 20 °C geheizt. Wie gross ist nun die Luftfeuchtigkeit?
Das Zustandsdiagramm von Wasser
Das Zustandsdiagramm stellt Zustände und deren zugehörigen Phasen (Aggregatszustände) in Abhängigkeit von Zustandsgrössen (z. B. Druck und Temperatur) dar. Es ist ein häufig genutztes Hilfsmittel in der Chemie, Physik und speziell den Materialwissenschaften.
Das weitverbreitete Zustandsdiagramm ist das p-T-Diagramm, bei dem der Druck p eines Systems gegen die Temperatur T aufgetragen wird.
Im Phasendiagramm ist ein ...-Diagramm in dem die drei Phasengrenzlinien (………, ……… und
………) eingetragen sind. Die Anomalie des Wasser ist daran erkennbar, dass mit zunehmendem Druck, die Gefriertemperatur ………
Der Punkt im Zustandsdiagramm, bei dem die drei Phasen eines Stoffes gleichzeig nebeneinander existieren, heisst Tripelpunkt. Der Tripelpunkt von Wasser ist T = 273.16 K, p = 611.6 Pa.
Ist Temperatur und Druck grösser als am kritischen Punkt, so verschwindet der (Dichte-)Unterschied zwischen der ……… und der ……… Phase.
Der kritische Punkt von Wasser ist bei TC = 374.2 °C, pC = 221.2 bar
7. Kreisprozesse
Die Energieerhaltung
Verändert ein Gas sein Volumen ΔV, so verrichtet es Arbeit W oder es wird Arbeit W an ihm geleistet.
W = F·Δs =
Wird die innere Energie eines Gases ohne Volumenänderung verändert, so sprechen wir von Wärme Q. Einem Gas kann Wärme Q zugeführt (heizen) und entzogen werden (kühlen).
Die innere Energie eines Systems kann durch ………
oder ……… geändert werden: ΔU = Q + W Q > 0: zugeführte Wärme, W > 0 am System verrichtete Arbeit
Zustandsdiagramme des idealen Gases
Das p-V-T-Diagramm Das p-V-Diagramm
Thermodynamische Zustände und Prozesse hängen von den drei Parametern Druck, Volumen und der Temperatur ab. Ein Zustand entspricht einem Punkt im p-V-T-Diagramm (Zustandsdiagramm).
Besondere Bedeutung kommt dem p-V-Diagramm, da in ihm die ……… unter der Kurve der vom System verrichteten Arbeit entspricht.
Zustandsänderungen im p-V-Diagramm
Isochore Zustandsänderung: V = konst.
Ein verschlossenes Gefäss wird geheizt oder gekühlt.
Aus der Zustandsgleichung des idealen Gases folgt:
Die Arbeit ist Null, da das Volumen konstant ist.
Die innere Energie ändert auf Grund der Wärme.
W = Q = ΔU =
Isobare Zustandsänderung: p = konst.
Ein Gefäss mit einem beweglichen Kolben wird geheizt oder gekühlt. Aus der Zustandsgleichung des idealen Gases folgt:
Das System verrichtet Arbeit.
W = Q =
Isotherme Zustandsänderung: T = konst.
Das Gefäss wird in einem Wärmebad bei konstanter Temperatur gehalten. Aus der Zustandsgleichung folgt:
Da die Temperatur des Systems konstant bleibt, ändert sich die innere Energie nicht.
ΔU = W =
Adiabatische Zustandsänderung: Q = 0
Das System wird thermisch isoliert oder der Prozess erfolgt sehr schnell. Für das einatomige Gas gilt für die Adiabate:
Q = ΔU =
Aufgabe 74: In diesen Figuren sind thermodynamische Prozesse dargestellt. Welche Grösse bleibt konstant und wie heisst der Prozess?
Die Wärmekraftmaschine
Eine Wärmekraftmaschine ist eine Maschine, die Wärme in mechanische Arbeit umwandelt. Sie nutzt dabei das Bestreben der Wärme aus, von Gebieten mit höheren zu solchen mit niedrigeren Temperaturen zu fliessen.
Bespiele sind Verbrennungsmotoren, die Dampfmaschine, die Gas- und die Dampfturbine und der Stirlingmotor.
Allen Wärmekraftmaschinen sind folgende Eigenschaften gemeinsam:
Es wird Wärme durch einen Prozess von einem ………
auf einen ……… Energiespeicher übertragen.
Der Prozess läuft ……… ab, d.h. der Anfangszustand der Maschine wird nach einer gewissen Periode wieder
hergestellt (………).
Die mechanische Arbeit wird durch die Zustandsänderung eines Arbeitsstoffes (………) erzeugt.
Als Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine ηWKM bezeichnen wir den Anteil der aufgenommenen Wärme QW der in nutzbare Arbeit WN umgewandelt wird. ηWKM =
Wärme- kraft- maschine
W
NQ
WQ
Kwarmer Energie- speicher TW
kalter Energie- speicher TK
Gas Gas
Δs
Wasserbad, T= konst.
Isolation
Raketenantrieb
Ein Raketenantrieb muss auch im Vakuum funktionieren.
Die Rakete kann also keine Masse (z.B. Luft) ansaugen, beschleunigen und wieder ausstossen. Ein Raketenantrieb funktioniert indem eine Masse (z.B. ein Gas) nach hinten ausgestossen wird. Die Rakete wird auf Grund der Impuls- erhaltung nach vorne beschleunigt. Im Weltraum ist dieser Rückstossantrieb die einzige Möglichkeit, ein Raumschiff abseits von Himmelskörpern zu beschleunigen.
In Feststoffraketentriebwerk wird ein Brennstoff verbrannt und so entwickelt sich ein sehr heisses Gas mit der Tempe- ratur TW. Dieses Gas wird gegen hinten ausgestossen und kühlt sich dabei auf die Temperatur TK ab. Der Prozess läuft sehr schnell und damit annähernd adiabatisch ab. Die
Änderung der inneren Energie wurde also als Arbeit abgegeben.
η =
Der bestmögliche Wirkungsgrad des Raketentriebwerkes beträgt also:
η =
Der Stirlingsche Kreisprozess
Der Stirlingmotor ist eine von R. Stirling im Jahre 1816 entwickelte Wärmekraftmaschine, in der ein Arbeitsgas wie Luft in einem abgeschlossenen Volumen von aussen in einem Bereich erhitzt, in einem anderen gekühlt wird, um mechanische Arbeit zu leisten.
Isotherme Expansion TW = konstant (1 → 2) Das Volumen eines Gases wird bei konstanter Temperatur TW vergrössert. Der Druck sinkt. Das Gas verrichtet dabei die Arbeit W12. Die innere Energie des Gases ändert sich nicht (isotherm) und es wird also die Wärme Q12 = W12
aufgenommen.
Isochore Abkühlung TW → TK (2 → 3) Das Volumen V2 bleibt konstant. Es wird keine Arbeit verrichtet. Das Gas gibt die Wärme Q23 ab.
Isotherme Kompression TK = konstant (3 → 4) Das Volumen des Gases wird bei konstanter Temperatur TK verkleinert. Um das Gas zu komprimieren wird die Arbeit W34 an dem Gas verrichtet. Da die innere Energie konstant bleibt, gibt das Gas die Wärme Q34 = W34 ab.
Isochore Erwärmung TK → TW (4 → 1)
Das Volumen V1 bleibt konstant und es wird also keine Arbeit verrichtet. Da die Temperatur erhöht wird, nimmt das Gas die Wärme Q41 auf.
Arbeit, Wärme & Wirkungsgrad
Und für den ganzen Kreisprozess finden wir:
Aufgenommene Wärme QW =
Nutzbare Arbeit WN =
Wirkungsgrad η =
Der bestmögliche Wirkungsgrad des Stirlingschen Kreisprozesses beträgt η =
Der Carnot Kreisprozess
Nicolas Léonard Sadi Carnot (*1796 in Paris; † 1832 ebenda) war ein französischer Physiker und Ingenieur, er begründete mit seiner theoretischen Betrachtung der Dampfmaschine einen neuen Zweig der Wissenschaft, die Thermodynamik. Der Carnot-Kreisprozess ist ein rein theoretischer Prozess. Daran wurde jedoch historisch das erste Mal der thermodynamische Wirkungsgrad (Carnot-Wirkungsgrad) hergeleitet.
Der Carnot-Prozess besteht aus zwei Iso- thermen und zwei Adiabaten (Isentropen).
Für die Isothermen gilt dieselbe Überlegung wie oben. Entlang der Adiabaten wird keine Wärme ausgetauscht, sondern nur gearbeitet.
Die zugeführte und die abgeführte Arbeit heben sich jedoch gegenseitig auf. Es gilt also:
Der bestmögliche Wirkungsgrad des Carnot- Kreisprozesses beträgt η =
Der Viertaktmotor
Der bekannteste Kreisprozess ist der Viertaktmotor.
……… (1): Der Kolben saugt das Benzin-Luft-Gemisch vom Vergaser in den Zylinder.
……… (2): Der Kolben presst das
Gasgemisch zusammen. Ein- und Auslassventil sind geschlossen.
……… (3): Der Funke der Zündkerze ent- zündet das Gas, es verbrennt explosionsartig: Der Kolben wird dadurch nach unten gedrückt, das Gas verrichtet am Kolben Arbeit.
……… (4): Das Auslassventil wird geöffnet:
Der Kolben drückt die Verbrennungsgase aus dem Zylinder.
Der idealisierte Kreisprozess des Ottomotors besteht aus den folgenden Zustandsänderungen. Achtung: Diese sind nicht identisch mit den Takten des Motors!
1 → 2 adiabatische Kompression (Verdichtungsstakt)
2 → 3 isochore Erhitzung (Verbrennung)
3 → 4 adiabatische Expansion (Arbeitstakt)
4 → 1 isochore Abkühlung (Gaswechsel)
Der reale Ablauf ist komplizierter. In der Abbildung ist das Arbeitsdiagramm des realen Prozesses gezeigt.
Zu Beginn des Prozesses (A) befindet sich der Kolben am oberen Totpunkt (OT). Im ersten Takt, dem Ansaugtakt bewegt sich der Kolben bei geöffnetem Einlassventil nach unten und saugt frisches Gemisch bei konstantem Druck (dem äußeren Luftdruck) an bis schließlich bei (B) der untere Totpunkt (UT) erreicht ist.
Der zweite Takt startet mit dem Schliessen des Einlassventils bei (B). Es erfolgt die adiabatische
Kompression, bei der sich das Gas erhitzt. Dieser Takt wird als Verdichtungstakt bezeichnet.
Kurz vor Erreichen des kleinsten Volumens wird das Gemisch gezündet. Druck und Temperatur steigen daher explosionsartig an (C).
Nun beginnt der dritte Takt, der Arbeitstakt. Das heisse Gas expandiert und kühlt sich dadurch ab. Es schiebt den Kolben in Richtung unterer Totpunkt (UT), der bei (D) erreicht ist.
Zu Beginn des Ausstosstakts, wird bei (D) das Auslassventil geöffnet. Der Kolben bewegt sich nach oben bis er den oberen Totpunkt (OT) und damit Punkt (A) erreicht. Er schiebt dabei bei konstantem äußerem Druck das Abgas aus. Jetzt schließt das Auslassventil wieder.
Der theoretisch bestmögliche Wirkungsgrad eines Viertaktmotors beträgt ca. 45 %. Der beste reale Wirkungsgrad eines Viertaktmotors beträgt 38 % (Toyota, 2014).
Der Carnot-Wirkungsgrad
Der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung von Wärme in mechanische Arbeit wird Carnot-Wirkungsgrad genannt: η =C N = W− K = − K
W W W
W T T T
Q T 1 T
Der Wirkungsgrad ist umso höher, je größer TW und je kleiner TK ist. Da der absolute
Nullpunkt (0 K) nicht erreicht werden kann, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.
Es ist also nicht möglich Wärme vollständig in Arbeit umzuwandeln.
Aufgabe 75: Der erste Dieselmotor wurde 1897 von Rudolf Diesel fertig gestellt und hatte nur einen Zylinder. Wenn Sie diesen im Deutschen Museum in München besichtigen, dann stehen Sie vor einem über drei Meter hohen Ungetüm, dessen dominierendes Bauteil ein grosses Schwungrad ist.
a) Wozu braucht der Motor das Schwungrad?
(Alle Einzylindermotoren, egal ob nach dem Otto-, Diesel- oder Stirlingprinzip, haben übrigens ein Schwungrad.)
b) Warum braucht der Dieselmotor eines modernen Fahrzeugs kein Schwungrad?
Aufgabe 76: Vor rund 100 Jahren waren Heissluftmotoren, die nach dem Stirlingprinzip arbeiten, weiter verbreitet als heute. Ein solcher Motor leistet 0.75 kW (also etwa 1 PS) und verbraucht 5.0 kg Kohle (Koks) pro Stunde. Ein Feuer sorgt für Temperaturen von etwa 300 °C. Der Zylinder wird mit Wasser auf etwa 50 °C gekühlt.
a) Wie gross ist der tatsächliche Wirkungsgrad der Maschine?
b) Wie gross wäre der maximal mögliche Wirkungsgrad?
Aufgabe 77: Der Kreisprozess des Stirlingmotors setzt sich idealerweise aus einer isochoren Erwärmung, einer isothermen Expansion, einer isochoren Abkühlung und einer isothermen Kompression zusammen. Das Bild zeigt einen aufgeschnittenen Stirlingmotor.
a) An welcher Stelle des Zyklus befindet sich ein Stirlingmotor mit dieser Kolbenstellung?
b) Wie ist technisch sichergestellt, dass es sich (annähernd) um eine isotherme Kompression bzw.
Expansion handelt?
c) Skizzieren Sie ein qualitatives p-V-Diagramm und schreiben Sie für jeden Takt an, ob das Arbeitsgas Wärme und/oder Arbeit aufnimmt bzw. abgibt.
Aufgabe 78: Die Grafik zeigt das p-V-Diagramm eines Zylinders.
a) Um was für einen Motor könnte es sich dabei handeln?
Geben Sie eine Begründung an.
b) Schreiben Sie die Takte im Diagramm an.
c) Berechne aus der Grafik die Arbeit, die pro Zyklus abgegeben wird.
d) Welche Leistung hat dieser Einzylinder-Motor bei 4000 Umdrehungen pro Minute?
e) Welchen Benzinverbrauch (in kg) erwarten Sie pro Stunde, bei einem Wirkungsgrad von 35 %
Aufgabe 79: Bei einem Kraftwerk soll geprüft werden, ob sich der gesamte Wirkungsgrad erhöhen lässt. Die dafür beauftragte Umweltingenieurin untersucht die Energieflüsse beim Kraftwerk.
Dabei stellt sich ihr folgende Frage: Wie gross ist die gegen den äusseren Druck zu verrichtende Arbeit beim Verdampfen von 1.00 kg Wasser bei 100 °C?
Aufgabe 80: Um den Wirkungsgrad einer Maschine zu erhöhen, könnte die Abwärme genutzt werden. Zeige, dass eine ideale Wärmekraftmaschine, deren Abwärme eine weitere ideale Wärmekraftmaschine antreibt, keinen höheren Wirkungsgrad hat als eine ideale Wärmekraftmaschine, die direkt zwischen Thoch und Ttief arbeitet. Rechne mit den Daten aus der Grafik.
Die Wärmepumpe
Wärme fliesst nicht spontan von kalt zu warm, sie kann jedoch mit einer Art „umgekehrten“ Wärmekraftmaschine unter Aufwendung von Arbeit dazu gezwungen werden. Eine solche Maschine heisst Wärmepumpe (WP).
Beispiele für Wärmepumpen sind die Wärmepumpen zum Heizen und der Kühlschrank.
Allen Wärmepumpen sind folgende Eigenschaften gemeinsam:
Eine Wärmepumpe entzieht einem ……… Energie- speicher Wärme erwärmt einen ……… Energiespeicher.
Genau wie bei der Wärmekraftmaschine handelt es sich um einen Prozess, der ……….. abläuft.
Es muss ……… aufgewendet werden.
Wärme- pumpe
W
AQ
WQ
Kwarmer Energie- speicher TW
kalter Energie- speicher TK
Als Leistungszahl einer Wärmepumpe ηWP bezeichnen wir wieviel Wärme QW wenn die Arbeit WN
aufgewendet wurde: ηWP =
Die höchste theoretisch mögliche Leistungszahl einer Wärmepumpe ist der Kehrwert des Carnot-Wirkungsgrad: η =WP =
Aufgabe 81: Ein Haus wird mit einer Wärmepumpe beheizt. Draussen ist es –2 °C und das Heizwasser soll 60 °C warm werden.
a) Mit welcher maximalen Leistungszahl läuft diese Pumpe?
b) Wie viel Wärmeenergie wird an das Haus abgegeben, wenn die Pumpe mit 180 MJ Arbeit angetrieben wird?
c) Welche Wärmemenge hat die Pumpe aufgenommen?
Aufgabe 82: Ein Kühlschrank habe eine Motorleistung von 0.2 kW und eine Leistungsziffer von 3.5.
a) Wie viel Wärme wird pro Sekunde dem Kühlschrankinneren entzogen?
b) Wie lange dauert es mindestens, um 10 Liter Wasser (0 °C) in Eis (0 °C) umzuwandeln?
c) Wie teuer wird das mindestens, wenn 1 kWh 17 Rappen kostet?
Aufgabe 83: Ein Gas wird in einem Kompressor P komprimiert und dadurch erwärmt. Das heisse Gas gelangt in einen Wärmetauscher (Kondensator K). Es fliesst spontan Wärme vom heissen Gas zum warmen System SW. Dabei kühlt sich das Gas ab und kondensiert. Die Flüssigkeit fliesst in das Expansionsventil E wo der Druck reduziert wird und sich die Flüssigkeit abkühlt.
Die kalte Flüssigkeit gelangt in den zweiten Wärmetauscher (Verdampfer V) wo die kalte Flüssigkeit Wärme vom kühle System SK aufnimmt und verdampft. Von dort gelangt das Gas in zurück in den Kompressor.
a) Zeichen die fett gedruckten Stellen in der linken Figur ein.
b) Zeichne das warme und das kühle System SW und SK auch in der rechten Figur ein.
8. Die Hauptsätze
Erster Hauptsatz der Thermodynamik: Die innere Energie eines Systems kann durch Wärme Q oder Arbeit W geändert werden: ΔU = Q + W
Q > 0: zugeführte Wärme, W > 0 am System verrichtete Arbeit
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass Energie zwar nicht erzeugt oder vernichtet werden kann, jedoch beliebig in einander umgewandelt werden kann. Gemäss dem zweiten Hauptsatz sind der Umwandlung von Wärme in Arbeit jedoch Grenzen gesetzt.
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik: Es gibt keine Wärmekraftmaschine, die bei gegebenen Temperaturen der Wärmezufuhr TW und Wärmeabfuhr TK einen höheren Wirkungsgrad hat als der Carnot-Wirkungsgrad hat: ηWKM …… ηC.
Zu dieser Formulierung des zweiten Hauptsatzes sind folgende Aussagen äquivalent:
Es gibt keine Zustandsänderung, deren einziges Ergebnis die Übertragung von Wärme von einem Körper niederer auf einen Körper höherer Temperatur ist.
Es ist unmöglich, eine periodisch arbeitende Maschine zu konstruieren, die weiter nichts bewirkt als Hebung einer Last und Abkühlung eines Wärmereservoirs.
Ein Perpetuum mobile zweiter Art ist unmöglich, d.h. eine Maschine gewinnt Arbeit aus der Umgebungswärme ohne, dass ein Temperaturgefällevorhanden wäre.
Entropie
Wärme fliesst von sich aus Ein Gas fliesst von sich aus nur Arbeit kann vollständig in nur von warm nach kalt. von hohem zu kleinem Druck Wärme umgewandelt werden.
Bei all diesen Prozessen befindet sich das System zuerst in einem Zustand ………
Ordnung und geht in einen Zustand ……… Ordnung über.
Die Entropie S ist ein Mass für die ……… eines Systems. Die Entropie S eines Systems kann nur ……… oder ……… ΔS ≥ 0.
Aufgabe 84: Die klassische Entropie ist definiert als Δ =S Q
T . Zeige, dass bei einer Wärmekraftmaschine aus der Aussage ΔS ≥ 0 folgt, dass ηWKM ≤ ηC.
